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第四章 三角函数
知识点一 任意角的概念
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为逆角
零角：如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角
例题1 下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于90°的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【解析】锐角是指大于0°小于90°的角，故其在第一象限，即A正确；
选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差360°整数倍，故错误；
选项C．小于90°的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误。故选：A
例题2 下列说法正确的是（ ）
A．最大的角是180° B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
【答案】D
【解析】由任意角的定义可得角可以是任意大小，所以ABC错误，D正确，故选：D。
例题3 把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分针旋转为顺时针，但快了10分钟校准就需要逆时针旋转，角度为为周角的六分之一，
所以该手表分针转过的角为：.故选：B.
例题4 将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于 ．
【答案】60°
【解析】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90°-30°=60°．
知识点二 象限角
角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限。特殊的，当角的终边落在坐标轴上，把这个角叫做界限角。
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
界限角的表示：
终边在y轴正半轴，；
终边在x轴负半轴，
终边在y轴负半轴，
终边在x轴正半轴，
例题1 给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
【答案】②
【解析】①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；
②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；
③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；
例题2若是第四象限角，则一定是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】∵是第四象限角，∴.
∴. ∴在第二象限，故选B.
例题3 已知为第二象限角，则是第几象限角？
【答案】第一或第三象限角
【解析】∵是第二象限角，∴，
∴
.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．
所以第一或第三象限角.
例题4 已知为第一象限角，则是第几象限角？
【答案】第一象限或第二象限
【解析】用特征值法∵是第一象限角，∴可能是30°或者-300°，
则可能是60°（第一象限）或者-600°（第二象限）。
知识点三 终边相同的角
一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和。
例题1 下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ）
A．41° B．129° C．219° D．﹣231°
【答案】C
【解析】因为2019°=5×360°+219°，所以219°与2019°角的终边相同，故选C。
例题2 在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是（ ）
A．330° B．210° C．150° D．30°
【答案】B
【解析】因为-510°= -720°+210°，则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角式210°。故选：B。
例题3 下列与412°角的终边不相同的角是（ ）
A．52° B778° C．-308° D．1132°
【答案】B
【解析】因为412°=360°+52°，
所以与412°角的终边相同角为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，故选B。
例题4 出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．
【答案】；-470°，-110°，250°
【解析】与终边相同的角的集合为．
∵，即，
∴故取
时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
时，β＝6×360°－1910°＝250°.
知识点四 角度制与弧度制的互换
规定，弧长等于半径 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” 读作“1 弧度”。
以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制 .
1、正角的弧度数是正数
2、负角的弧度数是负数
3、零角的弧度数是零
角度制 0° 1° 30° 45° 60° 90°
弧度制 0
角度制 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度制 2
例题1 -300°化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】-300°=，故选B。
例题2 化为角度是 。
【答案】420°
【解析】
例题3 将-315°化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】-315°=-315×.故选：C.
例题4 将弧度化成角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故选：D
知识点五 扇形的弧长和面积公式
扇形弧长公式
扇形面积公式
例题1 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】圆心角为，设扇形的半径为R，
，
解得R=2。故选D。
例题2 已知某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，则此扇形的面积为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【解析】由题意，某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为.故选：B.
例题3 一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度
【答案】
【解析】设扇形的所在圆的半径为r，圆心角为，
因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得，即，解得。
例题4 半径为3的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.270
【答案】B
【解析】60°=，扇形面积公式，故选B。
知识点六 任意角的三角函数
对任意角α，有如下定义：
称为角α的正弦，记作，记作，
称为角α的余弦，记作，记作，
称为角α的正切，记作，记作
我们把以为自变量的函数和分别称为正弦函数和余弦函数；
则，也是以为自变量的函数，叫做正切函数。
正弦函数、余弦函数和正切函数都叫做三角函数。
正弦函数中解析式： ，定义域：R，值域：[-1,1]
余弦函数中解析式：，定义域：R，值域：[-1,1]
正切函数中解析式：，定义域：，值域：R。
例题1 已知角α终边过点P(1，-1)，则tan α的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】∵ 角α终边过点P(1，-1)，
∴ ，故选：B.
例题2 若角终边经过点,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】, ,故选D.
例题3 若角的终边上有一点，且，则a的值为 ；
【答案】或
【解析】根据三角函数的定义，，，所以根据已知条件，，所以解得：或。
例题4已知角的终边上有一点，则 。
【答案】
【解析】，所以
知识点七 各象限的三角函数值符号
例题1 若，则在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【解析】因为，所以或者，得到是第一象限角或者第三象限角，故选B。
例题2 若，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由知：
∴，
所以P位于第三象限,故选：C
例题3 给出的下列函数值中符号为正的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A为正，∵-1000°=-3×360°+80°，∴1000°是第一象限角，∴；B为负，，∴是第三象限角，∴；C为负，∵，是第二象限角，∴；D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴。故选：A
例题4 已知，，则所在得象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以是第三、四象限，又因为，所以是第二、四象限，综上是第四象限角，故选D。
知识点八 同角三角函数基本关系式
变形01、=
02、=
变形01、
02、
例题1 已知是第三象限的角,若,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,,解方程组得：，选B.
例题2 已知，，则等于（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴平方可得，即，
∴，，
∵可得：，解得：，或（舍去），
∴，可得：．故选：A．
例题3 已知点是角终边上的一点，则______，_______.
【答案】-2 4
【解析】根据题意知：，.
例题4已知是第一象限角，若，则______________.
【答案】
【解析】∵，则，
∴解得或者即，又∵为第一象限的角，∴， ，从而.
知识点九 诱导公式
1、
2、
3、
4、
口诀：奇变偶不变，符号看象限
例题1 已知，那么 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由诱导公式得，故选C．
例题2 已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
．故选D.
例题3若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，所以，则，
由于，则.故选A
例题4 已知，则________.
【答案】
【解析】因为，所以.
知识点十 正弦函数的图像和性质
五点法作图的五个重要点：、、 、 、
性质1：周期性，最小正周期。
性质2：定义域 R。
性质3：值域 。
性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是。
性质5：奇偶性：正弦函数是奇函数。
性质6：对称轴： 。
性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。
性质8：对称中心： 。
例题1 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当取最大值1时，有最小值-1，当取最小值-1时，有最大值3，所以函数的值域为，故选B。
例题2 例题1 函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇，又偶函数
【答案】A
【解析】由题意知，，关于原点对称，
设，则，
所以函数为奇函数.故选：A.
例题3 关于正弦函数，下列说法正确的是（ ）
A．值域为R B．最小正周期为2π C．在(0，π)上递减 D．在(π，2π)上递增
【答案】B
【解析】函数的图象如图所示：
函数的定义域为R，值域为，所以A错误；
的最小正周期为2，所以B正确；
在上单调递增，在上单调递减，所C、D错误；故选：B
例题4已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C ． D．
【答案】C
【解析】，所以，
因为在单调递增，
所以，即。故选：C
知识点十一 余弦函数的图像和性质
五点法作图的五个重要点：、、 、 、
性质1：周期性，最小正周期。
性质2：定义域 R。
性质3：值域 。
性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是
性质5：奇偶性：余弦函数是偶函数。
性质6：对称轴： 。
性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。
性质8：对称中心： 。
例题1 函数的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，
所以的最大值为2， 故选：C．
例题2下列区间中，使得成立的x的取值区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据图像，做出正弦函数和余弦函数在同一区间的图像，观察图像的上下得出结论。
如图所示，时，余弦函数图像在正弦函数图像上方，即，故选A.
例题3 已知函数的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】观察图象知，函数在区间上的的单调递减区间是.
故选：A
例题4 直线与函数的图象的交点个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
【答案】A
【解析】因为，故直线与函数的图象没有公共点，故选：A.
知识点十二 已知三角函数值求角
角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度制 0
0 0
1 -1
0
角度制 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度制
根据计算器求角的步骤：
1、将计算器设置为弧度制
2、根据三角函数值求角
3、将角转化为符合条件的角
可以根据诱导公式将角转化为符合题目范围的角。
例题1 在的范围内，正弦值等于的角为 。
【答案】，或者
【解析】因为，所以是第一、二象限角，又因为，故，或者。
例题2 设，且，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据特殊角的三角函数值， ，且，。故选C。
例题3 若，，则 .
【答案】
【解析】则，又，故.
例题4已知，则x的解集为 ．
【答案】或者
【解析】因为,所以或者 。
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第四章 三角函数
知识点一 任意角的概念
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为逆角
零角：如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角
例题1 下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于90°的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
例题2 下列说法正确的是（ ）
A．最大的角是180° B．最大的角是360°
C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
例题3 把快了10分钟的手表校准后，该手表分针转过的角为（ ）
A． B． C． D．
例题4 将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于 ．
知识点二 象限角
角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限。特殊的，当角的终边落在坐标轴上，把这个角叫做界限角。
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
界限角的表示：
终边在y轴正半轴，；
终边在x轴负半轴，
终边在y轴负半轴，
终边在x轴正半轴，
例题1 给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
例题2若是第四象限角，则一定是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例题3 已知为第二象限角，则是第几象限角？
例题4 已知为第一象限角，则是第几象限角？
知识点三 终边相同的角
一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和。
例题1 下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ）
A．41° B．129° C．219° D．﹣231°
例题2 在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是（ ）
A．330° B．210° C．150° D．30°
例题3 下列与412°角的终边不相同的角是（ ）
A．52° B778° C．-308° D．1132°
例题4 出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．
知识点四 角度制与弧度制的互换
规定，弧长等于半径 的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” 读作“1 弧度”。
以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制 .
1、正角的弧度数是正数
2、负角的弧度数是负数
3、零角的弧度数是零
角度制 0° 1° 30° 45° 60° 90°
弧度制 0
角度制 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度制 2
例题1 -300°化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
例题2 化为角度是 。
例题3 将-315°化为弧度制，正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题4 将弧度化成角度为（ ）
A． B． C． D．
知识点五 扇形的弧长和面积公式
扇形弧长公式
扇形面积公式
例题1 一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
例题2 已知某扇形的半径为4cm，圆心角为2rad，则此扇形的面积为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
例题3 一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度
例题4 半径为3的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是（ ）
A. B. C. D.270
知识点六 任意角的三角函数
对任意角α，有如下定义：
称为角α的正弦，记作，记作，
称为角α的余弦，记作，记作，
称为角α的正切，记作，记作
我们把以为自变量的函数和分别称为正弦函数和余弦函数；
则，也是以为自变量的函数，叫做正切函数。
正弦函数、余弦函数和正切函数都叫做三角函数。
正弦函数中解析式： ，定义域：R，值域：[-1,1]
余弦函数中解析式：，定义域：R，值域：[-1,1]
正切函数中解析式：，定义域：，值域：R。
例题1 已知角α终边过点P(1，-1)，则tan α的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
例题2 若角终边经过点,则（ ）
A. B. C. D.
例题3 若角的终边上有一点，且，则a的值为 ；
例题4已知角的终边上有一点，则 。
知识点七 各象限的三角函数值符号
例题1 若，则在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
例题2 若，则点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例题3 给出的下列函数值中符号为正的是（ ）
A． B． C． D．
例题4 已知，，则所在得象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
知识点八 同角三角函数基本关系式
变形01、=
02、=
变形01、
02、
例题1 已知是第三象限的角,若,则（ ）
A. B. C. D.
例题2 已知，，则等于（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
例题3 已知点是角终边上的一点，则______，_______.
例题4已知是第一象限角，若，则______________.
知识点九 诱导公式
1、
2、
3、
4、
口诀：奇变偶不变，符号看象限
例题1 已知，那么 ( )
A． B． C． D．
例题2 已知，则（ ）．
A． B． C． D．
例题3若，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题4 已知，则________.
知识点十 正弦函数的图像和性质
五点法作图的五个重要点：、、 、 、
性质1：周期性，最小正周期。
性质2：定义域 R。
性质3：值域 。
性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是。
性质5：奇偶性：正弦函数是奇函数。
性质6：对称轴： 。
性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。
性质8：对称中心： 。
例题1 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
例题2 例题1 函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇，又偶函数
例题3 关于正弦函数，下列说法正确的是（ ）
A．值域为R B．最小正周期为2π C．在(0，π)上递减 D．在(π，2π)上递增
例题4已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C ． D．
知识点十一 余弦函数的图像和性质
五点法作图的五个重要点：、、 、 、
性质1：周期性，最小正周期。
性质2：定义域 R。
性质3：值域 。
性质4：单调性：单调递增区间为，单调递减区间是
性质5：奇偶性：余弦函数是偶函数。
性质6：对称轴： 。
性质7：最值：当时，函数有最大值1,当时，函数有最小值-1。
性质8：对称中心： 。
例题1 函数的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例题2下列区间中，使得成立的x的取值区间为（ ）
A. B. C. D.
例题3 已知函数的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例题4 直线与函数的图象的交点个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
知识点十二 已知三角函数值求角
角度制 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度制 0
0 0
1 -1
0
角度制 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度制
根据计算器求角的步骤：
1、将计算器设置为弧度制
2、根据三角函数值求角
3、将角转化为符合条件的角
可以根据诱导公式将角转化为符合题目范围的角。
例题1 在的范围内，正弦值等于的角为 。
例题2 设，且，则=（ ）
A. B. C. D.
例题3 若，，则 .
例题4已知，则x的解集为 ．
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