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专题02不等式
实数大小的性质
注：比较实数大小的方法：作差比较法 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论
不等式的基本性质
加法法则
乘法法则
传递性
同向可加性
区间
集合表示 数轴表示 区间表示
一元二次方程不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或
判别式
方程的实数解的个数 2 1 0
二次函数的图像与轴的交点个数 2 1 0
二次函数的图像
二次函数的图像
方程的实数解 两个不等的实数解 两个相等的实数解 无实数解
一元二次不等式的解集 R
R R
含绝对值的不等式
不等式 数轴表示 区间表示
题型一:比较两个实数的大小
例1 比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上均错误
【答案】A
【分析】根据作差法比较大小即可.
【详解】已知两个实数与，
则，
所以.
故选：A.
变式训练
一、选择题
1 设，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把三个数平方后比较大小，直接得到结果.
【详解】，
因为所以，
故选：A.
2 如果且，那么，，，的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件判断出，且即可比较大小.
【详解】因为且，所以且，所以，，
则，，，的大小关系为，
故选：.
3 若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性定义可判断结果.
【详解】由函数的单调性定义知，
若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，
由此可知，选项A，B，D都正确.
若，则，故选项C不正确.
故选：C
4 比较与的大小关系为（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定
【答案】B
【分析】利用作差比较法即可得解.
【详解】∵，
∴.
故选：B.
5 已知，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】用作差法即可比较大小.
【详解】，
则有，
故选：A
一、解答题
1 比较：与的大小.
【答案】
【分析】根据作差法判断大小即可.
【详解】因为，
即，
所以.
2 设为实数，试比较以下两个式子的大小
(1)与
(2)与
【答案】(1)
(2)
【分析】利用作差法即可比较两代数式的大小.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以.
题型二:不等式的性质
例2 下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据赋值法，结合不等式的基本性质即可求解.
【详解】对A，B令，则，故AB错误.
对C，由不等式左右两边同时加上一个数，不等号方向不变可得，
，则，故C正确.
对D，令，则，故D错误.
故选：C.
变式训练
一、选择题
1 已知，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质证明或举出反例即可求解.
【详解】对于A，因为，，所以，由不等式的同向可加性，可知，故A选项正确.
对于B，当时，，符合题意，而，即，故B选项错误.
对于C，当时，，符合题意，而，即，故C选项错误.
对于D，当时，，符合题意，而，即，故D选项错误.
故选：A.
2 如果，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质，即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，，
所以.
故选：B.
3 如果a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．bb+c C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质可判断.
【详解】由不等式的基本性质可知，A，B正确；
当时，，故C不正确；
若时，；若，即时，由已知可得，
综上所述：，故D正确.
故选：C
4 若，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】由不等式的基本性质即可得解.
【详解】选项,时不成立,故错误.
选项,若则,故错误.
选项,如果成立则即与矛盾,故错误.
选项,若，则,故正确.
故选:.
5 若，则下列式子中正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由不等式的基本性质判断选项即可.
【详解】A:因为，所以，所以A选项错误，
B:当，时，，，此时，所以B选项错误，
C:因为，所以，两边同时减一个相同的数不等号方向不变，即，所以C选项正确，
D:当时，成立，同时为负数时不成立，所以D选项错误.
故选:C.
6 设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取特殊值，可排除A、B、C，根据不等式的基本性质，可判断D正确.
【详解】对A选项，取，满足已知，但不成立，故错误；
对B选项，取，满足已知，但不成立，故错误；
对C选项，取，满足已知，但不成立，故错误；
对D选项，根据不等式的基本性质：，故正确.
故选：D
二、填空题
1 已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）．
【答案】
【分析】先判断与的大小关系，再利用函数的单调性判断和的大小关系即可．
【详解】由，
又函数是区间上的减函数，
所以．
故答案为：．
2 已知实数，则 ， (用>，<填空).
【答案】
【分析】运用不等式的性质和作差法，化简即可得到所求关系．
【详解】解：，，可得；
，
由，，，可得，可得．
故答案为：；．
【点睛】本题考查不等式的性质和作差法比较两式的大小，考查运算能力，属于基础题．
3 若，均为实数，且，则 .（用“”或“”填空）
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质求解即可.
【详解】，
，
.
故答案为：.
4 若，则 .（用不等号填空）
【答案】
【分析】根据不等式的性质比较大小即可.
【详解】已知，则，
由不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知，
，
故答案为：.
5 不等式组的解集用区间表示为 .
【答案】
【分析】求出不等式组的解集，再根据区间的定义求解即可．
【详解】不等式组,化简为
即,解得,用区间表示为.
故答案为：
三、解答题
1 己知a，b分别满足不等式和.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求实数b的取值范围；
(3)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解；
（2）根据含绝对值不等式的解法求解；
（3）分别求出、的范围，再根据不等式的基本性质求解.
【详解】（1）不等式可化为，
解得.
故实数a的取值范围为
（2）不等式可化为，
解得.
故实数b的取值范围为；
（3）由（1）（2）知，
，，
故.
所以的取值范围为.
2 解不等式组
【答案】
【分析】分别解两个一元一次不等式，然后求出两个不等式解集的交集．
【详解】由①得：，解得；
由②得：，解得.
所以不等式组的解集为：
.
题型三:区间
例3 设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用区间的运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
变式训练
一、选择题
1 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据区间的运算求解即可.
【详解】.
故选：D.
2 集合用区间表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用区间的表示方法即可得解.
【详解】集合用区间表示为.
故选：A.
3 不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元一次不等式组，结果用区间表示即可.
【详解】由不等式组，可得，
所以不等式组的解集是.
故选：A
4 知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的运算性质计算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C．
二、填空题
1 如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是 .

【答案】
【分析】根据阴影区域表示的不等式进行区间表示.
【详解】由阴影区域可知表示的不等式为，因此所对应的区间为.
故答案为：.
2 已知集合，，则= .（写成区间形式）
【答案】
【分析】解一元二次不等式求并集即可解得.
【详解】，则,
解得或，
得到或，
又，
所以 ．
故答案为：.
三、解答题
1 解不等式组的解集，并用区间表示.
【答案】
【分析】利用一元一次不等式组的解法求解即可.
【详解】因为，可得，
，，即，
所以不等式组的解集为，区间表示为.
2 已知区间，求．
【答案】
【分析】根据交集和并集的概念，以及区间的含义，求解即可.
【详解】∵，
∴，．
题型四:一元二次不等式
例4 不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】结合一元二次不等式的解法即可解出不等式.
【详解】因为二次函数开口向上，两根为，
所以不等式的解集为.
故选：C.
变式训练
一、选择题
1 一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式即可得解.
【详解】一元二次不等式，解得，
所以解集为，
故选：.
2 若方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二次方程无实数时判别式小于零，列式即可得解.
【详解】因为方程无实数解，
即，，解得，
可得的取值范围是.
故选：B.
3 关于x的不等式的解集是，则等于（ ）
A． B．7 C． D．5
【答案】A
【分析】根据题意，结合根与系数的关系即可求解.
【详解】因为关于x的不等式的解集是，
所以当时，，
则，
，
所以，
故选：A
4 已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根据二次函数与二次不等式的关系分析求解即可.
【详解】由二次函数图像知时，，
当时，在和之间，
则有，
所以不等式的解集是.
故选：A.
5 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意根据含绝对值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.
【详解】已知的解集为，可知，
由可得，
所以，解得，.
所以不等式即为，
即，解得，
则不等式的解集为.
故选：B.
二、解答题
1 已知集合，集合，．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组即可得解.
（2）由（1）可知求出集合根据交集的定义即可得解.
【详解】（1）因为集合，
所以，解得，
所以，.
（2）集合，，解得，
所以，
集合，，解得，
所以，
所以.
2 若一元二次不等式的解集为，求实数范围．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式恒大于零的条件且列式求解即可.
【详解】
即.
3 若不等式的解集是，
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用韦达定理由一元二次不等式的解集求参数即可；
（2）利用一元二次不等式的解法可解.
【详解】（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，由韦达定理得：，解得：；.
（2）不等式，可化为，
即，所以，解得：，
故不等式的解集．
题型五:含绝对值的不等式
例5 不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【分析】根据解含绝对值不等式的基本解法即可求解.
【详解】由题意得，，则，所以，
解得，所以不等式的解集为.
故选：B.
变式训练
一、选择题
1 不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解含绝对值的不等式的解法求解即可.
【详解】因为，
所以或，
解得或，
则不等式的解集为.
故选：C.
2 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意根据含绝对值的不等式的解法求解，代入求解一元二次不等式解集即可.
【详解】已知的解集为，可知，
由可得，
所以，解得，.
所以不等式即为，
即，解得，
则不等式的解集为.
故选：B.
3 不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质判定，此绝对值的解集.
【详解】由可知，为任意实数，即.
故选：B.
4 函数的图像如图所示，下列不等式中，解集与相同的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次不等式的基本解法，得到的解集，再分别求得各选项的解集，即可求解.
【详解】根据函数图像可知，的解集为.
选项A中，可化为，则解集为，故正确.
选项B中，可化为，则解集为，故错误.
选项C中，的解集为，故错误.
选项D中，中，因为分母不为零，则，且，或者且，
且时，空集.
且时，得到.
综上，解集为，故错误.
故选：A.
5 关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用绝对值的性质以及空集的概念求解即可.
【详解】因为，
所以若要使不等式的解集为空集，则，
所以.
故选：D.
6 若不等式的解集为，则实数等于（ ）
A．8 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】将不等式等价转化为一次不等式，对a分类讨论，结合已知可求解．
【详解】不等式可化为，即.
①当时，解集为，不符合题意；
②当时，则，
故，方程组无解；
③当时，则，
故，解得.
综上所述，
故选：C
三、解答题
1 解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用绝对值不等式的解法即可求得.
（2）利用一元二次不等式的解法即可求得.
【详解】（1）因为，所以或，
解得或；所以不等式的解集为或.
（2）因为二次函数开口向上，两根为，
所以不等式的解集为.
2 若不等式的解集是，求的值．
【答案】
【分析】先解含参数的绝对值不等式，再根据不等式的解集得到参数的值，即可求解.
【详解】∵可化为，即.
因为的解集是．
所以且，
故，即．
3 已知关于的不等式的解集为.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由绝对值不等式的解法可构造方程组求得结果；
（2）利用（1）中结论整理化简一次不等式，解之即可得解.
【详解】（1）有解，，
由，得，又的解集为，
，解得，则.
（2）由（1）知，可化为，
整理得，解得，
所以不等式的解集为.
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专题02不等式
实数大小的性质
注：比较实数大小的方法：作差比较法 步骤：①做差；②变形；③判断；④结论
不等式的基本性质
加法法则
乘法法则
传递性
同向可加性
区间
集合表示 数轴表示 区间表示
一元二次方程不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是或
判别式
方程的实数解的个数 2 1 0
二次函数的图像与轴的交点个数 2 1 0
二次函数的图像
二次函数的图像
方程的实数解 两个不等的实数解 两个相等的实数解 无实数解
一元二次不等式的解集 R
R R
含绝对值的不等式
不等式 数轴表示 区间表示
题型一:比较两个实数的大小
例1 比较两个实数与的大小，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上均错误
变式训练
一、选择题
1 设，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2 如果且，那么，，，的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．
3 若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4 比较与的大小关系为（ ）
A．＞ B．＜ C．＝ D．不能确定
5 已知，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
一、解答题
1 比较：与的大小.
2 设为实数，试比较以下两个式子的大小
(1)与
(2)与
题型二:不等式的性质
例2 下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式训练
一、选择题
1 已知，，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2 如果，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3 如果a>b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．bb+c C． D．
4 若，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
5 若，则下列式子中正确是（ ）
A． B．
C． D．
6 设，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1 已知函数是区间上的减函数，比较大小： （填“”或“”）．
2 已知实数，则 ， (用>，<填空).
3 若，均为实数，且，则 .（用“”或“”填空）
4 若，则 .（用不等号填空）
5 不等式组的解集用区间表示为 .
三、解答题
1 己知a，b分别满足不等式和.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求实数b的取值范围；
(3)求的取值范围.
2 解不等式组
题型三:区间
例3 设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
一、选择题
1 ＝（ ）
A． B． C． D．
2 集合用区间表示为（ ）
A． B． C． D．
3 不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
4 知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1 如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是 .

2 已知集合，，则= .（写成区间形式）
三、解答题
1 解不等式组的解集，并用区间表示.
2 已知区间，求．
题型四:一元二次不等式
例4 不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
变式训练
一、选择题
1 一元二次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2 若方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3 关于x的不等式的解集是，则等于（ ）
A． B．7 C． D．5
4 已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
5 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
1 已知集合，集合，．
(1)求的值；
(2)求．
2 若一元二次不等式的解集为，求实数范围．
3 若不等式的解集是，
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
题型五:含绝对值的不等式
例5 不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
变式训练
一、选择题
1 不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3 不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
4 函数的图像如图所示，下列不等式中，解集与相同的是（ ）

A． B．
C． D．
5 关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6 若不等式的解集为，则实数等于（ ）
A．8 B．2 C． D．
三、解答题
1 解下列不等式：
(1)；
(2).
2 若不等式的解集是，求的值．
3 已知关于的不等式的解集为.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集.
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