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专题03函数
函数的概念
①求函数值
已知的表达式时,只需用数替换中的所有含的项即得的值
求的值应遵循由内到外的原则
②定义域
定义域是指x的取值集合
定义域 例子
整式
奇次根式
偶次根式 根号中的数大于等于0
分式 分母不为零
“()0”，0次幂 括号中的数不为0
③判断两个函数是否为同一函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
函数的表示方法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
解析法 一次函数、一元二次函数、反比例函数
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法
图像法 利用图像表示函数的方法
分段函数 当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集
求分段函数的函数值时，首先要判断所属的取值范围，然后再将代入相应的解析式中进行计算．
可以是连续的，也可以是不连续的作图像时，分别在各段不同取值范围内，根据相应解析式，作出相应部分的图像．要特别注意区间端点处对应点的虚实之分
函数的单调性
①函数单调性的概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).
特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).
特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
②单调性概念的拓展
若递增 若，则
若，则
若递减 若，则
若，则
③判断函数单调性的方法
解题步骤
(1) ，当；
(2) 作差；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差的正负)；
(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称
对于点 关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
几种常见的函数
①一次函数
一次函数 （为常数，且）
的符号
图像
性质 增函数 减函数
定义域
值域
②反比例函数
图像
经过象限 一、三 二、四
定义域
值域
单调性 单调减区间为 单调增区间为
③二次函数
函数
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴
增减性 时，单调递增； 时，单调递减 时，单调递减 时，单调递增
最大（小）值 当x= 时 当x= 时
题型一:定义域
例1 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于，计算即可.
【详解】因为函数是偶次根式，则被开方数，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
变式训练
一、选择题
1 函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据具体函数的定义域求解即可.
【详解】要使函数有意义只需要，
解得，即.
故选：B.
2 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质以及函数定义域的概念解题即可.
【详解】由题意得，在上恒成立，
即，
∴.
故选：D.
3 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知函数定义域求出自变量范围，再代入所求函数自变量解不等式即可解得.
【详解】因为函数的定义域为，即，
所以，令，
解得，所以函数的定义域为.
故选：A.
题型二:求函数值
例2 函数（为常数），且，则（ ）
A． B．9
C．2 D．
【答案】B
【分析】利用已知求出函数解析式，然后求值即可.
【详解】因为函数（为常数），且，
所以，；所以
，
故选：B.
变式训练
1 已知，则的解析式为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，利用换元法即可求解.
【详解】令，则，
∴，
∴.
故选：A.
2 已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将的解析式中的替换成，从而得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
题型三:判断两个函数是否为同一函数
例3 下列函数完全相同的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】判断每个选项给出的两个函数的定义域是否相同，以判断二者是否为同一函数即可求解.
【详解】对于选项A，的定义域是R，的定义域是；
对于选项B，和的定义域均为R；
对于选项C，的定义域是R，的定义域是；
对于选项D，的定义域是，的定义域是R.
故选：B.
变式训练
1 下列每组函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相同函数的定义逐项判断即可得解.
【详解】选项，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故错误；
选项，函数的值域为，的值域为，两个函数的值域不相同，不是同一函数，故错误；
选项，函数的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数，故错误；
选项，，，函数和的定义域、值域、对应法则都相同，属于同一函数，故正确；
故选：.
2 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B． 与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同即可得解.
【详解】选项， ，，对应法则不同，不是同一个函数；
选项， 定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数；
选项，定义域为，定义域为定义域不同，不是同一函数；
选项，定义域为，，定义域为，对应法则相同，所以是同一函数；
故选：.
题型四:函数的表示方法
例4 已和，对应值如表所示，则的值为（ ）
0 1
1 0
0 1
A． B．0 C．1 D．不存在
【答案】C
【分析】根据表格依次解得函数值即可.
【详解】根据表格的对应关系可得，，
所以，
故选：C.
变式训练
1 函数，的图像是（ ）
A．一条直线 B．一条线段
C．一条射线 D．三个点
【答案】D
【分析】根据函数的表示方法判断即可.
【详解】因为函数，，
所以由函数定义可知，对于自变量x的每一个值有且只有一个y值与之对应，
故此函数的图像为三个点.
故答案为D.
2 已知函数，函数与的图像关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图像关于轴对称，列出解析式的关系即可得解.
【详解】函数与的图像关于轴对称，则满足，
所以.
故选：.
3 已知函数，函数与的图像关于x轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意图像关于x轴对称列出函数的关系式即可得解.
【详解】因为函数与的图像关于x轴对称，则满足，
所以，
故选：.
4 已知，则的值为（ ）
A．7 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】因为，将带入分段函数解析式中即可得解.
【详解】已知，因为，所以.
故选：.
5 在自然界中，某种植物的数量与时间的关系如下表所示：
1 2 3 …
1 3 5 …
6 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将表格内自变量和函数值代入各解析式判断.
【详解】将各数据代入总成立，故选A．
当时，B选项不成立.
当时，CD选项不成立.
故选：A.
7 下列选项可表示为函数图像的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义易得答案.
【详解】根据函数的定义，对于自变量中的任意一个x，都有唯一确定的数y与之对应.
由选项A、B、C的图像可知，其对应关系为一对多，所以A，B，C选项的图像不是函数图像，
而D满足函数的定义.
故选：D.
8 若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性进行判断解答.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得．
即实数的取值范围是.
故选：A.
9 设，则等于（　　）
A．1 B．0 C．2 D．－1
【答案】C
【分析】先计算函数，再结合与0的关系，计算函数.
【详解】由分段函数，可知，
又由于，所以.
故选：C.
10 已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入函数解析式中求出的值，再把代入函数解析式，即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B
二、填空题
1 设函数，且，则 .
【答案】或
【分析】讨论自变量的取值范围，由解得的值.
【详解】当时，，解得，所以；
当时，，解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
2 若函数，则 ．
【答案】2
【分析】根据分段函数的解析式代入自变量的值进行计算即可解得．
【详解】由已知．
故答案为：2
三、解答题
1 已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可；
（2）令，讨论的范围解方程求解得答案.
【详解】（1）因为，且，所以.
因为，所以.
（2）依题意，令，
若，则，解得，
与矛盾，舍去；
若，则，解得，
故，解得，所以实数的值为；
综上所述：的值为.
题型五:函数的单调性
例5 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式直接判断函数单调性，结合函数奇偶性的定义即可求解.
【详解】对A，一次函数，则不是奇函数，故A错误.
对B，为幂函数，在R上为减函数，故B错误.
对C，为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具备单调性，故C错误.
对D，，其定义域为R，又，则为奇函数.
.
当时，在上为增函数，且.
当时，在上为增函数，且.
综上，在R上为增函数，故D正确.
故选：D.
变式训练
一、选择题
1 若函数是R上的减函数且是奇函数，则有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．，
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质求解即可.
【详解】因为函数是R上的减函数且是奇函数，
所以，解得.
故选：C.
2 下列函数是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由一次函数、反比例函数、二次函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，函数，为一次函数，其中，所以是减函数，A选项错误；
对于B，函数，为反比例函数，在和上分别单调递减，B选项错误；
对于C，函数，为一次函数，其中，所以是增函数，C选项正确；
对于D，函数，为二次函数，其中，图象开口向下，对称轴为，
在上单调递增，在上单调递减，D选项错误.
故选：C.
3 若函数在R上是减函数，则与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用减函数的性质，判断和之间的关系.
【详解】因为在R上是减函数，且，所以，所以，
故选：B.
4 若是定义在上的减函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性即可得解.
【详解】因为是定义在上的减函数，，
所以，解得，
故选：.
5 若函数在R上是减函数，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性判断函数值的大小即可.
【详解】因为函数在R上是减函数，且，
所以.
故选：C.
6 函数的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象判断函数的增区间即可.
【详解】由函数的图象可知，此函数的增区间是.
故选：C．
7 下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性的定义所求函数是减函数，再判断具体函数的单调性易得答案.
【详解】由时，，所以函数在上为减函数的函数．
A选项，在上为增函数，不符合题意．
B选项，在上为减函数，符合题意．
C选项，在上为增函数，不符合题意．
D选项，在上为增函数，不符合题意．
故选：B．
8 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴和函数的递增区间易得答案.
【详解】∵函数在上单调递增，开口向上且对称轴为，
∴，解得．
故选：B．
9 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到，再利用不等式恒成立即可求解.
【详解】∵ ，
∴为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，
又在上是增函数，
∴在上是减函数，
∵，
∴，即，
∵，对于恒成立，
∴在上恒成立，
∴，
即的取值范围为.
故选：A.
10 若偶函数在区间上是增函数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的偶函数的性质和增函数的性质易得答案
【详解】函数为偶函数，则
又函数在区间上是增函数，
因为，
所以，即.
故选：D.
二、填空题
1 若是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性即可求解.
【详解】因为是定义在上的减函数，且，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
2 函数在区间上的单调性是 ．（填写“单调递增”或“单调递减”）
【答案】单调递增
【分析】求出函数单调递增区间，再判断作答.
【详解】函数的图象对称轴为，因此，函数的单调递增区间为，
而，所以函数在区间上的单调性是单调递增.
故答案为：单调递增.
3 如图是定义在区间的函数，则的增区间是 ．
【答案】和
【分析】根据的图象即可写出它的增区间．
【详解】由图可知：在，上都单调递增，在上单调递减.
故答案为：和．
4 函数的单调增区间是 .
【答案】
【分析】先求解函数的定义域，根据复合函数单调性求解单调增区间.
【详解】函数的定义域满足，解得，
故函数的定义域为.
令，则，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数在上单调递增，在上单调递减.
故答案为：.
三、解答题
1 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判断的单调性，并解不等式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解.
（2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）设，则，当时，，
因为，所以，即，
又，所以，
所以；
（2）时，单调递增，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以在上是单调增函数，
不等式可化为，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集为或.
2 已知函数.
(1)若为偶函数，且，求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据其为偶函数得到，再根据则得到其解析式；
（2）根据其对称性和单调性则得到不等式，解出即可.
【详解】（1）由为偶函数，则，
可得，即．
由，可得，即．
则.
（2）由的图象开口向上，且对称轴为直线，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，即，
解得或，则x的取值范围为.
题型六:函数的奇偶性
例6 下列函数中，图像关于原点中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，函数为奇函数，逐项分析即可得解.
【详解】由图像关于原点中心对称，可知该函数为奇函数，
选项A为偶函数，选项B非奇非偶函数，
选项C非奇非偶函数，选项D是奇函数.
故选：D.
变式训练
一、选择题
1 已知函数是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据函数是奇函数的定义求解.
【详解】因为是奇函数,所以,得.
故选:A.
2 已知函数为偶函数，则m的值是（　　）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质求解参数.
【详解】∵在定义域上是偶函数，
∴，
即得到，解得.
故选：C.
3 如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为
C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为
【答案】B
【分析】根据奇函数关于原点对称且关于原点对称的区间增减性相同判断即可.
【详解】因为奇函数在区间上增函数，所以在区间也为增函数，
因为在区间上的最小值为5，即，
所以，且其为最大值.
故选：B.
4 已知函数为奇函数，且当时，，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】先求的值，然后根据可求
【详解】时，，．
又为奇函数， ．
故选：.
5 下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性的判断即可排除AB，根据值域即可排除D.
【详解】对于A, 定义域为R，但是是偶函数，故A错误，
对于B，，所以是非奇非偶函数，B错误，
对于C，定义域为R，但是是奇函数，且值域为R，故C正确，
对于D，中，由于，故值域不为R，故D错误，
故选：C
6 若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数的性质即可判断.
【详解】因为奇函数在上图像如图所示，
奇函数的图像关于原点对称，因此奇函数在上的图像可能是
故选：C.
7 若函数为上的偶函数，且，则（ ）
A． B．3
C．2 D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义即可求值.
【详解】已知函数为上的偶函数，
所以有，且，
所以.
故选：B.
二、填空题
1 已知是奇函数，且当 时，，则当时， .
【答案】
【分析】利用奇函数的基本性质即可求解.
【详解】因为函数是奇函数，所以
又因为当 时，，则当时，，，
所以.
故答案为：
2 若定义域为的函数是偶函数，则 ， .
【答案】 2 0
【分析】根据偶函数的定义与二次函数对称轴公式即可得解.
【详解】偶函数的定义域为 ，则解得，
所以，
因为的图像关于y轴对称，所以对称轴，解得，
故答案为：；.
3 已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为 .
【答案】0
【分析】由偶函数的性质即可得解.
【详解】二次函数的定义域为R，
因为 是偶函数，所以恒成立，
所以，
解得，经验证满足题意.
故答案为：0．
三、解答题
1 已知函数，点是函数图象上的两点.
(1)求的值
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)
(2)奇函数，理由见解析
【分析】（1）利用点在图象上得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）利用函数奇偶性的判定方法即可得解.
【详解】（1）因为点是函数图象上的两点
所以，解得，即.
（2）由（1）得，
由，知的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数.
2 已知函数.
(1)若函数的图象过点，求函数的单调递增区间：
(2)若函数是偶函数，求值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数过某点求参数，再结合二次函数的性质求单调增区间即可.
（2）根据偶函数的性质求参即可.
【详解】（1）因为函数的图象过点，
所以，即，
所以函数，
因为该函数是二次函数，开口向上，对称轴是，
所以函数的单调递增区间时.
（2）因为函数是偶函数，
即，
所以对定义域内的任意有
且，
所以有
即，所以，即.
题型七:常见的函数
例7 函数在上是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一次函数的性质即可得解.
【详解】因为函数在上是减函数，
则有，解得.
故选：B．
变式训练
一、选择题
1 已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据一次函数的图像和性质即可求解.
【详解】因为一次函数不经过第一象限，
所以函数过二、四象限或者二、三、四象限，
根据一次函数的图像和性质可得，.
故选：A.
2 一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 或
【答案】A
【分析】利用一次函数图像的性质即可求解.
【详解】根据题意，一次函数的图象经过第一、二、四象限，
且，解得，
故选：A．
3 假设函数是增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一次函数的单调性即可得解.
【详解】根据一次函数的图像可知，
当时，函数是增函数.
故选：A.
4 点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点代入抛物线方程，再结合一元二次不等式即可求解.
【详解】∵点，都在抛物线上，
∴，，
∵，∴，
即，
∴，解得：.
故选：D．
5 反比例函数的图像位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据反比例图像，判断图像位置即可.
【详解】对于反比例函数，由题意得，且，
根据反比例函数图像得：该反比例函数图像在第四象限，
故选：D.
6 函数的减区间是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】C
【分析】画出函数图像，根据函数图象即可判断减区间.
【详解】

由图象可知单调减区间为，，
又因为单调区间有多个单调区间要分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接．
故选：C.
7 函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
【答案】D
【分析】根据二次函数的单调性即可求解.
【详解】由题意得，二次函数的对称轴为，开口向上.
所以在单调递减，在单调递增，
故选：D.
二、填空题
1 在平面直角坐标系中，函数的图像与函数交于点，则 .
【答案】
【分析】把点代入函数中，求出点A，再把A点带入中，即可求出.
【详解】把点代入函数中，得，故点A为），
把A点带入中，得，解得，故.
故答案为：.
2 已知二次函数的图像与x轴相交于和，则这个二次函数的对称轴是 .
【答案】
【分析】利用二次函数图像关于对称轴对称的性质即可求解.
【详解】二次函数的图像关于对称轴对称，
即对称轴经过和的中点，
则对称轴为:.
故答案为:.
3 若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】按和分类讨论，分别由一次函数和二次函数的单调性分析即可.
【详解】函数在区间上为减函数，
当时，满足题意；
当时，由题可得，解得，
综上，
故答案为：
三、解答题
1 画出函数的图象，并写出的定义域和值域.
【答案】作图见解析；定义域为，值域为
【分析】利用分段函数、一次函数的图象与性质即可求解.
【详解】当时，它的图象表示一条线段，
当时，它的图象表示一条不包含原点的线段，故图象为
所以函数的定义域为，值域为.
2 已知二次函数的顶点坐标为，且图像过点求
(1)二次函数的解析式
(2)二次函数的图像与x轴的交点个数
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）设二次函数，将点代入函数中求出a的值即可求解.
（2）令，根据判别式的结果即可判断.
【详解】（1）因为二次函数的顶点坐标为，所以设二次函数，
将点代入函数中为，解得，
所以二次函数的解析式为.
（2）因为在方程中，，
所以函数的图像与x轴的交点个数为0.
3 求函数的单调递增区间.
【答案】单调递增区间为.
【分析】求出函数定义域，再求出二次函数的递减区间，借助复合函数单调性判定方法即可得解,
【详解】函数的定义域是，
设，则函数在上是单调递减的，
因为函数在时单调递减，于是得函数在上是单调递增的，
所以函数的单调递增区间为.
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专题03函数
函数的概念
①求函数值
已知的表达式时,只需用数替换中的所有含的项即得的值
求的值应遵循由内到外的原则
②定义域
定义域是指x的取值集合
定义域 例子
整式
奇次根式
偶次根式 根号中的数大于等于0
分式 分母不为零
“()0”，0次幂 括号中的数不为0
③判断两个函数是否为同一函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
函数的表示方法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
解析法 一次函数、一元二次函数、反比例函数
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法
图像法 利用图像表示函数的方法
分段函数 当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示
分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集
求分段函数的函数值时，首先要判断所属的取值范围，然后再将代入相应的解析式中进行计算．
可以是连续的，也可以是不连续的作图像时，分别在各段不同取值范围内，根据相应解析式，作出相应部分的图像．要特别注意区间端点处对应点的虚实之分
函数的单调性
①函数单调性的概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).
特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).
特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
②单调性概念的拓展
若递增 若，则
若，则
若递减 若，则
若，则
③判断函数单调性的方法
解题步骤
(1) ，当；
(2) 作差；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差的正负)；
(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称
对于点 关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
几种常见的函数
①一次函数
一次函数 （为常数，且）
的符号
图像
性质 增函数 减函数
定义域
值域
②反比例函数
图像
经过象限 一、三 二、四
定义域
值域
单调性 单调减区间为 单调增区间为
③二次函数
函数
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴
增减性 时，单调递增； 时，单调递减 时，单调递减 时，单调递增
最大（小）值 当x= 时 当x= 时
题型一:定义域
例1 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
一、选择题
1 函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型二:求函数值
例2 函数（为常数），且，则（ ）
A． B．9
C．2 D．
变式训练
1 已知，则的解析式为 （　　）
A． B．
C． D．
2 已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型三:判断两个函数是否为同一函数
例3 下列函数完全相同的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式训练
1 下列每组函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B． 与
C．与 D．与
题型四:函数的表示方法
例4 已和，对应值如表所示，则的值为（ ）
0 1
1 0
0 1
A． B．0 C．1 D．不存在
变式训练
1 函数，的图像是（ ）
A．一条直线 B．一条线段
C．一条射线 D．三个点
2 已知函数，函数与的图像关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3 已知函数，函数与的图像关于x轴对称，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4 已知，则的值为（ ）
A．7 B．3 C． D．4
5 在自然界中，某种植物的数量与时间的关系如下表所示：
1 2 3 …
1 3 5 …
6 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B． C． D．
7 下列选项可表示为函数图像的是（ ）
A．B．C．D．
8 若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9 设，则等于（　　）
A．1 B．0 C．2 D．－1
10 已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1 设函数，且，则 .
2 若函数，则 ．
三、解答题
1 已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求实数的值.
题型五:函数的单调性
例5 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
一、选择题
1 若函数是R上的减函数且是奇函数，则有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．，
2 下列函数是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3 若函数在R上是减函数，则与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4 若是定义在上的减函数，，则（ ）
A． B． C． D．
5 若函数在R上是减函数，则有（ ）
A． B．
C． D．
6 函数的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）

A． B．
C． D．
7 下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（ ）
A． B．
C． D．
8 函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
10 若偶函数在区间上是增函数，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
1 若是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ．
2 函数在区间上的单调性是 ．（填写“单调递增”或“单调递减”）
3 如图是定义在区间的函数，则的增区间是 ．
4 函数的单调增区间是 .
三、解答题
1 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判断的单调性，并解不等式．
2 已知函数.
(1)若为偶函数，且，求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围.
题型六:函数的奇偶性
例6 下列函数中，图像关于原点中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
一、选择题
1 已知函数是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
2 已知函数为偶函数，则m的值是（　　）
A．4 B．3
C．2 D．1
3 如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为
C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为
4 已知函数为奇函数，且当时，，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5 下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6 若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7 若函数为上的偶函数，且，则（ ）
A． B．3
C．2 D．
二、填空题
1 已知是奇函数，且当 时，，则当时， .
2 若定义域为的函数是偶函数，则 ， .
3 已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为 .
三、解答题
1 已知函数，点是函数图象上的两点.
(1)求的值
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.
2 已知函数.
(1)若函数的图象过点，求函数的单调递增区间：
(2)若函数是偶函数，求值.
题型七:常见的函数
例7 函数在上是减函数，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练
一、选择题
1 已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2 一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 或
3 假设函数是增函数，则（ ）
A． B． C． D．
4 点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5 反比例函数的图像位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6 函数的减区间是（ ）
A． B．
C．， D．
7 函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
二、填空题
1 在平面直角坐标系中，函数的图像与函数交于点，则 .
2 已知二次函数的图像与x轴相交于和，则这个二次函数的对称轴是 .
3 若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为 ．
三、解答题
1 画出函数的图象，并写出的定义域和值域.
2 已知二次函数的顶点坐标为，且图像过点求
(1)二次函数的解析式
(2)二次函数的图像与x轴的交点个数
3 求函数的单调递增区间.
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