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专题04三角函数
1．角的概念
(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
①弧度与角度的换算：
②弧长公式：
③扇形面积公式：
说明：②③公式中的必须为弧度制，角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．三角函数的概念
(1)定义：设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点．
①把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
②把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
③把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数定义的推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则
(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)
4．特殊角的三角函数值表
－ －
利用三角函数的定义求时对应的三角函数值.
5．同角三角函数的基本关系
平方关系 ；；
商数关系
6．诱导公式
公式一 ；；
公式二 ；；
公式三 ；；
公式四 ；；
公式五 ；
公式六 ；
7．正弦函数、余弦函数的图像和性质
函数 正弦函数 余弦函数
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期 最小正周期
单调区间 增区间 减区间 增区间 减区间
最值点 最大值点 最小值点 最大值点 最小值点
对称中心
对称轴
题型一:任意角和弧度制
例1 下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等
【答案】C
【分析】根据锐角、钝角、终边相同的角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项即可求解.
【详解】对A，因为是第一象限角，但是负角，故A错误.
对B，因为小于，但不是锐角，故B错误.
对C，因为钝角是大于且小于的角，所以钝角一定在第二象限，故C正确.
对D，因为和终边相同，但它们不相等，故D错误．
故选：C.
变式训练
1 下列与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据终边相同角的概念即可得出结论.
【详解】，所以与终边不相同，故A错误.
，所以与终边不相同，故B错误.
，所以与终边不相同，故C错误.
，所以与终边相同，故D正确.
故选：D.
2 下列各角终边在y轴上的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据终边在y轴上的角的集合即可得出结论.
【详解】角终边在y轴上的集合为，
当时，.
当时，.
当时，.
当时，.
当时，.
故D选项正确，A、B、C选项错误.
故选：D.
3 设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解.
【详解】终边在y轴的负半轴上的角的集合为：
或.
故选：C
【点睛】本题考查了终边相同角的表示，属于基础题.
4 化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将角度化为弧度即可解得.
【详解】，
故选：B.
5 弧度的角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先找到与弧度的角终边相同的角，再判断其所在的象限.
【详解】∵，∴的终边与的终边相同.
又∵，∴弧度的角的终边在第二象限．
即，弧度的角的终边在第二象限．
故选：B．
6 用角度制可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由弧度制和角度制的换算规则进行计算即可.
【详解】.
所以用角度制可表示为.
故选：C.
题型二:任意角的三角函数
例2 已知为第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数在各象限的符号求解.
【详解】因为为第二象限角，
所以，
即，
所以ABD错误，选项C正确，
故选：C.
变式训练
1 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式求值即可.
【详解】.
故选：B.
2 已知，且，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据正弦及正切函数值在各象限的正负情况判断即可.
【详解】由可知，角的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴，
由可知，角的终边在第一象限或第三象限，
综上，角的终边第三象限.
故选：.
3 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解.
【详解】
故选：C.
4 设角a是第四象限角，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【分析】由角所在的象限确定三角函数的正负即可.
【详解】因为角是第四象限角，
所以，存在且.
故B选项正确，A、C、D选项错误.
故选：B.
5 已知角a的终边经过，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任意角的正弦函数的定义求值即可.
【详解】已知角a的终边经过，则，
所以，
故选：C.
6 若点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合二倍角的余弦公式，即可求解．
【详解】因为点在角的终边上，所以，
则，
故选：B．
7 若，则角的终边在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解.
【详解】因为，
所以异号，即在所在的象限一正一负，
所以角的终边在第三、四象限.
故选：.
8 若，且，则角是第（ ）象限角．
A．二 B．三 C．一或三 D．二或四
【答案】D
【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限.
【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角
所以为第三象限角，即，
，
为第二或第四象限角.
故选：D.
9 角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用终边上的坐标求正弦值即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以在第二象限，
即有，
故选：C.
题型三:同角三角函数的基本关系
例3 若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.
【详解】根据题意得：
故选：C.
变式训练
1 若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合三角函数在各象限的符号，即可化简求值．
【详解】因为，所以，
所以．
故选：B．
2 若，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数平方关系，将两边平方化简单计算即可.
【详解】，
，
.
故选：A．
3 已知，且是第二象限的角，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角的正弦与余弦的平方和为一即可求解.
【详解】因为是第二象限角，所以，
因为，
所以.
故选：.
4 已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角的范围判断，再根据同角三角函数的平方关系得到，即可求解.
【详解】∵，∴，
而，故.
即，.
故选：B.
5 已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】因为，所以 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
则 ，
故选：B.
6 化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数基本关系式进行化简即可得解.
【详解】，
所以，
故选：.
7 函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简题设函数，再利用正弦函数的周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以的最小正周期为.
故选：A.
8 已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将两边进行平方，利用正弦二倍角公式即可得解.
【详解】因为，则，
所以即，
故选：.
9 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数基本关系式及象限角的三角函数值的符号即可得解.
【详解】因为，，
又，所以，即，又所以，
故选：.
题型四:诱导公式
例4 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：B．
变式训练
1 若点在角的终边上，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义与诱导公式即可得解.
【详解】因为点在角的终边上，所以，
则.
故选：A.
2 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
3 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】．
故选：C.
4 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】.
故选：B
5 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式转化角即得.
【详解】.
故选：D.
6 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据单位圆上点的坐标求三角函数值以及诱导公式求解即可.
【详解】因为角的终边上的点，
所以，
又因为，所以.
故选：C.
7 计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】由诱导公式可得，
．
故选：A．
8 若点是角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可得解.
【详解】点是角终边上一点，
由定义可得，
所以.
故选：．
9 若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，再利用三角函数的倍角公式即可得解.
【详解】因为，，
所以，，
则，
所以.
故选：D.
题型五:三角函数图像与性质
例5 已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用正弦函数的最小正周期公式即可得解.
【详解】因为的最小正周期为，
所以，解得.
故选：D.
变式训练
1 函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据余弦函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以，则，
所以函数的最大值是3.
故选：D.
2 函数是（ ）
A．奇函数 B．既奇又偶函数 C．非奇非偶函数 D．偶函数
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断
【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以，
所以函数是奇函数.
故选：A.
3 已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．值域为 B．最小正周期为
C．振幅为3 D．经过点
【答案】B
【分析】分析正弦型函数的解析式，根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】对A：因为，所以，则函数的值域为，故A项正确；
对B：函数的最小正周期为，故B项错误；
对C：由函数可知，振幅为3，故C项正确；
对D：在函数中，当时，，所以函数经过点，故D项正确.
故选：B.
4 下列选项正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦和余弦函数的单调性及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】对A：因为，又函数在单调递增，所以，故A项正确；
对B：因为，又函数在单调递减，所以，故B项错误；
对C：因为，所以，故C项错误；
对D：因为，所以，故D项错误.
故选：A.
5 函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式将函数化为，再根据正弦函数的图象和性质可判断结果.
【详解】由于函数，
故函数的值域为，故A、B选项错误；
当时，，当时，，
故C选项正确，D选项错误.
故选：C
6 下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倍角公式，两角和与差的公式，正余弦函数的性质即可求解.
【详解】对A，是正弦函数，是奇函数，最小正周期为，故A错误.
对B，是余弦函数，是偶函数，最小正周期为，故B错误.
对C，，最小正周期为，故C错误.
对D，，是奇函数，最小正周期是，故D正确.
故选：D.
7 函数 的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的周期是
B．函数的图象过点
C．函数在上单调递减
D．当时，
【答案】A
【分析】根据正弦函数图像求解析式，然后利用正弦型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图可知函数最小值为，则最大值为，则，
由图可知从到为个周期，则，则，
将代入解析式则，，则，
因为，则，
则，
因为周期为，故A错误；
将代入解析式，则，故B正确；
由正弦函数性质可知函数，在为减区间，
即在为减区间，
当时，为区间，而区间为区间的子集，故C正确；
将代入解析式得，，即，
因为，结合正弦函数性质可知，
即，当时为，即，
所以当时，，故D正确；
故选：A.
8 已知函数，则 的最小正周期为 ，最大值为 （ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式进行化简整理为，再由周期公式求周期，根据的值确定最值即可.
【详解】由，
得，
即，其中，，
所以的最小正周期为，最大值为.
故选：A．
9 已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】利用余弦二倍角公式化简解析式，然后根据余弦函数性质求最值周期即可.
【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
当时取得最大值，
最大值为，
故选：B.
10 函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简题设函数，再利用正弦函数的周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以的最小正周期为.
故选：A.
11 函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的范围可求得的范围，进而可求得函数的值域.
【详解】因为，即，
所以，
所以，
因此函数的值域为：.
故选：.
12 函数的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由二倍角的余弦公式将函数化为类二次函数，再由余弦函数和二次函数的性质求最小值.
【详解】函数，
令，则，
则，对称轴为，
所以在上单调递增，
故时，取最小值，最小值为.
故选：B.
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专题04三角函数
1．角的概念
(2)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
①弧度与角度的换算：
②弧长公式：
③扇形面积公式：
说明：②③公式中的必须为弧度制，角度与弧度的换算的关键是，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．三角函数的概念
(1)定义：设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点．
①把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
②把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
③把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数定义的推广：设点是角终边上任意一点且不与原点重合，，则
(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)
4．特殊角的三角函数值表
－ －
利用三角函数的定义求时对应的三角函数值.
5．同角三角函数的基本关系
平方关系 ；；
商数关系
6．诱导公式
公式一 ；；
公式二 ；；
公式三 ；；
公式四 ；；
公式五 ；
公式六 ；
7．正弦函数、余弦函数的图像和性质
函数 正弦函数 余弦函数
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期 最小正周期
单调区间 增区间 减区间 增区间 减区间
最值点 最大值点 最小值点 最大值点 最小值点
对称中心
对称轴
题型一:任意角和弧度制
例1 下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等
变式训练
1 下列与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2 下列各角终边在y轴上的是（ ）
A． B． C．0 D．
3 设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则
A． B．
C． D．
4 化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
5 弧度的角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6 用角度制可表示为（ ）
A． B． C． D．
题型二:任意角的三角函数
例2 已知为第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
1 （ ）
A． B． C． D．
2 已知，且，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3 的值等于（ ）
A． B． C． D．
4 设角a是第四象限角，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．不存在
5 已知角a的终边经过，则（ ）
A． B． C． D．
6 若点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
7 若，则角的终边在（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
8 若，且，则角是第（ ）象限角．
A．二 B．三 C．一或三 D．二或四
9 角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
题型三:同角三角函数的基本关系
例3 若，则（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
1 若，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
2 若，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
3 已知，且是第二象限的角，则（ ）．
A． B． C． D．
4 已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
5 已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6 化简（ ）
A． B． C． D．
7 函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
8 已知，则（　　）
A． B． C． D．
9 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四:诱导公式
例4 （ ）
A． B． C． D．
变式训练
1 若点在角的终边上，则（ ）.
A． B． C． D．
2 已知，则（ ）
A． B． C． D．
3 （ ）
A． B． C． D．1
4 （ ）
A． B． C． D．
5 （ ）
A． B． C． D．
6 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7 计算（ ）
A． B． C． D．
8 若点是角终边上一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9 若，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五:三角函数图像与性质
例5 已知函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式训练
1 函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2 函数是（ ）
A．奇函数 B．既奇又偶函数 C．非奇非偶函数 D．偶函数
3 已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．值域为 B．最小正周期为
C．振幅为3 D．经过点
4 下列选项正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5 函数在上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6 下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7 函数 的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的周期是
B．函数的图象过点
C．函数在上单调递减
D．当时，
8 已知函数，则 的最小正周期为 ，最大值为 （ ）.
A． B．
C． D．
9 已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为
10 函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
11 函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
12 函数的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
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