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解答题01 7类解三角形答题模板
（正余弦求边角、周长边长三角函数值面积最值、内切圆外接圆、
中线角平分线高线、证明综合）
模板01 运用正余弦定理的求三角形中的边与角的答题模板
运用正余弦定理求三角形中的边与角是高考中的常考题型，在解答题中一方面考查学生的解题能力，另一方面考查学生的规范作答能力，所以解答题需具备更高的考试素养.
利用正弦定理、余弦定理、面积公式、完全平方等公式进行计算即可，公式如下，作答模板详见解析
正弦定理
（其中为外接圆的半径）
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面积公式
，
（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
1．（2023·新高考Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
1．（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求角；
(2)若的面积为，求．
2．（2022·新高考Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
3．（2021·新高考Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
模板02 求周长的值或范围、求“边长类”范围的答题模板
在解三角形中，求解边长及周长最值是常见的基本题型，其中边长类最值包括“和”、“差”、“积”、“商”类最值，需进行边角互化巧妙转化变量，进而结合三角函数的值域或基本不等式来求解.
基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论 重要不等式
（和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号
辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
1．（2024·四川内江·一模）在中，，，分别为内角所对的边，且满足．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
1．（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
2．（2024·广东韶关·一模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知角，，所对的边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为
(1)求；
(2)求的取值范围.
5．（24-25高三上·浙江·开学考试）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
模板03 求“三角函数值类”范围的答题模板
在解三角形中求“三角函数值类”的范围，通常是转化为边或角，用三角函数值域或基本不等式求范围.
公式同上，需清晰转化方向，到底转化为边方便，还是转化为角简单.
（2024·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
1．在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
2．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围
1．（2024·山西长治·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别为内角A、B，C的对边，且.
(1)求A的大小；
(2)求的取值范围.
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知
(1)若，判断的形状；
(2)若，求的最大值.
3．（2024·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为.
(1)证明：；
(2)若成等比数列.
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围.
模板04 求面积的值或范围的答题模板
在高考中经常考查求三角形的面积及三角形的最值，是高频考题，通常需结合基本不等式来求解最值.
三角形的面积公式
，
（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
1．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
2．（2022·新Ⅰ卷·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
3．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，，求b；
(2)若，求的面积S的最大值.
1．（2024·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面积.
2．（2024·浙江·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，，求的面积.
3．（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积的最小值.
模板05 求内切圆及外接圆的答题模板
解三角形中求内切圆和外接圆的半径及其应用在近年模拟题中也经常遇见，需对本类型题熟练运用.
（其中为外接圆的半径）
（2024·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求C；
(2)若且，求的外接圆半径．
1．在中，内角所对的边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圆半径的最小值.
2．（2024·广东·模拟预测）记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围．
1．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 .
(1)求;
(2)求的内切圆半径 的取值范围
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
3．如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
模板06 求中线、角平分线、高线的答题模板
解三角形中中线、高线、角平分线及其应用在近年模拟题中也经常遇见，需对本类型题熟练运用.
角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
张角定理
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
（2023·全国·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
1．（2024·浙江台州·一模）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
2．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分线，，求线段BD的长．
1．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上.
(1)求证：；
(2)求的长.
2．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．
模板07 三角形中问题证明的答题模板
解三角形中的证明问题一直是热点命题方向，在近年高考、模拟题中也经常遇见，需对本类型题熟练运用.
结合三角函数、三角恒等变换、正余弦定理等变形即可得到问题证明
（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
1．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
2．（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，证明：为直角三角形.
1．（2024·福建泉州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知且均为整数．
(1)证明：；
(2)设的中点为，求的余弦值．
2．（2024·广东汕头·二模）中，内角、、的对边分别为、、.
(1)若，，求的值；
(2)求证：.
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
2．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求AB边上的高．
3．（2024·吉林长春·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
(1)求；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
4．（2024·福建福州·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为中点，求的长.
5．（2024·四川·模拟预测）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求边上的高．
6．（2024·山东临沂·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若点D在线段AB上，且，求的最大值.
7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.

(1)当时，求；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
8．（2024·广西·模拟预测）的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
9．（2024·广东江门·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，且满足．
(1)证明：；
(2)若为钝角，求的取值范围．
10．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
11．（2024·江西·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c的等比中项．
(1)求B的最大值：
(2)若C为钝角，求的取值范围．
12．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)求的最小值，并求出此时的大小．
13．（2024·湖南长沙·三模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，
(1)求角A.
(2)若，所在平面内有一点D满足，且BC平分，求面积的取值范围.
14．（2024·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.
(1)写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；
(2)若外的点D满足，，求面积的最大值.
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求边上的角平分线长；
(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)解答题01 7类解三角形答题模板
（正余弦求边角、周长边长三角函数值面积最值、内切圆外接圆、
中线角平分线高线、证明综合）
模板01 运用正余弦定理的求三角形中的边与角的答题模板
运用正余弦定理求三角形中的边与角是高考中的常考题型，在解答题中一方面考查学生的解题能力，另一方面考查学生的规范作答能力，所以解答题需具备更高的考试素养.
利用正弦定理、余弦定理、面积公式、完全平方等公式进行计算即可，公式如下，作答模板详见解析
正弦定理
（其中为外接圆的半径）
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
三角形的面积公式
，
（2024·新高考Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
思路点拨：
（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
思路详解：（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
1．（2023·新高考Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
思路详解：（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
思路详解：（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
1．（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求角；
(2)若的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，利用余弦定理结合已知可得，可求；
（2）利用三角形的面积公式可求，计算可求.
【详解】（1）由及正弦定理得，故，
由余弦定理得，
又，所以．
因为，所以．
（2）因为的面积为，
所以，
又，所以，
又，所以，得．
2．（2022·新高考Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
3．（2021·新高考Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
模板02 求周长的值或范围、求“边长类”范围的答题模板
在解三角形中，求解边长及周长最值是常见的基本题型，其中边长类最值包括“和”、“差”、“积”、“商”类最值，需进行边角互化巧妙转化变量，进而结合三角函数的值域或基本不等式来求解.
基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论 重要不等式
（和定积最大） 当且仅当时取等号 当且仅当时取等号
辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
（2024·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
思路点拨：利用公式计算即可
思路详解：（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
1．（2024·四川内江·一模）在中，，，分别为内角所对的边，且满足．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
思路详解：（1）因为，
由正弦定理可得，
且，即，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）由余弦定理可得：，
即，可得，
又因为，可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为.
2．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
思路详解：1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
1．（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
2．（2024·广东韶关·一模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)最大值为6
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，可得，再根据三角形的内角和公式和诱导公式，可得，进而得角.
（2）法一：利用余弦定理，结合基本不等式可求三角形周长的取值范围.
法二：利用正弦定理，表示出，再利用三角函数的恒等变换，可得三角形的周长为，再根据角的取值范围，可求周长的最大值.
法三：数形结合，把问题转化成圆的弦长中，直径最大，再根据直角三角形的边角关系求圆的直径.
【详解】（1）由b及正弦定理得
所以
因为
化简得
因为，所以，所以
所以.
（2）法一：由余弦定理
有
因为
所以
即，所以，当且仅当时等号成立.
所以的周长.
即周长的最大值为6.
法二：由正弦定理，即
的周长
因为，所以
所以
因为，所以当时取得最大值为6
法三：（几何法）：如图1所示，延长到点，使得
使得，
要使的周长最大，则需满足长度最大
将问题转化为已知一边，一对角，求另一边的长度的最大值
由图2可得.当为该圆直径时，最大.
即
所以.

3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知角，，所对的边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得，根据锐角三角形可得的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在中，
，
因为，
所以，
化简得，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由正弦定理知
，
由为锐角三角形可知，而，
所以得，
所以，
所以，即 ，
则的取值范围为.
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案；
（2）由题可得，后由正弦定理可得，后由正切函数单调性可得答案.
【详解】（1）由余弦定理，，又三角形面积为，
则，又由题，则；
（2）由（1），，又为锐角三角形，
则.
由正弦定理： .
因在上单调递增，则时，.
则，即.
5．（24-25高三上·浙江·开学考试）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求解；
（2）由正弦定理边化角，由三角恒等变换结合三角函数性质即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理知，
而，
故，
从而.由于是三角形内角，故，
从而，故，
亦即，显然，故.
（2）因为，，
又，所以，解得，所以，
从而
.
不妨设，则，
即的取值范围是，
所以的取值范围是，
而，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是.
模板03 求“三角函数值类”范围的答题模板
在解三角形中求“三角函数值类”的范围，通常是转化为边或角，用三角函数值域或基本不等式求范围.
公式同上，需清晰转化方向，到底转化为边方便，还是转化为角简单.
（2024·广东广州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
思路点拨：转化为三角函数在值域来求解
思路详解：（1）因为 ，
由正弦定理得，，由余弦定理得，
所以，又，所以.
又，，所以或，
所以或，
又，所以，所以，得证.
（2）由（1）知，所以，
又，所以
，
因为，所以，所以，
因为函数在单调递增，
所以，
所以的取值范围为.
1．在中，内角所对的边分别为，满足
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．
思路详解：（1）由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，
或（舍）,
.
（2）为锐角三角形,
解得：,所以，
且
由（1）问，，
令，
则，
所以
因为,
当时，所求的最大值为.
2．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围
思路详解：（1）是与的等差中项，.
.
.
由余弦定理得：，即，
化简得.，即.
.，
是以为斜边的直角三角形.
（2）是锐角三角形，
，解得，
.
由得，，
，即.
的取值范围为.
1．（2024·山西长治·模拟预测）在锐角中，a，b，c分别为内角A、B，C的对边，且.
(1)求A的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助正弦定理将角化边后，借助余弦定理计算即可得；
（2）由为锐角三角形可得角的范围，再借助三角恒等变换化简后计算即可得.
【详解】（1）由题及正弦定理得：，即，
则，∵，∴；
（2）由为锐角三角形知，，故，
则，
有，即，
故的取值范围为.
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知
(1)若，判断的形状；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)直角三角形
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和余弦定理化简已知，可得解；
（2）根据（1）可得，利用正弦定理边化角，再借助三角函数恒等变形可得，最后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）根据题意，，
即，
所以，
化简得，
当时，得，即为直角三角形；
（2）当时，根据（1），有，
根据正弦定理，有，
即，
根据和差化积公式，得，
即，化简得，
所以，
设则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取最大值为.
3．（2024·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为.
(1)证明：；
(2)若成等比数列.
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)(i)；(ii)
【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系证明即可；
（2）（i）利用三角形三边关系建立不等式组解不等式即可；（ii）利用第一问及第二问第一小问的结论，结合正余弦定理、对勾函数的单调性计算即可.
【详解】（1）易知，所以，
则对于，即左侧等式成立，
又，两侧同时除以，
所以，即右侧等式成立，证毕；
（2）（i）由题意，设公比为，知，
根据三角形三边关系知：，
解之得
（ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知：
，
由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
即的取值范围为.
模板04 求面积的值或范围的答题模板
在高考中经常考查求三角形的面积及三角形的最值，是高频考题，通常需结合基本不等式来求解最值.
三角形的面积公式
，
（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
思路详解：（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
1．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
思路详解：（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．（2022·新Ⅰ卷·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
思路详解：（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
3．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，，求b；
(2)若，求的面积S的最大值.
思路详解：（1）∵，由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以，所以B为锐角，所以，
，所以，
故，
又，所以.
（2）因为，
由正弦定理得，即，
所以，
又，所以.
因为，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时取等号，
所以S的最大值是.
1．（2024·广东·模拟预测）在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求角的大小；
(2)已知.求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和的余弦公式化简结合二倍角的余弦公式即可求出的值，进而可求角；
（2）由余弦定理可得，再利用三角形面积公式即可求出.
【详解】（1）因为，
即，解得或.
因为在中，，
所以.
（2）在中，由余弦定理，
得，
整理得，
由，解得，
所以的面积为.
2．（2024·浙江·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且.
(1)求角的值；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，可得；
（2）根据可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得边长即求出面积.
【详解】（1）根据题意由正弦定理可得，
整理可得，
即，所以；
可得，又，所以，
又，因此.
（2）由三角形内角关系可得，
由可得，解得或；
当时，，又，所以两角均为钝角，不合题意；
因此，；
又，可得，同理；
由正弦定理可得，可得，
同理
因此的面积为.
3．（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为，所以，由正弦定理可得，则可得，则得；
（2）由，化简可得，则得，，因为，则可得，再由基本不等式可得，即，则得到的面积的最小值.
【详解】（1）
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
又因为，，且，
所以.
（2）因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
由（1）知，则，
因为，
所以，
又，
所以
因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值为.
模板05 求内切圆及外接圆的答题模板
解三角形中求内切圆和外接圆的半径及其应用在近年模拟题中也经常遇见，需对本类型题熟练运用.
（其中为外接圆的半径）
（2024·安徽·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求C；
(2)若且，求的外接圆半径．
思路详解：（1）因为，即，
且，
即，则，
且，则，可得，
且，所以.
（2）因为且，则，可得，
由余弦定理可得，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以的外接圆半径.
1．在中，内角所对的边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求外接圆半径的最小值.
思路详解：（1）因为，所以，
整理得，所以，又，所以．
（2）因为，，
所以，故，即，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．
所以.
2．（2024·广东·模拟预测）记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围．
思路详解：（1），
，则，
，
，解得，
；
（2）根据正弦定理得：，
设的内心为，易知，
由，则，
由余弦定理得：，
即，当且仅当时取等号，
，
，
，
．
1．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 .
(1)求;
(2)求的内切圆半径 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化为边，再由余弦定理求解即可；
（2）根据等面积法可得出的表达式，利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，
所以，
由可知，，
所以，故.
（2）因为的内切圆半径 ，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
由正弦定理
，
又，则，
所以，故，
所以.
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
3．如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)有，
(2)
【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理结合条件得，所以，，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．由正弦定理即可求出；
(2)由三角形面积公式得到，则，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，即可得到的取值范围，从而得到半径的取值范围．
【详解】（1）在中，，
所以，
由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以．
因为，所以，所以四点共圆，
则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．
又，所以．
（2）由（1）可知：，则，
，
则．
在中，由正弦定理，，
所以，，
则
，
又，所以，
所以，，即，
因为，所以．
模板06 求中线、角平分线、高线的答题模板
解三角形中中线、高线、角平分线及其应用在近年模拟题中也经常遇见，需对本类型题熟练运用.
角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
张角定理
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
（2023·全国·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
思路详解：（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
1．（2024·浙江台州·一模）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)若的面积为，为的中点，求长度的最小值．
思路详解：（1）在中，由及正弦定理得，
则
，而，则，又，
所以.
（2）依题意，，由（1）知，得，
在中，由余弦定理得
，当时取到等号，
所以的最小值为.
2．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分线，，求线段BD的长．
思路详解：（1）已知，由正弦定理（为外接圆半径），
可得.
因为，所以，那么.
根据两角和的正弦公式，
则.
展开可得.
移项可得.
因为，所以，两边同时除以得，解得.
又因为，所以.
（2）因为BD是角的平分线，根据角平分线定理，
已知，，所以，设，则.
在中，根据余弦定理，
，，则.
即，解得，所以，.
在中，根据余弦定理，
因为，所以.
设，则.
即，整理得.
分解因式得，解得或.
当，在中，,舍去.
当，在中，,满足.
故BD的长度为4.

1．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上.
(1)求证：；
(2)求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理得到，，两式相比，即可证明结果；
（2）法一：在中，利用余弦定理得到，利用（1）中结果，有，，在中，利用余弦定理得，从而得到或，在中，利用余弦定理得，从而得到或，即可求解；法二：利用余弦定理得，，两式相加，即可求解.
【详解】（1）因为，为的角平分线，
在中，因为，得到①，
在中，因为，得到②，
又，由①②得到，
所以.
（2）法一：在中，，
得到，即，
由（1）知，所以，，
在中，，得到，
解得或，
在中，，得到
解得或，所以.
法二：在中，可算，
又，，
又，两式相加可解得.
2．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解.
（2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，则，
即，
由余弦定理可得：，
因为，所以.
（2）因为为的中点，所以，
则，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
则，当且仅当取等号，
即，
所以，即中线长的最大值为.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；
（2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值.
【详解】（1）由题意知中，，
故
即，
即，
所以，
而，故，
故，即，
又，故；
（2）由余弦定理：，
又，
所以，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，则的最小值为.
模板07 三角形中问题证明的答题模板
解三角形中的证明问题一直是热点命题方向，在近年高考、模拟题中也经常遇见，需对本类型题熟练运用.
结合三角函数、三角恒等变换、正余弦定理等变形即可得到问题证明
（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
思路详解：（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
1．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
思路详解：（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2．（2024·内蒙古·三模）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，证明：为直角三角形.
思路详解：（1）由，
可得，
所以，
所以，
则，即.
（2）证明：由（1）可得.
又，所以，
即，
故，
所以，
即，
因为，所以为锐角，
解得（负值舍去），即，
所以为直角三角形.
1．（2024·福建泉州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知且均为整数．
(1)证明：；
(2)设的中点为，求的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先得出，即，进一步根据三角恒等变换以及，且均为整数，可得，由此即可得证；
（2）由题意先得出，，结合正弦定理有，再结合余弦定理以及等边对等角即可得解.
【详解】（1）在中，均为整数，，
，且，
最小．当，矛盾，
，则，
且为整数，
，
．
又，
即．
由均为整数，且，
由，可得，
又因为，
可得，
故．
．
（2）
由（1）知，，
则．
由正弦定理，
可得，
又的中点为．
在中，由余弦定理，得，
，则，
．
2．（2024·广东汕头·二模）中，内角、、的对边分别为、、.
(1)若，，求的值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以.
（2）证明：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以.
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用余弦边角关系可得，再由余弦定理可得，即可求角的大小；
（2）根据已知条件及（1）结论，应用余弦定理列方程求得或，再分别求出对应三角形面积即可.
【详解】（1）在中，，
又，所以，
由余弦定理得， 又，
则.
（2）在中，，，
由余弦定理，得，即，解得或．
当，，时，可构成三角形，此时的面积为；
当，，时，可构成三角形，此时的面积为．
2．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求AB边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可.
（2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
由正余弦边角关系得，①，
又，②
由①②得，，
∴，∴
（2）由（1）得，，
（或由余弦定理得）
∵为锐角，∴，
∴的面积，
∴，
设边上的高为，
则的面积，
∴，即边上的高为.
3．（2024·吉林长春·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
(1)求；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦边角关系化简题设条件可得，即可求角的大小；
（2）是的中线，利用向量数量积的运算律及已知可得，应用等面积法求得，再应用余弦定理求CD的长.
【详解】（1）由题设，
而，所以，，
所以.
（2）如下示意图，是的中线，则，
所以，
由，则，
又，则，
即，则，
所以.
4．（2024·福建福州·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为中点，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）利用向量的中线公式平方即可得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，得
因为，则，所以，
由于，则；
（2）因为为中点，故，
所以
.
所以的长为.
5．（2024·四川·模拟预测）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得答案；
（2）利用余弦定理结合可求出，再利用可求出边上的高．
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得．
又因为，则，所以．
整理得，即．
因为，所以，
所以，所以．
（2）由余弦定理，且，
则有，
又，故．
解得或（舍去），
所以边上的高．
6．（2024·山东临沂·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若点D在线段AB上，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解；
（2）根据平面向量线性运算可得，两边平方，然后利用重要不等式即可得解.
【详解】（1）由得
，
∴，
即，
由正弦定理边化角得，
因为，
所以，∴，
又∵，∴.
（2）∵D点在线段AB上，且，
，∴，
∴
，
当且仅当时，等号成立．
∴．
即的最大值为．
7．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.

(1)当时，求；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值；
（2）由余弦定理可得的表达式，进而求出正三角形的面积的表达式，进而求出四边形的面积的表达式，由辅助角公式及的范围，可得四边形面积的范围．
【详解】（1）因为，，，
由余弦定理可得：.
（2）由余弦定理可得，
因为为正三角形，所以，
，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故当时，四边形面积的最大值为.
8．（2024·广西·模拟预测）的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：，则，
而，且，则．
（2）因为，所以由余弦定理得，即，
所以，即（当且仅当时，等号成立），
因为，所以，
解得，因为（当且仅当时，等号成立），
所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．

9．（2024·广东江门·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，且满足．
(1)证明：；
(2)若为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，得到，结合内角和公式，三角恒等变换公式可得，结合正弦函数性质，即可证得结论；
（2）由正弦定理边化角，并结合整理得到，由结合为钝角得到，进而得到，从而得到的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理，为的外接圆半径，
得．
因为，即，
所以，
即，即，
所以或，
若，则，这与矛盾，舍去，
若，则，因为，所以只能取0，
此时，.
（2）由（1）得，
由正弦定理得，
又由，即，解得，所以，
则．
所以的取值范围为.
10．（2024·陕西商洛·模拟预测）在锐角中.内角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理变形，利用两角和差公式求得，然后利用正弦函数性质即可求得；
（2）利用三角恒等变换得，由条件求的范围，结合正弦函数性质求解范围即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
因为为锐角三角形内角，所以，，
所以，所以，即；
（2），
由题意得，解得，所以，
所以，所以，
即的取值范围为.
11．（2024·江西·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b是a，c的等比中项．
(1)求B的最大值：
(2)若C为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项及余弦定理得，根据基本不等式及余弦函数性质可得结果；
（2）依题意设，，根据三角形三边关系及条件求出，利用正弦定理及两角和正弦公式。诱导公式化简得，从而可得结果.
【详解】（1）因为b是a，c的等比中项，所以．
由余弦定理可知，
则，当且仅当时，等号成立．
又，根据余弦函数的性质且，
故B的最大值为．
（2）由已知可设，，
则，所以，解得．
，
所以的取值范围为．
12．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)求的最小值，并求出此时的大小．
【答案】(1)
(2)的最小值是5，此时
【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；
（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.
【详解】（1）由题意得，
因为，
所以，故，
又，所以．
因为、是的内角，所以为钝角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，则，
所以．
（2）由（1）可知，在中，，
即为钝角，则，
因为，，
所以，
设，
则
，
由，
故，
当且仅当，即，
结合为钝角，即当时等号成立，
所以的最小值是5，此时．
13．（2024·湖南长沙·三模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，
(1)求角A.
(2)若，所在平面内有一点D满足，且BC平分，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得，即可得解；
（2）设，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得，结合导数求解即可.
【详解】（1）由题，
即，即，
所以，即，所以，
又，所以.
（2）由题（1）知，又，设，
由中，，故，则，
由正弦定理有，，则，
故面积，
令，
则，
又，所以，知函数在上单调递增，
又，，故面积的取值范围为.
14．（2024·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.
(1)写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假；
(2)若外的点D满足，，求面积的最大值.
【答案】(1)逆命题q见解析，假命题；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合逆命题的定义即可得解，解直角三角形判断真假.
（2）结合锐角三角函数定义及正弦定理可求出DB，DC，然后结合三角形面积公式，和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求．
【详解】（1）逆命题q为：已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，
若是直角三角形，则.
命题q为假命题，理由如下：
由为直角三角形，且，得或，而，
当时，，当时，，
因此逆命题q是假命题.
（2）由于外的点D满足，而，则四点共圆，
由，得，且，设，则，
在中，由正弦定理得外接圆直径，，
在中，，
在中，，
则的面积
，
显然，，因此当时，，
所以面积的最大值为.
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若，，求边上的角平分线长；
(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出；利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得答案；
（2）延长交于，延长交于，设，分别求出、，再根据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，因为，所以；
又因为，，所以，
即，解得，设边上的角平分线长为，
则
，即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
（2）延长交于，延长交于，设，
所以，在中，
在中，，，所以，
在中，
同理可得在中，所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为.
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