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第八章立体几何
平衡水中学状元笔记
第二节
空间几何体的表面积和体积
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，考
的计算公式
查空间想象、数学运算素养：能用公式解决简单的实际问
2.能用公式解决简单的实际问题
题，考查空间想象、数学建模素养
核心素养养成
一柱体、锥体、台体的表面积
1.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧=，S正校锥侧一
,S正棱台侧=
(其中C,C为
名师点拨
①理解锥体公式中
底面周长，h为高，h'为斜高).
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱制=
,S国维侧=，S圆台侧一
(其中r,r为底面半
②理清公式关系，
径，1为母线长).
3.柱或台的表面积等于
的和，锥体的表面积等
入
与
的和.
2柱体、锥体、台体的体积
1.棱柱、棱锥、棱台的体积
V酸柱=，V袋策=，V校台三
(其中S,S为底
面积，h为高).
2.圆柱、圆锥、圆台的体积
V图柱=
,V网谁三
,V图台
(其中r,r'为
底面圆的半径，h为高).
②球的表面积与体积
、名师点拨
1.半径为R的球的表面积S球=
→①理解球的表面积
公式、体积公式的
2.半径为R的球的体积V=
推导.
②记清系教.
核心素养提升
学习要点1柱体、锥体、台体的表面积)
例1若正四棱柱ABCD一ABCD1的底面边长为2，AC,与
底面ABCD成45°角，则三棱锥B-ACC,的表面积为
()
A.6+22+23
B.4+32+3√3
C.8+√2+2√3
D.10+√2+√3
236
衡来中草扶元笔记当
第八章立体几何
名高中·数学
解断由AC与底面ABCD成45°角，且正四棱柱
名师点拨
ABCD一ABCD的底面边长为2，可知棱柱的高为2
正方体一定是正四
棱柱，正四棱柱底面边长
②，故三棱锥B一AG的表面积为号×22X2,2十
与侧棱长不一定相等，线
面角是∠CAC,知棱柱
×2,2x2+号×23×2+2×2x2=6+22+2v3
的高为22.再计算四个
面的面积即可，
【答案】A
例2某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板
的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一
个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为
26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底
面正方形的对角线的延长线上时，测得光线与底面夹角为30°，正四棱
锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶
部的面积大约为
平方米（注：2≈1.4，w3≈1.7,1233≈15.2）
0°
A.990
B.890
C.790
D.690
解断如图1，根据题意得：∠PSO=30°，CC1=9,SC,=11.8,AB
=26,
状元笔记
→利用线面角构建直
角三角形重点解决P,
再刹用正四棱雏性质求
斜高PE.
图1
图2
所以C1O=132≈18.2，故S0=SC1+C1O=11.8+18.2=30,
故在Rt△PSO中，设PO=x,则PS=2x,SO=30,
所以|SO1+|OP|2=|SP|2,即900+x2=4x2,解得x=10、3
≈17，
如图2，在正四棱锥P一ABCD中，PO=17一9=8，AB=26,
取BC中点E,连接EP,EO,所以EO=13.
由正四棱锥的性质得△PEO为直角三角形，故|PE2=|PO|2十
1OE|2=132+82=233,所以|PE=233≈15.2，
所以正四棱锥P-ABCD的侧面积为S=4XSAC=4X号
15.2×26=790.4≈790.故选C.
【答案】C
236参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428

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