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参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428第八章
立体几何
平衡水中学状元笔记
第六节
空间向量及其应用
/核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.会用空间直角坐标系刻画点的位置
2.掌握空间向量运算规则
1.掌握空间向量运算规则
3.能够掌握空间向量基本定理及坐标表示，体会其作用，并能简单
2.掌握空间向量基本定理及坐标
应用
表示
4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决这
类问题的思路
核心素养养成
一空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯
的有序实数组
,使
.其中{a,b,c}叫做空间的一个
,a,b,c都叫做
空空间直角坐标系及有关概念
1.如果空间的一个基底的三个基向量
,且模都为
则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}来表示（其中=j=
1k=1).
2.在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以O为原点，
分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：
,它们都叫
做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O一xyz,点O叫做
名师点拨
原点，向量i,j,k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标
建系的基本要求
平面，分别称为xOy平面、yOz平面、Ox平面.
3.建系时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，建立手直
角坐标系.
4.在空间直角坐标系中有一点A,若OA=i十yj十k,则有序实
数组
叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作
.其
中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，之叫做点A的
②空间向量的直角坐标运算
设a=(x1y1,之1)，b=(x2,y2,22),a,b是非零向量，则
1.向量加法：a十b=
名师点拨
2.向量减法：a一b
→类比平面向量的坐
3.数乘：a=
标运算理解空间向量的
4.数量积：a·b
坐标运算，并能正确运用
5.平行：a∥b(b≠0)台
6.垂直：a⊥b台
7.向量a的模：a=
65
斋来中草扶元笔记凸
第八章立体几何
高中·数学
8.向量a与b夹角公式：0sa,b=a
x1x2十y业十之2
a b
无十十十十
9.点坐标和向量坐标：若点A(x1,出，名)，B(x2,y2,之)，则AB=
线段AB的长度dB=|AB|=
直线的方向向量
名师点拨
1.与直线1
的非零向量a叫做直线1的方向向量.
→A可理解为数轴原
2.空间中任意一条直线1，可以通过1上的一个定点A和l的一个
点，t为P点的坐标，可
方向向量a来确定，设点P是l上的任意一点，则有
,其中t为
应用直线的方向向量研
实数，这种形式叫做直线的点向式.注意同一条直线的点向式表示方
究两直线的位置关系，
法不唯一
2平面的法向量和法向量的求法
1.平面的法向量
已知平面a,直线l⊥a,取直线l的方向向量a,则
叫做平面
名师点拨
a的法向量.
一→平面间、线面间的
2.平面的法向量的求法
关系可以使用平面的法
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,之)；
向量，直线的方向向量
研究.把空间几何元素
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b,】
的位置关系用代数研
c1),b=(a2,b2,c2);
究，所以法向量的求解
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,之的方程组
是本节的重点，
n·a=a1x+by+c1z=0,
n·b=a2x十b2y十c2之=0；
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法
名师点拨
向量有个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法
→三元一次方程组，
向量。
两个方程，不定方程组，
解有无数多组，赋值法
心利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角
求出一个解.
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面a,3的法向量分别为u,
v,则：
1.线线平行：l∥m台台
2.线线垂直：l⊥m台台
3.线面平行：l∥α台台
4.线面垂直：（解法一）：1⊥a台台
名师点拨
a⊥e1,
(解法二)：若e1,e2为平面a的一组基底，则l⊥a台
→a·e1
→异面直线的夹角与
a⊥e2
直线的法向量的夹角相
=a·e2=0.
等或互补
5.面面平行：a∥3台台
6.面面垂直：a⊥3→
名师点拨
7.异面直线的夹角：l,m的夹角为0，cos0=
a·b
一→线面角与向量的夹
a b
角互余或者向量夹角等
8.线面夹角：l,a的夹角为0，sin0=
a·u
a u
于线面角加受
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