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参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428第九章平面解析几何
平衡水中学状元笔记
第六节
直线与圆锥曲线的位置关系
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.能够运用代数的方法研究曲线之间的基本
1.运用代数法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位
关系
置关系
2.能够运用平面解析几何的思想解决一些简
2.运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问
单的实际问题
题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想
核心素养养成
○直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直
线与圆锥曲线公共点；相切时，直线与圆锥曲线有
公共点：相交
时，直线与椭圆有公共点.直线与双曲线、抛物线有一个或两个公
名师点拨
→①注意联立后的最
共点，一般通过它们的方程来研究：
高次项系数是否为零，
设直线l:Ax+By十C=0与二次曲线C:f(x,y)=0.
②一般联立消掉y,
(Ax+By+C=0,
如果条件与y(纵坐标)
由
消元，如果消去y后得ax2十bx十c=0,
f(x,y)=0
有关可以考虑消掉x,
③联立注意方程中
(1)当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式△：
x的范围，
①△>0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，
直线与圆锥曲线；
②△=0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线仅有一个公共
点，直线与圆锥曲线；
③△<0，则方程无解，直线与圆锥曲线无交点，直线与圆锥曲线
(2)注意消元后非二次的情况，即当α=0时，对应圆锥曲线只可能
是双曲线或抛物线.
当圆锥曲线是双曲线时，直线！与双曲线的渐近线的位置关系是
:当圆锥曲线是抛物线时，直线1与抛物线的对称轴的位置
名师点拨
关系是
→①直线与圆维曲线
(3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形.
的弦长问题要灵活运用
②直线与圆锥曲线相交的弦长问题
韦达定理，弦长公式，巧
妙运用设而不求，整体
1.直线l:y=x十m与二次曲线C:f(x,y)=0交于A,B两点，设
代换等方法.
A.B-由得ar+6e+=0a≠0.则
②字母的运算是重
点、，注意整体把握式子
结构，
十x2=-6
,x1x2=C,AB|=1十k2|x1-x2.
③利用代数式研究
几何图形元素位置，适
2.若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化
时也可通过特殊位置推
运算.
断代教运算结果
衡来中单扶元笔记舀
第九章平面解析几何
高中·数学
直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元
后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立
等式求解。
(2)点差法：若直线1与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地，首
先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程，通过作差，构造出x1十
x2,y1十y2,x1一x2,y1一y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论：
名师点拨
在椭圆之
→与中点有关的问题
z十三1中，以P(x。,y)为中点的弦所在直线的斜率
63
解题时注意整体把
握式子结构特征，注意
:在双曲线女一y
a-6
=1中，以P(x。,yo)为中点的弦所在
对称性，美观性.
直线的斜率k=
;在抛物线y2=2px(p>0)中，以P(xo,yo)
为中点的弦所在直线的斜率
在使用根与系数的关系时，
要注意适用条件是△≥0.
四直线方程的设法
1.直线y=kx十m表示过点(0，m)且不包括垂直于x轴的直线，
名师点拨
故设直线y=kx十m时，必须先讨论过点(0，m)且垂直于x轴的直线
>设直线要考虑所设
直线是否为满足条件的
是否符合题设要求，
所有直线，有无遗漏，有
2.直线x=my十n表示过点(n,0)且不包括垂直于y轴的直线，故
无多余，如设成斜截式，
设直线x=my十n时，必须先讨论过点(n,0)且垂直于y轴的直线是否
是否漏掉无斜率的情况
符合题设要求.
核心素养提升
学习要点1直线与圆锥曲线的位置关系
例1已知向量a=(x,0),b=(1,y),且(a十3b)⊥(a-3b)
状元笔记
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程；
直线与圆维曲线位
置关系的判定方法
(2)若直线l:y=kx十m(k≠0)与上述曲线C交于不同的两点A、
①代数法，即联立
B,求实数k和m所满足的条件；
直线与圆雏曲线方程可
(3)在(2)的条件下，若另有定点D(0,一1)，使AD=BD,试求
得到一个关于x,y的
方程组，消去y(或x)
实数m的取值范围.
得一元方程，此方程根
鲜断(1)(a十3b)⊥(a-3b),即(a十3b)·(a-3b)=0,
的个数即为交点个数，
方程组的解即为交点、
a=3b,x2=3(y+1),∴P(x,y)的轨迹C的方程为
3-y2=1.
坐标
②几可法：即画出
y=kx十m,
(2)联立
x2-3y2-3=0,
消元得(1一3k2)x2-6k1.x-3m2-3=
直线与圆雏曲线的图
象，根据图象判断公共
点、个数
0,
二项式系数不为零
318

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