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第九章平面解析几何
平衡水中学状元笔记
第九章平面解析几何
第一节
直线与方程、两条直线的位置关系
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率，掌
的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
握过两点的直线斜率的计算
2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直
公式
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式
2.掌握直线方程的形式
(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)
3.掌握两点间的距离公式和点到
4.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标
直线的距离公式
5.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求
两条平行直线间的距离
核心素养养成
二倾斜角
名师点拨
当直线1与x轴相交时，x轴正方向与l向上方向所成的角a叫做
倾斜角的范围，正
1的倾斜角.当1与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°，一般地，
切函数的定义城导致倾
斜角为90°的直线无斜
a∈[0°，180).
率，所以倾斜角可以刻
色斜率公式：k=tana,k=少一出
画任意直线与x轴的位
x1-x2
置关系：斜车不能刻画
@直线方程的五种形式
倾斜角为90°的直线与
x轴的关系，
名称
方程
适用范围
点斜式
y-y。=k(x-xn)
不含垂直于x轴的直线
名师点拨
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
→理解每类方程使用
不含直线x=x1(x1≠x2)
的前提条件，如：点、斜式
两点式
y一y=x一x1
知道点、和斜率，言外之
y2一y1x2一x1
和直线y=y,(y≠y)
意，直线有无斜率不定，
则要分类讨论一无斜
截距式
不含垂直于坐标轴
a
和过原点的直线
率的，有斜率的，也可町用
一般式表达
Ax+By+C=0
平面直角坐标系内
一般式
(A2+B≠0)
的直线都适用
@平行与垂直的判定
1.l1∥l2台
>条件的使用大前提是直
2.l1⊥l2台
.《当斜率存在时少
线有斜率，
277
斋来中学扶元笔记当
第九章平面解析几何
。高中·数学
距离公式
1.两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离为
|AB|=V(x,-x2)+(y-y)'.
2.点P(xo,yo)到直线l:Ax+By十C=0的距离为
d=Azo+By.+Cl
VA+B
3.两平行直线l1:Ax十By+C=0与l2:Ax+By十C2=0间的距
离为d=1C-C
VA+B
常见的直线系方程
1.与直线Ax十By十C=0平行的直线系方程是Ax十By十m=0
(m∈R且m≠C);
2.与直线Ax十By+C=0垂直的直线系方程是B.x一Ay十m=0
(m∈R)
核心素养提升
》》》
学习要点1倾斜角与斜率
例1(1)设直线2x十my=1的倾斜角为a,若m∈（一o∞，
名师点拨
一23)U[2,十∞)，则角a的取值范围是
→对于(1)，一般式化
成斜截式，已知直线方
(2)直线1过点M(一1,2)且与以点P(一2，-3)、Q(4,0)为端点的
程求直线倾斜角范围的
线段恒相交，则1的斜率范围是
一般步骤：①求出斜率
解析(1)根据题意知tana=一
因为m<一2：3或m≥2，所以0
k的取值范围（若斜率
不存在，倾斜角为
90):②利用正切函数
的单调性，a∈
故填(0，晋)U[x
[0,号)时，k由0增大
(2)如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
到十∞：在a∈（受x)
6如=5,6w=-号
时，k由一∞增大并趋
近于0，由正切函数的
当直线（从MP开始绕M逆时针方向旋转到
图象确定倾斜角的取值
范围：
MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时k≥5，当
对于(2)，求边界线
直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，因为正切
的斜车使用过两点的直
线的斜车公式k=
函数在(2，)上仍为增函数，所以斜率从一∞开始
y2一义，需要画出图
增加，增大到k如=一号，故直线1的斜率范田足
X2一x1
形，在倾斜角变大的过
程中注意90°时无斜率，
（-,-号]U5.+o.
【答案】(0u[)2(-,-号]U[5.+)
278参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428

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