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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
平衡水中学状元笔记
第七节
离散型随机变量及其分布列的均值与方差
核心素养展示
课程内容要求
课程标准解读
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念
通过具体实例，感悟离散型随机变量及
2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）
其分布列的含义，知道可以通过随机变
3.理解离散型随机变量在描述随机现象中的作用
量更好地刻画随机现象
核心素养养成
》》
一离散型随机变量的均值
(1)若离散型随机变量X的概率分布列为
名师点拨
→(1)0≤p≤1；
(2)2p=1.
则称
为随机变量X的均值或
数学期望。
名师点拨【
(2)若Y=aX十b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，于是
→数学期望反映了离
E(Y)=
做型随机变量取值的平
(3)①若X服从两点分布，则E(X)=
均水平.
②若X~B(n,p),则E(X)=
②离散型随机变量的方差
(1)若离散型随机变量X的概率分布列为
X
x;
P
名师点拨
则称
为随机变量X的方差，其算术平方根
→方差反映了随机变
为随机变量X的标准差，
量取值的稳定与波动、
(2)D(aX+b)=
集中与离散的程度：
(3)①若X服从两点分布，则D(X)=
D(X)越小、，X取值越
②若X~B(n,p),则D(X)=
集中，D(X)越大，X
取值越分散.
鱼核心素养提升
》》】
学习要点1离散型随机变量的分布列)
例1设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
-1
0
1
心
1
1-2q
g
状元笔记
2
→只注意到随机变量
则q等于
(
的分布列满足P(a1)十
A.3
我1土男
C.1-2
D.1+2
P(a2)十…十P(an)=
2
2
1,而忽略了0≤P(a:)
【错解】由已知得号十(1-2g)十g=1,解得g=1士号，故选B
≤1(i=1,2,…),从南
导致错误.
361
备来中学扶元笔记当
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
高中·数学
【正解】由已知及分布列性质可得2十(1-2g)十g=1,0<1
2g1且0≤9≤1.解得g=1-号，故道C
【答案】C
学习要点2离散型随机变量的期望与方差>
例2已知离散型随机变量台，的分布列为
3
5
52
2
名师点拨
P
b
b
1
2
4
→根据分布列性质可
则下列说法一定正确的是
以求虫a十6=号：a,b
A.E()>E(E2)
B.E()不能求出来，消参求
C.D()>D()
D.D(E)E(),E(),D(G),
器圈由题可得a十b=
D(),即可比较.
B6)=1Xa+3X号+5X6=a+56+3=4-4a,
E)=1Xb+2x是+4X号+5Xa=5a+6+8=4a+2.
2
则E()和E()的大小不确定；
DX)=1-4+4arXa+(3-4+4a)x2+(6-4+4aP×(2-a)
=-16a2+8a+1,
D)=1-4a-2×(合一-a)+(2-4a-2)+4-4a-2×
+(6-4a-2a=-16a+8a+,则D5)D.
【答案】D
学习要点3离散型随机变量的均值、方差的应用>
例3甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙
两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或
不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，号，？，乙队每
人答对的概率都是号·设每人回答正确与否相互之间没有影响，用：表
名师点拨
示甲队总得分.
→(1)的所有可能取
(1)求随机变量的分布列及其数学期望E();
值为0,1,2,3：(2)
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的
甲、乙两队分数之和为4
概率。
时两队的得分情况为3十
解(1)的可能取值为0,1,2,3，
1,2十2,1十3，化为相
互独立事件的积，利用
互斥事件的和概率公式
1
1
和相互独立事件的积概
2
4
率公式求出甲、乙两队
P=2)=×号×号+×号×号+×号×号
的分值和为4的概率，
甲队比乙队得分高是3十
P=8)=×号×号-
1,利用条件概车公式即
可求出所求事件的概率.
362参考答案
平衡水中学状元笔记
1.d a-d y=dx+(a-d)
三、1.矩形
直角三角形
直角梯形
2.单调递增单调递减常数列
2.矩形等腰三角形
等腰梯形圆
四、1.倒序相加法
四、1.直径球心
2.(1)an≥0a+1<0(2)an≤0a+1>0
2.垂直于d=vR-r
第三节等比数列及其前n项和
五、(1)90°90°(2)45°（或135）90°
一、比常数公比
(3)平行于(4)一半
二、等比数列等比中项ab士/ab
第二节空间几何体的表面积和体积
三、1.a1g-1
ang"-m
-、1.Ch
2.y-
3C
(C+C
2.2πrlπrlπ(r+r')l
四、na1,9=1
a(1-g)=a1-a.9,9≠1
3.侧面积两个底面积侧面积底面积
1-q
1-9
乘公比、错位相减
41
二1.5h35h3h(S+5S+S)
9-1
五、1.a。·ag=am·an
2.xrh
3h(r2+rr'+,)
2.gm3.9
三、1.4πR
第四节数列求和及其应用
一、1.等差数列、等比数列前n项和公式
2.把一个数列分成几个可以直接求和的
第三节平面的基本性质及推论
数列
一、1.不在一条直线
4.适用于一个等差数列和一个等比数列对
2.两点点在平面内直线在此平面内
应项相乘构成的数列求和
3.只有一条
1
二、1.1个交点0个交点0个交点
5.⑤FD
⑥C+1-CW
2.(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫
二、1.a(1+xr)
做异面直线(3)已知两条异面直线a,b,经
2.a(1+r)
过空间任一点O作直线a'∥a,b'b,把a'与
3.N(1+p)
b所成的锐角（或直角）叫做异面直线α与b
第八章立体几何
互相垂直
第一节空间几何体的结构和直观图
所成的角（或夹角）(0,2】]
一、1.平行平行四边形平行
异面垂直
2.多边形三角形
三、同一条直线
3.平行于
四、相等或互补
二、1.平行四边形全等平行四边形矩形
第四节空间中的平行关系
2.等腰三角形直角三角形直角三角形
一、1.有无数个
直角三角形直角三角形
2.有且只有一个
427
禽来中草扶元笔当
参考答案
高中·数学
3.没有直线在平面外
9.(x2-x1,y2一y1,22一21）
二、1.一条直线一条直线
1(x2-x1)2十(y2-y1)+(z2-z1)9
ata,bCa,且a∥b→a∥a
四、1.平行2.Ap=ta
2.交线平行a∥a,aC3,a∩B=b→a∥b
五、1.向量a2.(4)无数
三、1.没有公共点
六、1.a∥ba=kb,k∈R且k≠0
2.有一条公共直线
2.a⊥ba·b=03.a⊥ua·u=0
四、1.(1)相交直线aC3,bCB,a∩b=P,a∥
4.a∥ua=ku,k∈R且k≠0
a,b∥a→3∥a
5.u∥vu=ky,k∈R且k≠0
2.(1)平行&∥B,a∩y=a,B∩y=b→a∥b
6.u⊥pu·v=09.0≤0≤π
(2)a∥3，aC&→a∥3(3)a∥3，l⊥a→l⊥3
第九章平面解析几何
第五节空间中的垂直关系
第一节直线与方程、两条直线的位置关系
一、直角
四、1.k1=k2且b1≠b2
二、l.直线l与平面a互相垂直l⊥a平面a的
2.k1·k2=-1
垂线直线（的垂面垂足距离
第二节圆的方程及圆与圆、直线与圆的位置关系
2.垂直
一、定点定长集合圆心半径
3.平行
二、1.(a,b)r2.(D2+E2-4F>0)
三、锐角[0°，90]
三、1.(xo-a)2+(-b)2=r2
四、1.两个半平面所组成的图形
2.垂直于棱[0，π]
2.(x-a)2+(-b)2>r
五、1.直二面角
3.(x-a)2+(-b)22.垂线
第三节椭圆
3.交线
-、2a(2a>|F1F2|)
第六节空间向量及其应用
第四节双曲线
一、(x,y,z)p=0十b十0基底基向量
一、(2a<|FF2)双曲线焦点焦距
二、1.两两垂直1
三、等轴双曲线充要垂直
2.x轴，y轴，之轴
第五节抛物线
3.右4.(x,y,z)(x,y,z)竖坐标
三、+多川+多
三、1.(1十x24十y2之1十22）
第六节直线与圆锥曲线的位置关系
2.(1一x24一y2名1一2）3.（λx1y121)
一、无一个两个
4.x1x2十y1y2十12
(1)①相交②相切③相离
5.a=bx1=x2y1=y2之1=入22
(2)平行或重合平行或重合
6.a·b=0x1x2十yy2十名122=0
xo
7.va…a1x+y+
三、
k=卫
a'yo a'yo
yo
428

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