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第二讲 有理数的意义
知识概况
一、正数与负数
正数
定义：大于0的数，如 、、（正号“+”可省略）。
意义：表示“增加” “收入” “上升”等具有相反意义的量。
负数
定义：小于0的数，如 、、。
意义：表示“减少” “支出” “下降”等具有相反意义的量。
0的特殊性
0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。
表示“基准”或“无变化”（如温度0℃）。
二、有理数的定义
有理数：可以表示为分数形式 （其中 是整数，且 ）的所有数。
包括：整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）。
注意：有限小数和无限循环小数可以转化为分数形式，因此属于有理数。
三、有理数的分类
按符号分类
正有理数：正整数、正分数（如 、)。
负有理数：负整数、负分数（如 、)。
0：单独归类。
按整数与分数分类
整数：正整数（如 ）、0、负整数（如 )。
分数：正分数（如 ）、负分数（如 ）。
例题精讲：
知识点一，正负数的表示：
当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示.例:中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，在世界数学史上首次正式引入负数。如果收入100元记作+100元，那么-80元表示( )
A.支出20元 B.收入20元 C.支出80元 D.收入80元
变式训练：
一种大米的质量标识为“(50±0.3)千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A.50.0千克 B.50.3千克 C.49.7千克 D.49.6千克
某人转动转盘,如果用+5 圈表示沿逆时针方向 转了5圈,那么沿顺时针方向转了 12 圈怎样表示
天气预报某天北京的温度为:-3~3°C，它的确切含义是什么 这一天北京的温差是多少
体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
下面说法中正确的是( )．
A．非负数一定是正数．
B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．
D．正整数和正分数统称正有理数．
变式训练：
判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ）
（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）
整数又叫自然数.（ ）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
下列四种说法，正确的是( ).
A．所有的正数都是整数 B.不是正数的数一定是负数
C．正有理数包括整数和分数 D.0不是最小的有理数
知识点二，正负数的表示：
把下面各数填在相应的括号里:
正数集合{ ···}；
负数集合{ ···}；
整数集合{ ···}；
正分数集合{ ···}；
负分数集合{ ···}；
分数集合{ ···}；
变式训练：
在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有　 　个．
把下列各数填入相应的括号内：
(1)正数集合:｛ ···｝；
(3)整数集合:｛ ···｝；
(5)负整数集合:｛ ···｝；
(7)正分数集合:｛ ···｝；
(2)负数集合: ｛ ···｝；
(4)正整数集合: ｛ ···｝；
(6)分数集合: ｛ ···｝；
(8)负分数集合: ｛ ···｝；
(9)有理数集合: ｛ ···｝；
巩固练习：
一、选择题
1. 现实生话中，如果收人 100 元记作+100元，那么-800表示( )
A.支出 800 元 B.收入 800 元
C.支出 200 元 D.收入 200 元
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 (　 )
　　A．0是整数　　　 B．0是偶数
　　C．0是正整数　　 D．0既不是正数也不是负数
3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 (　 )
　　A．前进-18米的意义是后退18米
　　B．收入-4万元的意义是减少4万元
　　C．盈利的相反意义是亏损
　　D．公元-300年的意义是公元后300年
4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 (　 )
　　A．甲站的东边70千米处　　 B．甲站的西边20千米处
　　C．甲站的东边30千米处　　 D．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）
A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是 （ ）
A．－1 B．2 C．0．5 D．
二、填空题
1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作　 　．
2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.
3．把公元2025年记作+2025，那么-2000年表示 .
4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5．如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作　_________米．
6．是整数而不是正数的有理数是 .
三、解答题
1.
负数: ｛ ···｝；
整数: ｛ ···｝；
正整数: ｛ ···｝；
负分数: ｛ ···｝；
分数: ｛ ···｝；
2. 某自行车厂计划一周生产自行车 1400 辆，平均每天生产 200 辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况(超产记为正，减产记为负).
（1）该厂星期五生产自行车辆;
(2)求该厂本周实际生产自行车的辆数;
(3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得 60 元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖 10元;少生产一辆扣 14 元，那该厂工人这一周的工资总额是多少元
3．随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +41 +8
（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？
（2）若每行驶100km需用汽油8L，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？
《第2讲 有理数的意义》的答案解析：
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例题精讲
知识点一：正负数的表示
例题1：
答案：C
解析：－80元表示支出80元。
变式训练1：
答案：D
解析：大米的质量标识为（50±0.3）千克，49.6千克不在合格范围内。
变式训练2：
答案：－12圈
解析：顺时针方向转了12圈用－12圈表示。
变式训练3：
答案：温度范围为－3℃到3℃，温差为6℃。
解析：温度范围为－3℃到3℃，温差为6℃。
变式训练4：
答案：
1. 达到标准的男生有75%。
2. 他们共做了56个引体向上。
变式训练5：
答案：D
解析：正整数和正分数统称正有理数。
变式训练6：
答案：
1. 正确
2. 错误
3. 错误
4. 错误
变式训练7：
答案：C
解析：正有理数包括整数和分数。
知识点二：正负数的表示
例题2：
答案：
- 正数集合：{1, 0.0708, 3.14159265, ...}
- 负数集合：{－700, －3.88, ...}
- 整数集合：{1, 0, －700, ...}
- 正分数集合：{0.0708, 3.14159265, ...}
- 负分数集合：{－3.88, ...}
- 分数集合：{0.0708, －3.88, 3.14159265, ...}
变式训练1：
答案：2
解析：在有理数中，属于分数的有2个。
变式训练2：
答案：
- 正数集合：{1, 0.0708, 3.14159265, ...}
- 负数集合：{－700, －3.88, ...}
- 整数集合：{1, 0, －700, ...}
- 正整数集合：{1, ...}
- 负整数集合：{－700, ...}
- 分数集合：{0.0708, －3.88, 3.14159265, ...}
- 正分数集合：{0.0708, 3.14159265, ...}
- 负分数集合：{－3.88, ...}
- 有理数集合：{1, 0.0708, －700, －3.88, 0, 3.14159265, ...}
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巩固练习
一、选择题
1. 答案：A
解析：－800表示支出800元。
2. 答案：C
解析：0不是正整数。
3. 答案：D
解析：公元－300年的意义是公元前300年。
4. 答案：C
解析：汽车最终在甲站的东边30千米处。
5. 答案：C
解析：有理数中没有最小的数，也没有最大的数。
6. 答案：B
解析：2是正整数。
二、填空题
1. 答案：－5米
解析：低于海平面5米可记作－5米。
2. 答案：非负数是0，1，2；非正数是0，－1，－2
解析：非负数包括0和正数，非正数包括0和负数。
3. 答案：公元前2000年
解析：－2000年表示公元前2000年。
4. 答案：0
解析：0既不是正数，也不是负数。
5. 答案：－20米
解析：向西行驶20米记作－20米。
6. 答案：负整数
解析：是整数而不是正数的有理数是负整数。
三、解答题
1. 答案：
- 负数：{－700, －3.88, ...}
- 整数：{1, 0, －700, ...}
- 正整数：{1, ...}
- 负分数：{－3.88, ...}
- 分数：{0.0708, －3.88, 3.14159265, ...}
2. 答案：
1. 星期五生产了190辆自行车。
2. 本周实际生产了1405辆自行车。
3. 该厂工人这一周的工资总额是84390元。
3. 答案：
1. 小明家的小轿车一月大约行驶1500千米。
2. 小明家一年的汽油费用是10281.6元。

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