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第8章三角形
8.1.2 三角形的内角和与外角和
学习目标与重难点
学习目标：
1.让学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和.
2.利用平行线性质来证明三角形的内角和、三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和.
3.会利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
学习重点：掌握三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和，并能利用三角形内角和、外角和以及外角的两条性质进行有关计算.
学习难点：在三角形内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法.
预习自测
一、知识链接
1.什么叫三角形 三角形的内角 三角形的外角
2.点D是BC边上一点，图中有几个三角形，分别表示出来 写出每个三角形的内角和外角.
自学自测
1.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B44°，∠C57°，则∠BAC的度数是（　　）
A.89° B.79° C.69° D.90°
2.如图，在△ABC中，∠B45°，∠C30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（　　）
A.105° B.75° C.70° D.60°
3.如图，△ADC是含45°角的直角三角板，△ABE是含30°角的直角三角板，若CD与BE交于点F，则∠DFB的度数为　 　.
教学过程
创设情境、导入新课
如图 ， 在小学我们曾剪下三角形的两个内角， 将它们与第三个内角拼在一起， 发现三个内角恰好拼成一个平角， 得出了如下结论：
三角形的内角和等于 .
如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？
二、合作交流、新知探究
探究一：情境导入
教材第84页：
1.三角形的内角和定理的推理证明.
如图，已知 ，分别用，，表示的三个内角，证明.
思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？
总结：1.在这里，为了需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
2.为了说明三角形三个内角的和为180°，常将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中常用的方法.
探究二：新知探究
教材第85页：思考
思考：如图 ， 在直角三角形中， ，与有什么关系
这就是说，直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号 “”表示，直角三角 形可以写成 .
思考：我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗
有两个角互余的三角形是直角三角形.
思考：你能说明其理由吗？
2.探索三角形的外角及外角和.
如图， 一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
思考：三角形的外角与内角有什么关系呢
三角形的外角的性质：
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
如图，D是△ABC的边BC上一点，则有 .
()
3.探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的方法.
(1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和吗
(2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？
4.探索三角形的外角和
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，就是的外角和.
做一做：在图中，
_______，_______，
_______.
三式相加可以得到
_______+_______+_______=_______①
而，②
将①与②相比较，你能得出什么结论
概括：
可以得到.
由此可知：三角形的外角和等于360°.
思考：你能由下图说明这一结论吗？
探究三：例题讲解
教材第85页
例1 如图， 是的边上的高，， . 求的度数.
例2如图，是的 边上一点，，，.
求：(1)的度数；
(2)的度数.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1．将一块含有角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则∠2的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
3．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
选做题：
4．已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为　 　．
6．在中，，射线平分，P为边上一点，，垂足为O，则的度数为　 　．
【综合拓展类作业】
7．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则E到BC边的距离为多少.
总结反思、拓展升华
知识点：1、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°；
2、直角三角形的两个锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
4、三角形的外角和为360°.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1.已知三角形一个内角的度数为70°，则x+y的值为(　　)
A.180 B.110 C.100 D.70
2.在△ABC中，∠A=10°，∠B=60°，则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形　　　B.直角三角形 C.锐角三角形　　 D.等边三角形
3.物理课上，小明研究一个小木块沿斜坡向下滑动时的运动状态，如图，∠C=90°，∠B=13°，小木块(△DEF)在AB上，且EF∥AC，则∠DFE的度数为(　　)
A.13° B.77°　 C.87° D.63°
选做题：
4.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠α的度数是(　　)
A.75° B.100° C.105° D.135°
5.如图，AD平分∠BAC，∠B=35°，∠ADC=82°，则∠C=　　　　°.
6.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=36°，∠E=24°，则∠BAC=　　　　°.
【综合拓展类作业】
7.实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
阅读以上材料并解决下列问题.
(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，求∠2及∠3的度数.
解：易知∠1=∠4，∠5=∠6，∴∠7=180°-∠1-∠4=　　　　，∵m∥n，
∴∠2+∠7=180°，∴∠2=180°-∠7=　　　　，∴∠5=∠6=　　　　，根据三角形内角和为180°，知∠3=180°-∠4-∠5=　　　　.
在(1)中，①若∠1=55°，则∠3=　　　　;②若∠1=40°，则
∠3=　　　　.
(3)由(1)(2)，请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3为多少度时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行 请你写出推理过程.
答案：
自学测试：
1.B
2.B
3.15°
课堂巩固：
1.B
2.D
3.D
4.C
5．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；同位角的概念
6．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
7．【答案】（1）解：∵∠BED是△ABE的角∴∠BED=∠ABE+∠BAD又∴∠ABE=15°∠BAD=40°
∴∠BED=55°
（2）△BDE的面积=40×=10，所以E到BC边的距离 =10÷÷5=8.
作业布置：
1.B　由题图可知，x+y=180-70=110.故选B.
2.A　∵∠A=10°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-10°-60°=110°，∴△ABC是钝角三角形.故选A.
3.B　∵∠C=90°，∠B=13°，∴∠A=180°-∠C-∠B=77°，∵EF∥AC，∴∠DFE=∠A=77°.故选B.
4.C　解法一：如图，由题意可得∠1=30°，则∠2=45°-∠1=45°-30°=15°，∴∠α=90°+∠2=105°.故选C.
解法二：如上图，∵∠1=30°，∴∠3=180°-(30°+45°)=105°，
∴∠α=∠3=105°.故选C.
5.51
解析　∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠BAD=∠ADC-∠B=82°-35°=47°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=94°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=51°.
6.84
解析　∵∠B=36°，∠E=24°，∴∠ECD=∠B+∠E=36°+24°=60°.
∵CE为∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=120°.又∵∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°.
7.解析　(1)80°;100°;40°;90°.
(2)①∵∠1=55°，∴∠4=∠1=55°，∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-110°=70°.∵m∥n，∴∠2=180°-∠7=180°-70°=110°.∵∠5=∠6，∴∠5=(180°-∠2)=×70°=35°.又∵∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-55°-35°=90°.
②∵∠1=40°，∴∠4=∠1=40°，∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-80°=100°.∵m∥n，∴∠2=180°-∠7=180°-100°=80°.∵∠5=
∠6，∴∠5=(180°-∠2)=×100°=50°.又∵∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-40°-50°=90°.
(3)根据平面镜反射光线的规律可知，∠1=∠4，∠5=∠6，∵m∥n，∴∠2+∠7=180°，∵∠1+∠4+∠7=180°，∠2+∠5+∠6=180°，∴2(∠5+∠4)+(∠2+∠7)=360°，∴∠5+∠4=×(360°-180°)=90°.∵∠3+∠4+∠5=180°，∴∠3=180°-(∠4+∠5)=180°-90°=90°，
∴当∠3=90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行.
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