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专题12·数列不等式放缩技巧
目录 01 模拟基础练 2 题型一：先求和后放缩 2 题型二：裂项放缩 3 题型三：等比放缩 4 题型四：型不等式的证明 5 题型五：型不等式的证明 6 题型六：型不等式的证明 7 题型七：型不等式的证明 8 重难点突破：利用递推关系进行放缩 9 02 重难创新练 11
题型一：先求和后放缩
1．已知为正项数列的前项积，且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，的前项和为，证明：．
2．已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
3．已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求并证明：.
4．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
题型二：裂项放缩
5．若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
6．已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)数列是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求；
(3)求证：．
7．已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
8．已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
题型三：等比放缩
9．已知数列满足，．
(1)设，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；
(2)当时，证明：．
10．已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
题型四：型不等式的证明
11．已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
12．已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：
13．已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
(1)若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
(2)设数列的前项和为，求证：.
题型五：型不等式的证明
14．已知数列满足，且，
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型六：型不等式的证明
16．记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
17．已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
18．记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)已知当时，，证明：.
题型七：型不等式的证明
19．已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
20．已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
重难点突破：利用递推关系进行放缩
21．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
22．不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数，我们把满足的称为函数的不动点，已知函数.
(1)证明：在有唯一的不动点；
(2)已知，且的前项和为.证明：
①为递增数列，为递减数列，且；
②.
23．（1）证明：当时，；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若，则对任意正整数，都有.
1．已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明：.
2．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．
3．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
4．某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有点积分，该同学用完点积分的方式种数记为，求表达式；
(3)设，记的前项和为，证明：．
5．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求，的值.
(2)若正项数列的前项和为，且，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
6．已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，证明：.
7．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，证明：．
8．已知关于x的函数，其图象与x轴相切．
(1)求的表达式；
(2)证明：；
(3)设数列，（），的前n项和为，证明：．
9．已知数列的前n项和为，且，其中．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：．
10．已知正项数列的前项和为、且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为，且，证明:.
11．已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且．
(1)求的周长；
(2)证明：为等比数列；
(3)证明：对任意正整数．
12．如图所示，是抛物线上的一系列点，其中，记直线的斜率分别为.
(1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)记的面积为，求；
(3)若.求证：.
注：中，若，则面积.
13．已知首项为1的正项数列满足 .
(1)探究数列的单调性；
(2)证明： .
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目录 01 模拟基础练 2 题型一：先求和后放缩 2 题型二：裂项放缩 5 题型三：等比放缩 8 题型四：型不等式的证明 10 题型五：型不等式的证明 13 题型六：型不等式的证明 15 题型七：型不等式的证明 18 重难点突破：利用递推关系进行放缩 20 02 重难创新练 25
题型一：先求和后放缩
1．已知为正项数列的前项积，且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，的前项和为，证明：．
【解析】（1）由题意知①，
当时，，∵，∴．
当时，②．
①－②得，适合上式，·
③，则④．
得，∴，
两边同时取以为底的对数，得，
则，，又，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由题意及（1）知，，
则，
所以，，
两式相减得，
∴．
∵，
随的增大而减小，∴，又，∴，
∴．
2．已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）由得，代入得，
即，所以，因为，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）因为是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以，因为，所以．
3．已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求并证明：.
【解析】（1）因为，，
当时，，故，
当时，，
两式作差可得，整理可得，
则，又，
所以是各项为的常数列，
则，故.
（2）由（1）可得，
所以，
类比复合函数的单调性可知为递增数列，又，
所以的最小值为，
又，所以，
综上，.
4．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
【解析】（1）因为是以1为首项1为公差的等差数列,
所以，即，
当时，，
即，
经检验，当时，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知：
,
所以
.
题型二：裂项放缩
5．若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
【解析】（1）（ⅰ）由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以.
（ⅱ），
设，，
，，
所以，
.
（2）若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数n，使得.
6．已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)数列是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求；
(3)求证：．
【解析】（1）∵，，
∴，化为：，
∴数列为等差数列，公差为2，首项为2；
（2）由（1）得，
∴；
（3）当时，，
时，，
∴，
综上所述，．
7．已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
【解析】（1）依题意，又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
.
（2）（i）由（1）知.设的前项和为，则.
显然数列分组后第组有项，前面组共有项，
当时，，
当时，，满足上式，
数列的通项公式为.
（ii），
当时，.
当时，.
当时，
，
故.
8．已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
【解析】（1）由得：，整理为：，
所以为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为，经检验，符合要求.
（2）由（1）得：，，
∴，
∴，即．
题型三：等比放缩
9．已知数列满足，．
(1)设，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）已知，，易得恒成立，且为递增数列．
∵，
∴．
故数列任意的连续三项不可能为等比数列．
（2）∵，
∴，即，
故
又由于，且，故，，
假设，，成立，有，
由数学归纳法可得
所以成立，
故成立．
综上可知，原不等式成立.
10．已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
【解析】（1）由题设，又，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，显然时成立，
当有，此时，
综上，，得证.
题型四：型不等式的证明
11．已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
【解析】（1）当时，，解得或0，
是各项均为正数的等差数列，故，
①，
当时，②，
则①-②得，
故，
因为，所以，则，
则的公差为1，则，
经检验，满足要求，故通项公式为；
（2），，
，
当为偶数时，
，
当且为偶数时，，
故；
当为奇数时，，
当且为奇数时，
，
综上，当时，．
12．已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：
【解析】（1）函数的定义域为，，令，
依题意，，恒成立，
求导得，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以.
（2）由（1）知，，即，当且仅当时取等号，
则当时，，，…，，
因此，
所以原不等式成立.
13．已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
(1)若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）（i）∵即，
又，则，
∴满足条件的数列的前四项可以为：.
（ii）∵（，且），
∴，
，
，
，
累加得，则，
则，
∵，
∴，
不妨令，
故存在，使得成立；
（2）由（1）知：，
同理∵即，
∴，
，
，
∴，则
则，
，
，
，
，
累加得：，
故：.
题型五：型不等式的证明
14．已知数列满足，且，
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以是等差数列，公差为2， ，
，所以．
（2）由（1），
所以．
（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，
因为，
所以，
不等式化为，
，
设，
设，则，，
，所以，所以是递增数列，
，
所以．
所以存在实数k，使得对任意都成立，且．
15．设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴数列是以首项为，公差为1的等差数列，故．
（2）由（1），设，
若存在常数c，使是等比数列，则，
即，解得.
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数，使是等比数列.
（3）设，
则.
∵
∴，即数列是递减数列，故．
要使不等式对一切都成立，
只要，即，， 解得.
因此， 存在大于实数，使不等式对一切都成立．
题型六：型不等式的证明
16．记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
【解析】（1）由，
由可得，
则时，
两式相减可得，
化为，因为，
所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
，
所以，
，
，
17．已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）单调递减，理由如下：．
∵，∴，∴数列单调递减；
（2）∵，，，∴，又，则.
∵，，∴，则，
当，累加可得，则，
则，则，
∴
，则．
18．记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)已知当时，，证明：.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为，可得，，
所以，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）由，可得，
则，
因为当时，，
所以当时，，
故，.
所以.
题型七：型不等式的证明
19．已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
【解析】（1），即，
当时，，
两式相减，，
即，也即，
变形为，
所以
，经检验时也适合．
．
（2）证明：因为时，，
，所以，
令，则有．
，，
将两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明：，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
，
令，2，，然后累加得：
，
则，原不等式得证．
20．已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
【解析】（1）因为，
所以，
因为的各项均为正，所以，故，即，
所以是以2为公比的等比数列，
因为，又公比为2，
所以，所以.
（2），证明如下：
令，则，
当时，，即在上单调递减，
所以，则，即，
设，所以，
所以，
记，则，
所以，
即，则，所以，所以.
重难点突破：利用递推关系进行放缩
21．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
【解析】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
22．不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数，我们把满足的称为函数的不动点，已知函数.
(1)证明：在有唯一的不动点；
(2)已知，且的前项和为.证明：
①为递增数列，为递减数列，且；
②.
【解析】（1）令，
则，，，
所以当时，在上递减，
而，故在有唯一的零点，
即在有唯一的不动点.
（2）①因为，
所以，在上单调递增；
，
所以，
而在的不动点为，
所以，
假设时，成立，
则，即成立，
结合可得：对于任意恒成立，
故为递增数列，为递减数列，且；
②，
因为，所以，因此，即，
故.
23．（1）证明：当时，；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若，则对任意正整数，都有.
【解析】（1）令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
再令，则，，
令，则，由上面知，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，
即.
综上，当时，成立.
（2）（i）因为，所以，
所以，由（1）知，当时，，
所以，
所以数列为递增数列.
（ii）要证，即证，即，
由（1）知：当时，，
所以，即有，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以，归纳易得数列为减函数，
又数列为递增数列，
所以，
所以
，
又因为，
所以，
所以，
即成立.
1．已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明：.
【解析】（1）因为，，则，，…
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，，
，
.
2．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
整理得．
又因为，所以当时，，
所以，当时，不满足．
所以，.
（2）（ⅰ）设数列的公差为．
因为，，成等比数列，且，，，
所以，即．
又因为，所以．
所以数列的通项公式为，．
（ⅰi）．证明如下：
由（ⅰ）知，，，易知
所以．
，
，．
3．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
4．某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有点积分，该同学用完点积分的方式种数记为，求表达式；
(3)设，记的前项和为，证明：．
【解析】（1）记用1积分购买签字笔为，用2积分购买草稿本为，用2积分购买便利贴为，
由枚举可知，该同学用完积分的方式如下：
，共有11种．
（2）对第一天使用积分购买的商品进行分类：
①第一天买签字笔，使用1积分，余下的积分在以后用完，种数为，
②第一天买草稿本或便利贴，使用2积分，余下的积分在以后用完，种数为，
所以，所以，
因为，，所以，
所以，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以．
（3）由题可知，
法一：易知当时，．
当时，因为，
所以，
所以．
法二：易知当时，．
当时，因为，
所以．
5．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求，的值.
(2)若正项数列的前项和为，且，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
【解析】（1），
由题意可得，则，
又，切点在切线上，
所以，则，所以，解得；
（2）（ⅰ）因为，所以要证，即证
又，所以即证，
因为数列为正项数列，所以可设，不等式化为，
设，则恒成立，
故函数在上单调递增，则恒成立，
即在上恒成立，则原命题得证；
（ii）先证明，即证，
设，
则，
又设函数，则，所以时，，
则函数在上单调递增，故，
即当时，恒成立，所以，
所以，
所以，则在上单调递增，
所以，则所证不等式成立，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以当时，，
又当时，，
故.
6．已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，证明：.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，
由题意得：，所以，
所以（舍）或，代入原方程后可得，
于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由题可得，
由于时，，
则（当且仅当时取等号），
所以，
则（当且仅当时取等号）.
所以.
7．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，证明：．
【解析】（1）由题意，可得，
则，
由，两式相减得，
可得的公比，
进而可得，
所以.
（2）由题设，为奇数时，为偶数时，
且时，，
则，
所以，
则，
所以，
且时，，
而，
所以，
综上，.
8．已知关于x的函数，其图象与x轴相切．
(1)求的表达式；
(2)证明：；
(3)设数列，（），的前n项和为，证明：．
【解析】（1）函数的图象与x轴相切，则得代入可得.
（2），则，
则得，得
所以在上单调递增，在上单调递减，
得证.
（3）由（2）知，当时，，，即当时，，又当时，，，所以，
所以，即，，得证.
9．已知数列的前n项和为，且，其中．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：．
【解析】（1）当时，，
当时，，
又，两式相减得：
，
所以，
此时，
将代入得，
因此对也成立，
故的通项公式为，
（2）由（1）可知，
所以，又，
所以，
所以
，
因为，所以，
即.
10．已知正项数列的前项和为、且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为，且，证明:.
【解析】（1）当时，，又，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
所以，又数列是正项数列，
所以，所以奇数项是以为首项，6为公差的等差数列，
所以，
由，可得偶数项是以为首项，6为公差的等差数列，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
11．已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且．
(1)求的周长；
(2)证明：为等比数列；
(3)证明：对任意正整数．
【解析】（1）因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为，
所以圆的半径为，圆的半径为．
又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切，
所以，，．
所以的周长为：．
（2）依题意，有，，，
得即
消去得，
整理，得，
两边同时减去，得．
依题意，易得，所以，即．
所以．
所以为等比数列，首项为1，公比为．
（3）由（2）得，．
令，则当时，．
要证，即证，
即证．
当时，
（当且仅当时，等号成立）
（当且仅当时，等号成立）
．
所以，
得证．
12．如图所示，是抛物线上的一系列点，其中，记直线的斜率分别为.
(1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)记的面积为，求；
(3)若.求证：.
注：中，若，则面积.
【解析】（1），同理，
由，得，又，
所以，则是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
令，则，同理，
所以，即．
（3）所以，
则
所以
13．已知首项为1的正项数列满足 .
(1)探究数列的单调性；
(2)证明： .
【解析】（1）数列为递减数列，理由如下：
由题意可得，
则，
令函数，
则，
在上单调递减，
则，令，
则，
，
即数列为递减数列；
（2）令函数，
，
令函数，
则，当时，，当时，，
故在单调递减，在为单调递增，
故，则，
，
，故在定义域上单调递增，，
令，
则，
又，
.
当时，
.
即，又时，.
所以.
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