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4.3 第4课时　三角形全等的综合运用
【素养目标】
1.熟记三角形全等的四个条件.
2.能灵活运用三角形全等的条件解决问题.
【重点】
运用各种条件识别全等三角形.
【自主预习】
　　判定三角形全等的条件有哪些
【参考答案】
1.三边对应相等的两个三角形全等,简称“边边边”或“SSS”.
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”.
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”.
4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.
不能判断两个三角形全等的条件是 (　　)
A.有三条边对应相等
B.有两边及其夹角对应相等
C.有三个角对应相等
D.有两角及其夹边对应相等
【参考答案】
C
【合作探究】
全等三角形的综合应用
阅读课本第104-105页的内容,回答下列问题:
1.例1中由△ABD≌△CDB可以得到哪些角相等,哪些边相等
　　　　
2.例1中如果把“AB∥CD”改成“AD∥BC”,其他条件不变,能说明△ABD≌△CDB吗 为什么
3.例2中你还能根据其他的判定条件,判断△ADC≌△BCD吗 试一试,与同伴交流.
　　　　
【参考答案】
1.∠A=∠C,∠ADB=∠CBD,AD=BC.
2.不能,因为两边及其一边的对角相等的两个三角形不一定全等.
3.可以,可以用“边角边”说明,即AD=BC,∠A=∠B,AC=BD.
1.说明一个结论正确与否时,需要给出　　　　.
2.证明两个三角形全等,一般情况下是已知两个相等元素去找第三个元素,有以下几种情况:
(1)已知两角:找其中任意一角的　　　　或找两角的　　　　;
(2)已知一边及其邻角:找任意　　　　或找夹该已知角的边;
(3)已知一边及其对角:找余下的任意　　　　;
(4)已知两边:找　　　　或找两边的　　　　.
【参考答案】
　1.充分的理由
2.(1)对边　夹边
(2)一角
(3)一角
(4)第三边　夹角
如图,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAE=∠CAD,BD和CE交于点O.试说明△ADB≌△AEC.
【参考答案】
解:因为∠BAE=∠CAD,
所以∠BAE+∠EAD=∠CAD+∠EAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△ADB和△AEC中,
所以△ADB≌△AEC(SAS).
已知两边分别相等
例1　如图,在△ABC和△ADE中,延长BC交DE于点F.BC=DE,AC=AE,∠ACF+∠AED=180°.试说明AB=AD.
变式训练
如图,C为线段BE上一点,AB∥DC,AB=EC,BC=CD.
(1)求证:△ABC≌△ECD.
(2)若∠B=35°,∠D=25°,求∠ACD的度数.
【参考答案】
例1　解:因为∠ACB+∠ACF=180°,∠ACF+∠AED=180°,
所以∠ACB=∠AED.
在△ABC和△ADE中,
所以△ABC≌△ADE(SAS),所以AB=AD.
变式训练
解:(1)证明:因为AB∥DC,所以∠B=∠DCE.
在△ABC和△ECD中,
所以△ABC≌△ECD(SAS).
(2)由(1)得△ABC≌△ECD,
又因为∠B=35°,∠D=25°
所以∠DCE=∠B=35°,∠ACB=∠D=25°,
所以∠ACD=180°-∠DCE-∠ACB=120°,
所以∠ACD的度数为120°.
已知两角分别相等
例2　如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.试说明DE=BC.
变式训练
如图,点E在△ABC的外部,点D在边BC上,DE交AC于点F,连接AE,AD.若∠1=∠2,∠B=∠ADE,AB=AD,则(　　)
A.△ABC≌△AFE B.△AFE≌△ADC
C.△AFE≌△DFC D.△ABC≌△ADE
【参考答案】
例2　解:因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B.
在△CDE和△ABC中,
所以△CDE≌△ABC(ASA),
所以DE=BC.
变式训练　D
已知一边一角分别相等
例3　如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D,E.
(1)试说明△BEC≌△CDA.
(2)当AD=3,BE=1时,求DE的长.
　　　　
　　　　
　　　　
变式训练
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠1=∠2,AB=EC.
(1)试说明△ABD≌△ECB.
(2)若∠1=20°,∠ADB=25°,求∠DEC的度数.
【参考答案】
例3　解:(1)因为AD⊥CE,BE⊥CE,
所以∠ADC=∠E=90°.
因为∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
所以∠ACD=∠CBE.
在△ADC和△CEB中,
所以△ADC≌△CEB(AAS).
(3)因为△ADC≌△CEB,
所以BE=CD=1,AD=EC=3,
所以DE=EC-CD=3-1=2.
变式训练
解:(1)因为AD∥BC,
所以∠ADB=∠CBE.
在△ABD和△ECB中,
所以△ABD≌△ECB(AAS).
(2)因为AD∥BC,所以∠DBC=∠ADB=25°.
因为∠2=∠1=20°,∠DBC=25°,
所以∠BEC=180°-∠2-∠DBC=135°,所以∠DEC=180°-∠BEC=45°.

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