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第二单元认识三角形和四边形（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点一：图形分类
四边形容易变形，三角形具有稳定性。四边形和三角形的这些特性在生产和生活中有着广泛应用。
知识点二：三角形分类
判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，关键是看它最大的角，最大的角是哪类角，它就属于哪类三角形。
知识点三：三角形内角和
三角形的内角和不会随着三角形的大小、形状变化而发生变化，所有三角形的内角和都是180°。
知识点四：三角形边的关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
知识点五：四边形分类
四边形按照边的特点，可以把四边形分为：平行四边形、梯形和任意四边形三大类。正方形和长方形都是特殊的平行四边形。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）如图，凳子摇晃了，在凳子下边斜着钉木条，凳子就可以正常使用了，这是运用了( )知识。
2．（2分）有一块等腰三角形的菜地，它的周长是236米，腰长83米，这块等腰三角形菜地的底边长是( )米。
3．（2分）如图，用小棒摆三角形，摆1个三角形用3根，摆2个三角形用5根，摆7个三角形用( )根小棒。
4．（2分）一根铁丝可以围成一个边长6厘米的正方形，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是( )厘米。
5．（2分）如图：一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是( )°，原来这张纸片的形状是( )角三角形。
6．（2分）一个等腰三角形的顶角是70°，底角是( )°。如果等腰三角形的一个底角是50°，顶角是( )°。
7．（2分）在三角形中，已知∠1＝58°，∠2＝32°，则∠3＝( )°，按角分，这是一个( )三角形。
8．（2分）用三根长度是整厘米的小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别是6厘米和9厘米，第三根小棒的长度最短是( )厘米，最长是( )厘米。
9．（2分）如图是乐乐家的太阳能热水器，其中的一段支架损坏，需要更换，则更换的支架长度要大于( )米，小于( )米。
10．（2分）东东这样描述一个平面图形：“它是一个四边形，它有两组对边分别平行。”东东描述的图形可能是( )。
二、判断题（共10分）
11．（2分）有一组对边平行的四边形叫梯形。( )
12．（2分）如图是一个等边三角形和一个直角三角形组成的图形，拼成的图形的周长可能是21厘米。( )
13．（2分）自行车车架、房屋顶的三角架都是利用了三角形的稳定性设计的。( )
14．（2分）一个等腰三角形的顶角是140°，它的一个底角一定是20°。( )
15．（2分）一个三角形的三边长分别为8厘米、5厘米、3厘米。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）一个四边形被遮住了一部分（如图），这个四边形可能是（ ）。
A．长方形 B．梯形 C．平行四边形
17．（2分）如果三角形中有一个角是88°，那么这个三角形是（ ）。
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．不能确定
18．（2分）一个三角形中，至少有两个（ ）。
A．钝角 B．直角 C．锐角
19．（2分）已知两根长度分别为7厘米和15厘米的小棒，再添上一根长度为整数的小棒搭成一个三角形，这根小棒至少是（ ）厘米。
A．9 B．10 C．8
20．（2分）知识就是力量，学习了三角形的知识很快就能根据三角形露出的一部分去做判断。下列（ ）不能确定三角形的形状。
A． B． C．
四、计算题（共6分）
21．（6分）如图是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，它们原来分别各是什么三角形？
五、作图题（共6分）
22．（6分）在下面点子图上画一画。
六、解答题（共48分）
23．（6分）选一选，哪种做法不容易变形？
24．（6分）用一根21厘米长的铁丝围成一个最大的等腰三角形。如果这个等腰三角形的其中一条边长是9厘米。这个等腰三角形的其余两条边长分别是多少厘米？
25．（6分）张爷爷将一个长为4分米、宽为2分米的长方形铁丝圈，改围成一个最大的等边三角形铁丝圈。这个等边三角形铁丝圈的边长是多少分米？
26．（6分）用一根铁丝可以围成一个边长为6分米的正方形，如果用这根铁丝围一个等边三角形，这个等边三角形的边长是多少？
27．（8分）在自制风筝活动中，同学们需将一根长12dm的竹条剪成三段（每段长度为整分米数）并首尾相连围成一个三角形风筝框架。（图中每段表示1dm）
（1）下图是鹏鹏的剪法，他所剪出的三段竹条能否围成三角形？请说明理由。
（2）如图，田田先剪下5分米长的一段作为三角形的一条边，接下来应再在哪里剪开，得到的三段竹条可围成三角形？请在图中画“|”表示剪的位置。
（3）悦悦剪下的三段恰好围成了三个内角都是60°的三角形。她是在哪两个位置剪的？请在图中画“|” 表示出来。
28．（8分）我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，可用布、绸、缎等材料按照标准制作。分为小号、大号两个规格。小号：底边长100厘米、腰边长60厘米。大号：底边长120厘米、腰边长72厘米。红领巾中最大的角是120°。
（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：
（2）红领巾中另外两个的角分别是多少度？
29．（8分）笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。
列式计算：180°×6－360°＝720°
（1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。
（2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。
参考答案
1．三角形具有稳定性
【分析】根据题意在桌子腿上斜着钉木条后，可以看出组成一个三角形，那么利用三角形具有稳定性的性质进行解答。
【详解】在桌子腿上斜着钉木条后，组成一个三角形，所以运用了三角形的稳定性知识。
【点睛】本题主要考查三角形的性质，熟练应用三角形的稳定性是解本题的关键。
2．70
【分析】等腰三角形两条腰相等，底边＝三角形周长－腰长×2，即可解答。
【详解】236－83×2
＝236－166
＝70（米）
故这块等腰三角形菜地的底边长是70米。
3．15
【分析】摆1个三角形用3根，摆2个三角形用5根，摆3个三角形用7根，摆4个三角形用9根，每多摆1个三角形，多用2根小棒。摆7个三角形比摆1个三角形多用6个2根小棒，需要（3＋6×2）根小棒。
【详解】3＋（7－1）×2
＝3＋6×2
＝3＋12
＝15（根）
摆7个三角形用15根小棒。
4．8
【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出正方形的周长，即铁丝的长度，再除以3就是等边三角形的边长。
【详解】6×4÷3
＝24÷3
＝8（厘米）
这个等边三角形的边长是8厘米。
【点睛】关键是根据正方形的周长公式及等边三角形的性质解答问题。
5． 98 钝
【分析】三角形的内角和为180°，用180°依次减去47°和35°，计算出被撕去的角的度数；锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。
【详解】根据分析：
180°－47°－35°＝98°
所以一张三角形纸片被撕去一个角，撕去的角是98°；98°为钝角，47°和35°为锐角，所以原来这张纸片的形状是钝角三角形。
6． 55 80
【分析】已知等腰三角形的顶角是70°，根据三角形的内角和是180°，先用180°减顶角的度数70°求出两个底角的度数和；因为等腰三角形的两个底角相等，再用求出的两底角的度数和除以2，即求到一个底角的度数；
已知等腰三角形的一个底角是50°，则另一个底角也是50°，根据三角形的内角和是180°，用180°连续减去2个底角的度数，即180°减去2个50°，即求到顶角的度数。据此解答。
【详解】（180°－70°）÷2
＝110°÷2
＝55°
180°－50°×2
＝180°－100°
＝80°
所以，一个等腰三角形的顶角是70°，底角是55°。如果等腰三角形的一个底角是50°，顶角是80°。
7． 90 直角
【分析】根据三角形的内角和是180°，已知∠1＝58°，∠2＝32°，用三角形的内角和减去∠1与∠2的度数和，即可求出∠3的度数；再根据三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；判断是什么三角形即可。
【详解】180°－（∠1＋∠2）
＝180°－（58°＋32°）
＝180°－90°
＝90°
即三角形的一个内角是直角，所以该三角形是直角三角形。
即在三角形中，已知∠1＝58°，∠2＝32°，则∠3＝90°，按角分，这是一个直角三角形。
8． 4 14
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可。
【详解】根据分析：9－6＜第三边＜6＋9
所以3＜第三边＜15
用三根长度是整厘米的小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度分别是6厘米和9厘米，第三根小棒的长度最短是（4）厘米，最长是（14）厘米。
9． 0.5 2.9
【分析】在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三边的长度范围即可解题。
【详解】1.7＋1.2＝2.9（米）
1.7－1.2＝0.5（米）
2.9米＞第三边＞0.5米
则更换的支架长度要大于0.5米，小于2.9米。
10．平行四边形
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，长方形与正方形是特殊的平行四边形，它们的两组对边也是互相平行的。
【详解】东东这样描述一个平面图形：“它是一个四边形，它有两组对边分别平行。”东东描述的图形可能是平行四边形。
11．×
【分析】梯形有一组对边平行而另一组对边不平行，所以还要看另一组对边是否平行，不平行才是梯形，据此判断。
【详解】有一组对比平行也可能是平行四边形，长方形或正方形等，只有一组对边平行的四边形才是梯形，原题说法错误。
故答案为：×
12．×
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三条边进行解答。
【详解】因为图中是由一个等边三角形和一个直角三角形组成的图形，所以这个图形的周长等于等边三角形两边的和，加上直角三角形两条直角边的和，因为三角形任意两边之和大于第三条边，所以直角三角形两条直角边的和大于斜边，所以拼成的图形的周长大于21厘米。所以原题说法错误。
故答案为：×
13．√
【分析】三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常来利用三角形的稳定性加固物件，例如自行车的三角形车架、三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架等，都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，自行车车架、房屋顶的三角架都是利用了三角形的稳定性设计的，原说法正确。
故答案为：√
14．√
【分析】在等腰三角形中，2个底角是相等的，用180°减去顶角，再除以2就是底角度数。
【详解】（180°－140°）÷2
＝40°÷2
＝20°
所以一个等腰三角形的顶角是140°，它的一个底角一定是20°，原题说法正确。
故答案为：√
15．×
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断即可。
【详解】8－5＝3，3＝3
两边之差等于第三边，不能构成三角形。原题说法错误。
故答案为：×
16．B
【分析】长方形的对边平行且相等，梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，平行四边形是在同一平面内，两组对边分别平行的四边形。
观察图形可知，这个遮住的图形有一组对边不平行，所以这个图形不可能是长方形和平行四边形，有可能是梯形。
【详解】A．长方形的两组对边平行，这个图形不可能是长方形，不符合题意。
B．梯形有一组对边不平行，这个图形可能是梯形，符合题意。
C．平行四边形两组对边分别平行，这个图形不可能是平行四边形，不符合题意。
故答案为：B
17．C
【分析】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
在一个三角形中，如果有一个角是88°，则另外两个角的和为180°﹣88°＝92°，则另外两个角可能是91°和1°、90°和2°、89°和3° 所以最大角可能是钝角，也可能是直角或锐角；所以这个三角形可能是钝角三角形，可能是直角三角形，也可能是锐角三角形。另外两个角的度数不能确定，则这个三角形的类别也不能确定。据此解答。
【详解】根据分析可知，在一个三角形中，如果有一个角是88度，则另外两个角的和为180°﹣88°＝92°；则最大角可能是钝角，可能是直角，也可能是锐角，所以这个三角形可能是直角三角形，可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形。
故答案为：C
18．C
【分析】三角形的内角和是180°。如果有2个直角，每个直角是90°，这两个角的和就已经是180°了，不符合三角形内角和是180°；如果有2个钝角，因为钝角大于90°，这两个角的和同样大于180°，所以一个三角形中至少有2个锐角。
【详解】根据三角形的内角和是180°，由分析可知，一个三角形中，至少有两个锐角。
故答案为：C
19．A
【分析】三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边；据此先求出第三根小棒长度的取值范围，再进行解答。
【详解】根据解析可知，＜小棒的长度＜，也就是8＜小棒的长度＜22；因为小棒是整厘米数，所以这根小棒的长度最短是（厘米），也就是这根小棒至少是9厘米。
故答案为：A
20．B
【分析】锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
【详解】
A．，露出的角是钝角，是钝角三角形；
B．，露出的角是锐角，不能确定三角形的形状；
C．，露出的角是直角，是直角三角形。
即不能确定三角形的形状。
故答案为：B
21．钝角三角形；锐角三角形；直角三角形
【分析】根据三角形内角和是180°，用180°减去已知的两个角求出第三个角；再根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形去判断该三角形是哪种三角形。
【详解】图一：
180°－37°－42°
＝143°－42°
＝101°
有一个角是钝角，所以是钝角三角形。
图二：
180°－55°－55°
＝125°－55°
＝70°
三个角都是锐角，所以是锐角三角形。
图三：
180°－30°－60°
＝150°－60°
＝90°
有一个角是直角，所以是直角三角形。
所以，它们原来分别是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形。
22．见详解
【分析】等腰直角三角形的特征：三角形的两条边相等，且这两条边之间的夹角为直角；
梯形的特征：两条底边平行且不相等；平行四边形的特征：对边平行且相等；一个梯形从上底的一个顶点出发，画一条与梯形另一条腰平行的线段，即可将一个梯形分成一个三角形和一个平行四边形；
钝角三角形的特征：有一个内角是钝角；
据此作图。
【详解】（答案不唯一）
23．第一种
【分析】三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常来利用三角形的稳定性加固物件，例如自行车的三角形车架、三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架等，都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用；平行四边形具有不稳定性，易变形，伸缩门，衣帽架，火车两车箱相连处，伸缩尺都是利用了平行四边形的不稳定性；据此即可解答。
【详解】图（一）栅栏格子中形成了很多三角形，三角形具有稳定性，不易变形；图（二）栅栏格子是平行四边形，平行四边形具有不稳定性，很容易变形；所以选第一种做法不容易变形。
24．9厘米、3厘米或6厘米、6厘米
【分析】如果把它围成一条边是9厘米的等腰三角形，如果9厘米是底，则用铁丝总长度21厘米减9厘米，即得到两条腰的总长度，因为等腰三角形两腰相等，再用21减9的差除以2即得到一条腰的长度；如果9厘米是一条腰的长度，那么另一条腰也是9厘米，用21厘米减2个9厘米，即得到底边的长度。最后根据三角形三边的关系，看最短两边相加的和是否大于第三边检验三条边是否符合三角形的特性。据此解答。
【详解】若这个等腰三角形的相同的两条边（腰长）是9厘米，则这个等腰三角形的第三条边长（底边）是21－9－9＝3（厘米），9＋3＞9，可以围成三角形；
若这个等腰三角形的一条边长（底边）是9厘米，则这个等腰三角形相同的两条边（腰长）是（21－9）÷2＝12÷2＝6（厘米），6＋6＞9，可以围成三角形。
答：这个等腰三角形的其余两条边长分别是9厘米、3厘米或6厘米、6厘米。
25．4分米
【分析】长方形周长：（长＋宽）×2，据此先求出4与2的和，再乘2即为这个长方形的周长，也是这根铁丝的长度，等边三角形的三条边长度相等，将这根铁丝围成等边三角形，铁丝的长度也是这个等边三角形的周长，再给这个周长除以3，即可求出这个等边三角形的边长。
【详解】（4＋2）×2
＝6×2
＝12（分米）
12÷3＝4（分米）
答：这个等边三角形铁丝圈的边长是4分米。
26．8分米
【分析】根据题意可知，用一根铁丝可以围成一个边长为6分米的正方形，用这根铁丝围一个等边三角形，要求这个等边三角形的边长。根据正方形的周长＝边长×4，可以求出这根铁丝的长度，由于等边三角形的三边相等，所以用正方形的周长除以3即可求出这个等边三角形的边长，据此解答即可。
【详解】由题意得：
6×4÷3
＝24÷3
＝8（分米）
答：这个等边三角形的边长是8分米。
27．（1）鹏鹏所剪出的三段竹条不能围成三角形。因为三段竹条的长度分别为6分米、5分米、1分米，且5＋1＝6，不符合三角形的特性。
（2）作图见详解
（3）作图见详解
【分析】（1）三角形中任意两边长度之和大于第三边。从图中可知：鹏鹏剪下的三段竹条的长度分别为6分米、5分米、1分米，因为5＋1＝6，所以他所剪出的三段竹条不能围成三角形。据此解答。
（2）田田先剪下5分米长的一段作为三角形的一条边，则剩下的长度为12－5＝7（分米），如果把7分米分成1分米和6分米，因1＋5＝6，不能围成；如果分成2分米和5分米，2＋5＞5，可以围成；如果分成3分米和4分米，3＋4＞5，可以围成。据此作图。
（3）悦悦剪下的三段恰好围成了三个内角都是60°的三角形，说明这个三角形是等边三角形，所以它的三条边的长度为12÷3＝4（分米）。据此作图。
【详解】（1）根据分析可知：
鹏鹏所剪出的三段竹条不能围成三角形。因为三段竹条的长度分别为6分米、5分米、1分米，且5＋1＝6，不符合三角形的特性。
（2）12－5＝7（分米）
7＝1＋6，1＋5＝6，不能围成；
7＝2＋5，2＋5＞5，能围成；且三段竹条分别长5分米、2分米、5分米；
7＝3＋4，3＋4＞5，能围成；且三段竹条分别长5分米、3分米、4分米。
所以，可以有以下两种剪法：
或
（3）12÷3＝4（分米）
所以，三段竹条分别长4分米。
28．（1）小号红领巾的周长是多少厘米？
（2）30度
【分析】（1）红领巾是等腰三角形，两条腰的长度相等，在小号红领巾中100厘米是底边的长度，60厘米是腰的长度，100＋60×2表示小号红领巾的周长是多少厘米。
（2）三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角相等，先用三角形的内角和减去顶角的度数，求出两个底角的和，再除以2，即可求出红领巾的另外两个的角分别是多少度。
【详解】（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：小号红领巾的周长是多少厘米？
（2）（180－120）÷2
＝60÷2
＝30（度）
答：红领巾中另外两个的角都是30度。
【点睛】解决本题的关键是熟知等腰三角形的特点，以及三角形的内角和定理。
29．（1）6个三角形的内角和；
如图：
（2）如图：
180°×4＝720°
【分析】（1）六边形由中心点引6条辅助线，把六边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以180°×6求的是6个三角形的内角和；6个三角形中心角的和是周角，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。
（2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。
【详解】（1）由分析可知，180°×6求的是6个三角形的内角和，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。
（2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，
180°×4＝720°
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