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11.4.2 平面与平面垂直
——高一数学人教B版（2019）必修第四册课前导学
知识填空1.二面角：一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个 ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 ．以AB为棱，和为半平面的二面角，记作二面角 ．
2.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作 于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角的 来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为 ．
3.平面与平面垂直：一般地，如果两个平面和所成角的大小为 ，则称这两个平面互相垂直，记作 ．
4.面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另外一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂直．
符号语言：如果，，则 ．
5.面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面．
符号语言：如果，，，，则 ．
思维拓展1.证明面面垂直的常用方法有哪些？
2.在应用面面垂直的性质定理时，要注意什么？
3.解决空间问题的原则是什么？
基础练习1.自二面角棱l上任选一点O，若是二面角的平面角，则必须具有条件( )
A.，，
B.，
C.，，
D.，，且，
2.已知，为两个不同平面，l为直线，且，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图，在斜三棱柱中，，，则点在平面ABC上的射影点H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.内部（不包括边界）
4.（多选）在正方体中，下列结论正确的有( )
A. B.异面直线与BD所成的角为
C.二面角的大小为 D.与平面ABCD所成的角为
5.如图，若长、宽分别为4和3与长、宽分别为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则____________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.半平面 棱 面
2.垂直 大小 直二面角
3.90°
4.垂线
5.交线
二、思维拓展
1.（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
2.（1）两个平面垂直是前提条件；
（2）直线必须在其中一个平面内；
（3）直线必须垂直于它们的交线.
3.空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
三、基础练习
1.答案：D
解析：根据题意，l是平面与的交线，则根据二面角的定义，若，，且，，则为二面角的平面角.故选D.
2.答案：B
解析：若，，则平面内平行于l的直线垂直于，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，若，，则l在内或l与平行，则必要性不成立.故选B.
3.答案：A
解析：连接.，，，平面.
又平面，平面平面，点在平面ABC上的射影点H必在平面与平面ABC的交线AB上.故选A.
4.答案：ABC
解析：如图，对于A，连接AC，则，，，故A正确.
对于B，连接，，，（或其补角）即为异面直线与BD所成的角，为等边三角形，与BD所成的角为，故B正确.
对于C，平面，平面，，，是二面角的平面角，是等腰直角三角形，，故C正确.
对于D，平面，是与平面ABCD所成的角，，，故D错误.故选ABC.
5.答案：
解析：由题意得，两个矩形的对角线长分别为5，，所以，，所以.11.4.1 直线与平面垂直
——高一数学人教B版（2019）必修第四册课前导学
知识填空1.直线与直线所成角：一般地，如果是空间中的两条 直线，过空间中任意一点，分别作与平行或重合的直线，，则与所成角的大小，称为 ．特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为 时，称l与m垂直，记作．
2.直线与平面垂直：直线l与平面内过它们 的所有直线都垂直．
符号表示：，．
3.线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
符号表示：如果，，，，，则 ．
4.线面垂直的性质定理：如果两条直线 于同一个平面，那么这两条直线平行．
符号表示：如果，，则 .
5.垂线段、斜线段的定义：如果A是平面外一点，B是平面内一点，则时，AB是平面的 ．如果C是平面内一点，且AC与不垂直，则称AC是平面的 （相应地，直线AC称为平面的 ），称C为 ．
6.线面角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.取值范围： .
思维拓展1.求两条异面直线所成的角的一般步骤？
2.求斜线与平面所成角的步骤？
基础练习1.如图，在棱长为1的正方体中，到平面的距离为( )
A.1 B. C. D.
2.如图，在正四面体中，D是OA的中点，则异面直线BD与OC所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
3.如图所示，几何体是正方体，则直线与平面所成的角是( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中，则DE与平面PAC的位置关系是_________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.异面 异面直线与所成角的大小 90°
2.公共点
3.相交
4.垂直
5.垂线段 斜线段 斜线 斜足
6.射影
二、思维拓展
1.（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角.
（2）证明：证明作出的角就是要求的角.
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）.
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
2.（1）作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影
要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
（3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
三、基础练习
1.答案：C
解析：连接，.设到平面的距离为h，则由可得，即.故选C.
2.答案：B
解析：如图，取AC的中点E，连接DE，BE.因为D是OA的中点，所以，所以（或其补角）为异面直线BD与OC所成的角.
设正四面体的棱长为2，则，，所以，所以异面直线BD与OC所成角的余弦值是.故选B.
3.答案：D
解析：取的中点，连接，由正方体的特征易知平面.
连接，则为在平面内的射影，为所求的线面角.在中，，故，故选D.
4.答案：平行
解析：因为平面，平面ABC，所以.又平面，平面PAC，所以平面PAC.

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