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8.3.2 用多种正多边形
【素养目标】
1.经历探索用多种正多边形铺设地面的过程,得出用多种正多边形铺设地面的条件.
2.能用正多边形铺设地面.
3.知道任意的三角形、四边形也可以铺设地面.
【重点】
用多种正多边形铺设地面的条件.
【自主预习】
1.用式子表示正n边形的一个内角的度数.
2.叙述使用多种正多边形能铺满地面的条件.
1.下列正多边形能和正八边形组合在一起进行密铺的是 ( )
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
2.下列不能够铺满地面的正多边形组合是 ( )
A.正三角形与正方形
B.正五边形与正十边形
C.正六边形与正三角形
D.正六边形与正八边形
【参考答案】
预学思考
1.或180°-.
2.使用给定的多种正多边形,当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时,就可以铺满地面.
自学检测
1.B　2.D
【合作探究】
用多种正多边形铺设地面
请你阅读课本本节的内容,思考:用多种正多边形铺设地面的条件是什么
【课前准备】在课前每组准备好若干边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等.
【拼图实验】1.用其中的两种正多边形拼图,哪两种能铺设地面
2.用其中的三种正多边形拼图,哪三种能铺设地面
【总结规律】用多种正多边形铺设地面的条件:同一顶点处各内角的和等于 .
1.若有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺满地面,则第三种正多边形是 ( )
A.正十二边形 B.正十三边形
C.正十四边形 D.正十五边形
用任意多边形铺设地面
【课前准备】用硬纸片剪出形状相同、大小相等的任意三角形若干,形状相同、大小相等的任意四边形若干.
【拼图实验】1.用你剪出的三角形纸片拼一拼,看它们能否铺设地面.
2.用你剪出的四边形纸片拼一拼,看它们能否铺设地面.
【深入思考】任意其他多边形,如五边形、六边形等能铺设地面吗
【总结规律】用任意三角形或四边形铺设地面的关键是同一顶点处几个角的和是 .
2.使用下面这两种多边形(梯形和三角形)拼接平面图案.
用正多边形铺设地面的方案设计
例　某校研究性学习小组研究平面密铺的问题,其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法:用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形,如图1,2,3所示.请你仿照此方法解决下列问题.
(1)研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形,求出x和y的值.
(2)按图4中给出的两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图.
变式训练　两个多边形,一个多边形记为A,另一个多边形记为B,多边形A的边数是多边形B的边数的2倍.
(1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍,求多边形A和多边形B的边数.
(2)利用边长相等的正多边形A瓷砖和正多边形B瓷砖能够镶嵌(不重叠、无缝隙地密铺)地面,在一个顶点的周围有a块正多边形A瓷砖和b块正多边形B瓷砖(ab≠0),求a+b的值.
【参考答案】
知识点一
拼图实验
1.答案不唯一,教师可以按以下格式让学生回答:
∵　　　　×　　　　°+　　　　×　　　　°=360°,
∴用　　　　个正　　　　形和　　　　个正　　　　形能铺设地面.
如∵3×60°+2×90°=360°,
∴用3个正三角形和2个正方形能铺设地面.
2.答案不唯一,教师可以按以下格式让学生回答:
∵　　　　×　　　　 °+　　　　×　　　　°+　　　　×　　　　°=360°,
∴用 　　　个正　　　　形、　　　　个正　　　　形和　　　　个正　　　　形能铺设地面.
如∵1×60°+2×90°+1×120°=360°,∴用1个正三角形、2个正四边形、1个正六边形能铺设地面.
总结规律　360°
对点训练
1.D
知识点二
拼图实验
1.能.
2.能.
深入思考
不能.
总结规律
360°
对点训练
2.解:在梯形ABCD中,∠A+∠B=180°,
而在△EFG中,∠E+∠F+∠G=180°,
于是利用两个梯形、三个三角形即可进行平面镶嵌,如图所示:
题型精讲
例　解:(1)依题意得60x+90y=360,
化简得2x+3y=12,
则x=3,y=2.
(2)如图(答案不唯一).
变式训练　解:(1)设多边形B的边数为n,则多边形A的边数是2n,
∵多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍,
∴(2n-2)×180°=3×(n-2)×180°,解得n=4,
∴2n=2×4=8.
答:多边形A的边数是8,多边形B的边数是4.
(2)∵ab≠0,∴a≠0,b≠0.
∵正四边形和正八边形的内角分别为90°,135°,
由题意得135a+90b=360,∴3a+2b=8,
∴a=2,b=1,∴a+b=2+1=3.

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