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(共43张PPT)
2025年数学中考复习
3.15 二次函数的实际应用
基础知识
项目三 函数
考点要求
壹
1.能用二次函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义;
2.能根据函数图像分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律;
3.能结合函数图像对简单实际问题中的函数关系进行分析,结合对函数关系的分析,能对变量的变化趋势进行初步判断;
4.能通过分析实际问题中情境确定二次函数的表达式,体会二次函数的意义.
核心知识点
贰
知识点1 二次函数与几何图形的最大面积问题
解题思路 利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式，将这个二次函数解析式进行配方(或利用顶点坐标公式),并结合实际问题中自变量的取值范围进行解答.
知识点2 二次函数与最大利润问题
解题思路 由“总利润=每件商品的利润×销售量”得到二次函数解析式，再根据函数的图像和性质求最大值.
知识点3 建立坐标系研究与抛物线有关的实际问题
解题步骤 ①恰当地建立平面直角坐标系；②将已知条件转化为点的坐标；③合理地设出所求函数解析式；④代入已知条件或点坐标，求解析式，再利用解析式求解问题.
考点攻坚
叁
考点1 二次函数的最值问题
例1(2023·铁岭)已知实数的最小值等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】由题意得
,最小值是5.故选A.
例2(2023·九江)二次函数的最大值等于_______.
【解析】由题意,根据二次函数的图象与性质,由二次函数的,开口向下,二次函数有最大值为9.故答案为9.
例3(2024·通辽)如图所示,用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为__________m2.
考点2 二次函数与几何图形的最大面积问题
【解析】设与墙垂直的围栏的一边长为m,则与墙平行的矩形的另一边长为m,∴矩形的面积为,整理得,∴围栏的最大面积是32m2.故答案为32.
考点3 二次函数与最大利润问题
例4(2023·济南)某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量(个)与销售价格(元/个)的关系如图所示.当10≤≤20时,其图像是线段,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为__________元(利润总销售额总成本)
【解析】依据图像中的信息,利用待定系数法求出每天的销售量(个)与销售价格(元/个)的函数解析式为,设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为元,
,
,为121.
故答案为121.
例5(2024·南宁)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点处)的高度是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为,则 m.
考点4 建立坐标系,研究与抛物线有关的实际问题
【解析】本题考查的是二次函数的实际应用,设抛物线为,把点(0,),代入即可求出解析式;当时,求得的值,即为实心球被推出的水平距离.
解:以点为坐标原点,射线方向为轴正半轴,射线方向为轴正半轴,建立平面直角坐标系,∵出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m,高度是4m.设抛物线解析式为:,把点(0,),代入得:,解得:,∴抛物线解析式为:;当时,,解得(舍去),,即此次实心球被推出的水平距离为m.
专项训练
肆
达标训练
1.(2022·崇左)向空中发射一枚炮弹,经秒后的高度为米,且时间与高度的函数表达式为.若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等,则下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
A.第7秒
B.第9秒
C.第11秒
D.第13秒
B
2.(2023·秦皇岛)二次函数的最大值是 .
3.(2023·溧阳)如图所示，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈,已知房屋外墙足够长，当矩形的边 m时，羊圈的面积最大.
15
4.(2022·宁夏)以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间(单位:s)之间具有函数关系,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间_______s.
2
5.(2023·湖州)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过(秒)时球距离地面的高度(米)适用公式,那么球弹起后又回到地面所花的时间(秒)是 2 .
6.(2023·南昌)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度(单位:m)与水平距离(单位:m)之间的关系是,则铅球推出的距离 10 m.
7.(2024·郴州)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3m,那么水管的设计高度应为 .
m
8.(2023·呼和浩特)乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图所示是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.
提升训练
乒乓球到球台的竖直高度记为(单位：cm),乒乓球运行的水平距离记为(单位：cm),测得如下数据：
(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点,并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
(1)描出各点，画出图象如下:
答案
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm,当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm;
②求满足条件的抛物线解析式；
(2)①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，∴对称轴为直线.顶点坐标为(90,49),
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm,当时，,
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm;
故答案为：49;230;
答案
②设抛物线解析式为,
将(230,0)代入得，,
解得：,
∴抛物线解析式为 ;
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练.如图2所示，乒乓球台长为274cm,球网高为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为1.27cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值(乒乓球大小忽略不计).
答案
(3)当时，抛物线的解析式为,
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为,则平移距离为cm,∴平移后的抛物线的解析式为,
当时，,
∴,
解得：;
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为64.39cm.
课堂练习
伍
1.长方形的周长为12cm,其中一边长为()cm,面积为cm .那么与的关系是( )
A.B.
C. D.
D
2.某汽车销售公司2021年盈利1500万元,2019年盈利万元,且从2021年到2023年,每年盈利的年增长率相同.设每年盈利的年增长率为,根据题意,下面的关系式中正确的是( )
A.1500
B.1500
C.
D.1500
3.(2023·河南)如图所示,水池中心点处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物 线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距点2.5m;喷头高4m时,水柱落点距点3m.那么喷头高( )m时,水柱落点距点4m.
A.6
B.7
C.8
D.8.5
4.(2024·大同)竖直向上抛物体时,物体离地面的高度(m)与运动时间(s)之间的关系可以近似地用公式表示,其中(m)是物体抛出时离地面的高度,(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( )
A.23.5m
B.22.5m
C.21.5m
D.20.5m
5.(2023·武汉)如图所示，一名学生推铅球，铅球行进高度(单位：m)与水,则铅球推出的距离 m.
10
6.已知矩形的周长为36m,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,设矩形的这条边长为m,圆柱的侧面积为,则的函数关系式为 .
7.(2024·湖州)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
8.(2023·苏州)某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定:一次性销售1000千克以内时,以50元/千克的价格销售;一次性销售不低于1000千克时,每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响,一次性销售不低于1750千克时,均以某一固定价格销售.一次性销售利润(元)与一次性销售量(千克)的函数关系如图所示.
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元
(2)求一次性销售量在1000～1750千克时的最大利润;
(3)当一次性销售多少千克时利润为22100元
答案
8.解：(1)根据题意，当=800时，y=800×(50—30)=800X20=16000,
∴当一次性销售800干克时利润为16000元；
(2)设一次性销售量在1000～1750千克时，销售价格为50-30-0.01（-1000）=-0.01+30,
∴y=(-0.01十30)=-0.01+3=-0.01(—3000)=-0.01+22500,
∵.0.01<0,1000≤≤1750,∴当x=1500时，y有最大值，最大值为22500,
∴一次性销售量在1000～1750千克时的最大利润为22500元；
答案
谢谢观看

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