资源简介

专题02 函数与导数下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：曲率与曲率半径问题
题型二：曼哈顿距离与折线距离
题型三：双曲正余弦函数问题
题型四：凹凸函数
题型五：二元函数问题
题型六：切线函数新定义
题型七：非典型新定义函数
【方法技巧与总结】
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
【典型例题】
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；
(1)求实数a的值；
(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．
【典例1-2】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【变式1-2】（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：
(1)若，求的取值范围；
(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.
【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
(1)①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
题型三：双曲正余弦函数问题
【典例3-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；
(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．
【典例3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.
（1）解方程：；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：________，并证明；
（3）无穷数列，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【变式3-2】（2024·高三·江苏盐城·期末）悬链线(Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令．
(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)已知函数，若对任意的，总存在不同的，使得成立，求实数的取值范围．
题型四：凹凸函数
【典例4-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.
(1)证明：在上为凹函数；
(2)设，且，求的最小值；
(3)设为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
【典例4-2】（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.
【变式4-1】（2024·高三·广东东莞·阶段练习）记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，.
(1)若函数为上的凸函数，求a的取值范围；
(2)若函数在上有极值，求a的取值范围.
题型五：二元函数问题
【典例5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，
②，使得.
那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值.
【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量x，y，z，当x，y在某范围D内任取一组确定的值时，若变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作．已知二元函数．
(1)若，求的最小值．
(2)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
题型六：切线函数新定义
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，设函数的导函数为，若函数和的图象在处的两条切线和平行，则称为函数和的“关联切点”．
(1)证明：对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个；
(2)若两条切线和之间的距离为1，证明：（其中e为自然对数的底数）．
【典例6-2】（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
【变式6-1】（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【变式6-2】（2024·高三·上海·期中）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
(1)判断点是否为函数的1度点，请说明理由；
(2)若点是的“度点”，求自然数的值；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
题型七：非典型新定义函数
【典例7-1】（2024·高三·广东佛山·阶段练习）若对实数，函数、满足，且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”已知，．
(1)若1是平滑函数的“平滑点”，
（ⅰ）求实数a，b的值；
（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数t的取值范围；
(2)判断是否存在，使得对任意，函数存在正的“平滑点”，并说明理由．
【典例7-2】（2024·高三·上海·期中）已知定义域为的函数．当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”．
(1)判断函数是否为函数；
(2)是否存在实数，使得函数是函数？若存在，求实数的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中，证明：若是上的严格增函数，则对任意，都是函数．
【变式7-1】（2024·高三·上海普陀·阶段练习）给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)给定且，对于两个大于1的正实数，，若存在实数m满足：，，使得不等式恒成立，则称函数为区间D上的“优化分解函数”．若，函数为区间上的“优化分解函数”，求实数m的取值范围．
【过关测试】
1．（2024·高三·江西·阶段练习）记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
2．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
(1)求的最大值；
(2)当时，均有，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
3．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在函数满足下列条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则.
(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：当时，.
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.
(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：
（i）当时，在单调递减;
（ii）
5．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.
(1)若函数，，，求函数和的“分界线”；
(2)已知函数满足对任意的，恒成立.
①求实数的值；
②设函数，试探究函数与是否存在“分界线” 若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由.
6．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．
(1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由；
(2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；
7．（2024·福建·模拟预测）对于函数，若实数满足，则称为的不动点.已知，且的不动点的集合为.以和分别表示集合中的最小元素和最大元素.
(1)若，求的元素个数及；
(2)当恰有一个元素时，的取值集合记为.
（i）求；
（ii）若，数列满足，，集合，.求证：，.
8．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．
9．（2024·高三·重庆·阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数.
10．（2024·高三·全国·竞赛）设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.
(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；
(2)设集合和的函数以及的函数.
（i）对，构造的函数以及的函数，满足；
（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.
11．（2024·上海浦东新·二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
(2)已知，．证明：点是的0度点；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
12．（2024·高三·上海静安·期末）如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
13．（2024·高三·全国·专题练习）对于函数，，以及函数，．若对任意的，总有，那么称可被“替代”（通常）．
(1)试给出一个可以“替代”函数的函数；
(2)试判断是否可被直线， “替代”．
14．（2024·高三·上海静安·阶段练习）记、分别为函数，的导函数.若存在满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使得函数与在区间内存在“S点”，并说明理由.
15．（2024·高三·上海虹口·期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．
16．（2024·上海长宁·一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
17．（2024·高三·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
18．（2024·高三·浙江·期中）对函数，若，使得成立，则称为关于参数的不动点.设函数.
(1)当时，求函数关于参数的不动点；
(2)若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围；
(3)当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围.
19．（2024·高三·上海徐汇·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”，
(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
20．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，.已知在处的阶帕德近似为.注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：.
21．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么 这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
22．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
23．（2024·高三·山东临沂·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．

(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
(3)若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过理．
24．（2024·全国·二模）曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为.
(1)求证：抛物线（）在处弯曲程度最大；
(2)已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，，求证：.
25．（2024·高三·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)求曲线在点处的曲率的值；
(2)求正弦曲线曲率的最大值．
26．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
27．（2024·高三·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
28．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
29．（2024·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
30．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
31．（2024·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
32．（2024·高三·全国·专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若，请你根据这一发现.
（1）求函数的对称中心；
（2）计算.
33．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数拐点.已知.
（1）求证：函数的拐点在直线上；
（2）时，讨论的极值点的个数.
34．（2024·高三·全国·阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
（1）当时，求的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 函数与导数下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：曲率与曲率半径问题
题型二：曼哈顿距离与折线距离
题型三：双曲正余弦函数问题
题型四：凹凸函数
题型五：二元函数问题
题型六：切线函数新定义
题型七：非典型新定义函数
【方法技巧与总结】
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
【典型例题】
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为；
(1)求实数a的值；
(2)对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明．
【解析】（1）由已知，
所以，解得（舍去），
所以；
（2）由（1）得，，
则，
对任意的，，即恒成立，
令，则，不等式恒成立，
当时，，原不等式化为，
令，
则
，
所以在区间单调递增，所以，
所以，
综上所述，实数m的取值范围为；
（3），证明如下：
由已知方程可化为，
令，则，
因为，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
故
，
，
所以存在唯一，使得，
又，，
则
由单调递减可得，
所以.
【典例1-2】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
【解析】（1）
记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，，
故，，即，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；
（2）设曲线在的曲率半径为．则
法一：，
由知，，
所以 ，
故曲线在点处的曲率半径，
所以，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
法二：，，
所以，而，
所以，解方程可得，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
（3）法一：函数的图象在处的曲率半径，
故，
由题意知： 令，
则有，
所以，即，故．
因为，所以，
所以，
所以．
法二：函数的图象在处的曲率半径，
有
令，则有，
则，故 ，
因为，所以，
所以有，
令，则，即，
故，所以，即；
法三：函数的图象在处的曲率半径．
故
设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有，
所以，
要证，即证，
即证 将 ，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增， ，
故，所以．
法四：函数的图象在处的曲率半径，
有，
设．
则有，
所以当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增．
故有，
所以，
要证，即证，
即证．将，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增，故 ，
故，所以．
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【解析】（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故．
【变式1-2】（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
【解析】（1）因为，则，，
所以，
故.
（2）因为，则，，
所以，
则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
所以，则最大值为1，
所以的最大值为1．
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
【解析】（1），
则，即的最小值为；
，
则，即的最小值为.
（2）当时，，
点为直线上一动点，
则当时，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为.
（3）令，则，，
，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
的最小值
【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：
(1)若，求的取值范围；
(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.
【解析】（1）依题意，，
当时，，解得，于是，
当时，，于是，
当时，，解得，于是，
所以的取值范围是.
（2）对一切实数恒成立，
而，当且仅当，即时取等号，
则，因此，当且仅当时取等号，根据柯西不等式得，
则，解得，当且仅当时等号成立，
所以当时，取得最大值.
【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则
(1)①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【解析】（1）①；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为，则，即.
（2）设直线上任意一点坐标为，则，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
综上所述，的最小值为2.
（3）
如图，为正方体，边长为1，则对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如：，此时；
（ii）例如：，此时；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如：，此时；
（iiii）例如：，此时；
（iiiii）例如：，此时；
（iiiiii）例如：，此时；
综上所述，的最大值为2，例如：，，，.
题型三：双曲正余弦函数问题
【典例3-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；
(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．
【解析】（1）依题意有
，
令，则.
因为在R上单调递增，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以，所以当时，即时，
函数有最小值．
（2）函数在上的最小值为，
即函数有最小值．
因为
令，则，
因为最小值为，所以，解得，
所以正实数的值为．
（3）证明：令，定义域为，
则，
又，所以是奇函数，
因为是上的增函数，
所以在上单调递增，且当趋近于时，趋近于1，
所以函数在上的值域为，
直线过定点，
如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点，
即对任意实数，关于的方程总有实根．
【典例3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
【解析】（1）.
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，，
又，于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数的取值范围是.
（3），.
依题意，，
，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时，，则，，
即，而，因此，
于是，，所以.
【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.
（1）解方程：；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：________，并证明；
（3）无穷数列，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得：，即，解得：；
（2）
左边，
右边，
∴左边等于右边，即成立
（3）当时，存在，使得，
由数学归纳法证明：，证明如下：
ⅰ）当时，成立，
ⅱ）假设时，，则成立.
综上：.
∴，有，即.
当时，由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，类比余弦二倍角公式，猜测.
证明如下：
.
类比时的数学归纳法，由，易证，，…，，…，
∴若，设，则，解得：或，即，
∴，于是.
综上：存在实数使得成立.
【变式3-2】（2024·高三·江苏盐城·期末）悬链线(Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令．
(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)已知函数，若对任意的，总存在不同的，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），
所以在上单调递增，
又，所以是上的奇函数，
，即，
故，
所以，所以，
所以，
令在上单调递增，，
所以在上单调递减，
所以．
（2）任取，且，
则，
所以在上单调递增．
又是偶函数，
所以时．
所以时，，当且仅当时取“"，
，且时，，
当时，时，，
且在上连续，
所以的取值范围为，
因为对任意的，总存在不同的，使得成立，
所以
所以，解得，
即的取值范围为．
题型四：凹凸函数
【典例4-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.
(1)证明：在上为凹函数；
(2)设，且，求的最小值；
(3)设为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
【解析】（1）设，
则
，
所以在上为凹函数.
（2）令，由（1）知在上为凹函数，所以函数在上也为凹函数.
由琴生不等式，得，
即，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
（3）设，因为，所以，
要证，只需证，
由琴生不等式，只需证在上为凹函数.
设，则，
下证，即证，
即证，
化简得，
即证
又式显然成立，
所以成立，在上为凹函数，
则得证.
【典例4-2】（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.
【解析】（1）由可得其定义域为，且，
所以，
若在上为“凸函数”可得在恒成立，
当时，显然符合题意；
当时，需满足，可得；
综上可得的取值范围为；
（2）若，可得，所以，
令，则；
易知在区间上恒成立，
因此可得在上单调递减；
显然，；
根据零点存在定理可得存在使得，
因此可知当时，，即在上为单调递增；
当时，，即在上为单调递减；
又，显然在上不存在零点；
而，结合单调性可得在上存在一个零点；
综上可知，在区间上仅有1个零点.
【变式4-1】（2024·高三·广东东莞·阶段练习）记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，.
(1)若函数为上的凸函数，求a的取值范围；
(2)若函数在上有极值，求a的取值范围.
【解析】（1）由，得，，
由于函数为上的凸函数，故，
即，令，则，
当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，
故a的取值范围为；
（2）由，得，
函数在上有极值，即在上有变号零点，
即在上有解，
令，
令，则，
即在上单调递增，
且当x无限趋近于1时，无限接近于-1，，
故存在，使得，
且时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，由于，
故，，
而在时单调递减，故，
故，即a的取值范围为.
题型五：二元函数问题
【典例5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
①，都有，
②，使得.
那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值.
【解析】（1）由已知有，
则；
（2），
，
又，
，
故在上沿向量方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，
（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当时取等号.）
故，当时取等号，（或当时取等号），
又，根据对勾函数单调性易知当或2时，函数取最大值为.
【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
【解析】（1）函数，对变量求导得：，
当时，.
（2）令，
则，解得或，
于是函数在约束条件的可能极值点是，，
当时，函数的一个极值为函数，
当时，函数的一个极值为函数，
方程视为关于x的方程：，则，解得，
视为关于y的方程：，则，解得，
因此函数对应的图形是封闭的，而，
所以的最大值为.
（3）①由，，设，
则，
当且仅当时取等号，
所以.
②当时，
，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值4.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量x，y，z，当x，y在某范围D内任取一组确定的值时，若变量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作．已知二元函数．
(1)若，求的最小值．
(2)对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意得．
∵，∴，
当且仅当，即时取得最小值为9．
（2）．
∵恒成立，∴，
当时，恒成立．
当时，等价于，解得．
综上，实数a的取值范围是．
题型六：切线函数新定义
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，设函数的导函数为，若函数和的图象在处的两条切线和平行，则称为函数和的“关联切点”．
(1)证明：对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个；
(2)若两条切线和之间的距离为1，证明：（其中e为自然对数的底数）．
【解析】（1），，
则，．
设为函数和的一个“关联切点”，
则，即 ①，
则有，，．
令，，
因为，所以在上单调递增．
当时，，，
所以在上有且仅有一个零点；
当时，，，
所以在上有且仅有一个零点．
所以当a为正实数时，在上有且仅有一个零点．
即方程有且仅有一个正根．
所以对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个．
（2）易知，
又，即，
切线，即．
由题意知，化简得．
令，，
因为恒成立，所以在上单调递增，
且，，所以．
由①式知，所以．
由的单调性可得在上单调递减，
所以，
再由函数在单调递增，
即可得，得证.
【典例6-2】（2024·河南新乡·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
【解析】（1）
的定义域为，求导得，直线的斜率为2，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”.
（2）函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，
所以曲线的“双重切线”的方程为.
（3）设对应的切点为，对应的切点为，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
【变式6-1】（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【解析】（1）记，则，设切点为，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
（2）因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，
故只要没其它零点，此时，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
（3）因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
【变式6-2】（2024·高三·上海·期中）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
(1)判断点是否为函数的1度点，请说明理由；
(2)若点是的“度点”，求自然数的值；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
【解析】（1）设，由得在处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为.
点代入切线方程，，即，因为，所以，即.
则该切线过点当且仅当.
故点是函数的一个1度点.
（2）设，则，故曲线在点处的切线方程为.
该切线过点，当且仅当，即①.
设，其中.
则当时，，故在区间上严格递增.
而，因此当时，，故①恒不成立，即点是的一个0度点，也即.
（3）对任意，由得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
设点为函数的一个2度点，等价于“关于的方程恰有两个不同的实数解”.
设，等价于“函数两个不同的零点”.
若，则在R上严格递增，只有一个实数解，不符合要求；
若时，因为，解得有两个零点.
当时，由或时，得严格递增；
而当时，得严格递减.
故在时，取得极大值，在时取得极小值.
故当有两个不同的零点时，当且仅当或.
若，同理可得有两个不同的零点时，当且仅当或.
综上所述：的全体2度点构成的集合为或.
题型七：非典型新定义函数
【典例7-1】（2024·高三·广东佛山·阶段练习）若对实数，函数、满足，且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”已知，．
(1)若1是平滑函数的“平滑点”，
（ⅰ）求实数a，b的值；
（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数t的取值范围；
(2)判断是否存在，使得对任意，函数存在正的“平滑点”，并说明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由，，
得，，
因为1是平滑函数的“平滑点”，则，解得．
（ⅱ）由题意，，
过点作的切线，设切点，则切线方程：，
故题意等价于方程：有3个不同根，
设，则，
令，得；令，得或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
又因为，，，
且当时，，如图所示
所以．
（2）题意等价于：是否，使得对，有解，
消去a，得，，由，可得，
故题意等价于是否，使得时，成立，
又∵当时，，
故题意等价于当时，是否有解，
设，，则，
当时，，当时，,
∴在上单调递减，在上单调递增，故，
∴有解，即存在满足题意的a．
【典例7-2】（2024·高三·上海·期中）已知定义域为的函数．当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”．
(1)判断函数是否为函数；
(2)是否存在实数，使得函数是函数？若存在，求实数的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中，证明：若是上的严格增函数，则对任意，都是函数．
【解析】（1）当时，不是严格增函数，
故不是函数；
（2）令，
当时，由，得，
令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
所以，
故此时，得，从而严格增.
当时，，后者严格增，
当且仅当，即，
又因为当时，，
从而上，严格增，
故为所求.
（3），
令，，
若“严格增”等同于（或），
当时，恒成立，故符合要求，
当时，，解得：，
当时，，等号成立当且仅当，
故在与上分别严格增，且当时，；
当时，.故此时也是R上的严格增函数.
综上：，
下设.则对任意，.
令，则.
当时，，等号成立当且仅当.
因，故同上可知，为上的严格增函数，且.
因而，当时，从而为函数.
【变式7-1】（2024·高三·上海普陀·阶段练习）给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，
所以函数为“同定义域函数”，此时，，
由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，
对于函数，则，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
（3）①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，
可得，且，
因为为单调递增函数，且，
所以存在使得，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，
若，即时，极大值点为；
若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，
则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性．
(2)给定且，对于两个大于1的正实数，，若存在实数m满足：，，使得不等式恒成立，则称函数为区间D上的“优化分解函数”．若，函数为区间上的“优化分解函数”，求实数m的取值范围．
【解析】（1）依题意，函数的定义域为，
，①
令，解得或．当时，，
∴当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故函数在上单调递增，在和上单调递减．②
当时，恒成立，
∴在上单调递减．
当时，，
∴当或时，；当时，．
故函数在上单调递增，在和上单调递减．
综上，当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，
∴在上恒成立，
∴在区间上单调递增，∴当时，．③
当时，有，
，
得，同理．
∴由的单调性知，，
从而有，符合题意．④
当时，，
，
由的单调性知，
∴，与题意不符．
当时，同理可得，，
故由的单调性知，
得，与题意不符．
综上，实数m的取值范围为．
【过关测试】
1．（2024·高三·江西·阶段练习）记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【解析】（1）令，则，
当时，；当时，，
所以当时，函数在区间上具有性质；
当时，函数在区间上不具有性质．
（2）因为，所以，
因为在处取得极值，且为奇函数，
所以在处也取得极值，则，解得，
所以，可得，
当时，令，解得；令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，满足在处取得极值，
所以，
当时，恒成立，
所以，存在实数，使得在区间上具有性质，且的取值范围是．
（3）因为，所以，即，
令，则，
令，则，
当时，在区间上单调递增，
又因为，
所以存在，使，
因为当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为，
由，有，
所以，
因为，所以，
又因为恒成立，所以，
因为且，所以的最大值为．
2．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
(1)求的最大值；
(2)当时，均有，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
【解析】（1）
由题意得
，
当且仅当时取等号，
即的最大值为140；
（2）由题意知，
从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列，
故共有个满足条件；
（3）证明：以下面表格作为的函数关系：
x 1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 6 7 4
，
故为3阶闭环函数；
又，
故也为4阶闭环函数，
故原命题得证.
3．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在函数满足下列条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则.
(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：当时，.
【解析】（1）因为对于，，所以；
因为对于，若，则，
取，则，故；
综上，.
（2）对于，且时，
有，，
根据条件②，得，
因为根据条件①，得，则，
所以，
即，
所以
.
（3）由（2）知，
设，且，则，
因为
，所以，
所以在上为不减函数，
对于任意，则必存在正整数，使得，
所以，
由（2）知，
由（1）知，又，所以，
所以，所以时，，
因为时，，且，
所以，即.
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.
(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：
（i）当时，在单调递减;
（ii）
【解析】（1）若是区间的缩域函数，则，；
即，解得；
可得，则；
令，则；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增.
所以，解得，
下面证明，即，也即；
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此可得，所以，
综上a的取值范围为
（2）（i）当时,若是区间的缩域函数，则，
即，进一步，
当时，，即，；
由（1）可知，当时，，则单调递减；
所以在区间上单调递减，
（ii）若是区间的缩域函数，则；
故有，即；
设函数，则；
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
因为为正数且则，又，
所以在上单调递减，所以；
记，设，且，由的单调性可知，故；
记，
则，
当时，，单调递增；
故，即；
因为在上单调递减，故，即；
由，故，
所以，又因为，
故.
5．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.
(1)若函数，，，求函数和的“分界线”；
(2)已知函数满足对任意的，恒成立.
①求实数的值；
②设函数，试探究函数与是否存在“分界线” 若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
令，
取，则，
进而有，即且，
解得，
故函数和的“分界线”为.
（2）①因为对任意的，恒成立，
所以对恒成立，
令，∴，
当时，恒成立，从而在上单调递减，
又，所当时，与题意矛盾，舍去；
当时，令，解得；令，解图，
从而在上单调递增，在上单调递减，
∴.
由题意可知，即，也即，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，从而.
又，所以，此时.
②设，
则.
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴是函数的极小值点，也是最小值点，
∴.
∴函数与的图象在处有公共点.
设与存在“分界线”且方程为：.
令函数.
（i）由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
此时成立，
∴，故.
（ⅱ）下面再证明：恒成立.
设，则.
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
∴时，取最大值，则恒成立.
综上（ⅰ）和（ⅱ）知且，
故函数与存在分界线为，
此时，.
6．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“函数”．
(1)试判断，是否为“函数”，简要说明理由；
(2)若是定义在区间上的“函数”求实数的取值范围；
【解析】（1）根据题意，，可得，故是“函数”；
（2）因为为“函数”，所以存在，使，
即，
整理得在有解．
因为，所以，可得，
结合在上恒成立，可得，
综上所述，，即实数的取值范围是.
7．（2024·福建·模拟预测）对于函数，若实数满足，则称为的不动点.已知，且的不动点的集合为.以和分别表示集合中的最小元素和最大元素.
(1)若，求的元素个数及；
(2)当恰有一个元素时，的取值集合记为.
（i）求；
（ii）若，数列满足，，集合，.求证：，.
【解析】（1）当时，，其定义域为.
由得.
设，则，
当时，；当时，；
所以在单调递增；在单调递减，
注意到，所以在恰有一个零点，且，
又，所以，所以在恰有一个零点，
即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点，
所以，所以的元素个数为，
又因为，所以.
（2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意；
当时，，其定义域为，
由得.
设，，则，
设，则，
①当时，，所以在单调递增，
又，所以在恰有一个零点，
即在恰有一个不动点，符合题意；
②当，故恰有两个零点.
又因为，所以，
当时，；当时，；
当时，；
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；
注意到，所以在恰有一个零点，
且，
又时，，所以在恰有一个零点，
从而至少有两个不动点，不符合题意；
所以的取值范围为，即集合.
（ii）由（i）知，，所以，
此时，，，由（i）知，在单调递增，
所以，当时，，所以，即，
故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而，
重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，，
下面我们先证明当时，，
设，，
所以，所以在单调递减，
所以，
即当时，，
从而当时，，
从而，即，
故，即，
由于，，所以，，
故，
故时，，
所以，故.
解法二：（i）当时，，故是的一个不动点；
当时，由，得（*），
要使得恰有一个元素，即方程有唯一解，因此方程（*）无实数解，
即直线与曲线无公共点.
令，则，令，
则，
所以在单调递减，又因为，所以当时，，当时，，
所以当时，，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
令，则，，
则
，
又因为当时，，当时，，
所以曲线的大致图象如图所示：
由图可知，，所以的取值范围为，即集合.
（ii）由（i）知，，所以，
此时，，
令，则，
令，当时，，所以在单调递增，
所以当时，，所以，
所以在单调递增，所以，
故若，则，因此，若存在正整数使得，则，从而，
重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，.
下面先证明当时，.
令，则，
所以在单调递增，所以当时，，所以当时，.
所以
，
由于，所以，
故，即，
故，
故时，.
所以，故.
（ii）解法三：同解法一可得，.
下面我们先证明当时，.
设，则当时，，所以在单调递减，所以，即，
从而当时，，
于是，
从而，即，
故，即，
由于，所以，
故，
故时，.
所以.
故.
8．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．
【解析】（1）由，故，故，
；
（2）因为，等式两边同时乘b，得，
因为a，b都为整数，所以也为整数，
又，所以，所以，即得证，
假设b，，…，都小于等于a，，因为，
所以，所以，
因为，所以，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为个；
（3），将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．
对于质因数，利用（2）中结论，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
将这些数都提取出来，此时p的倍数中还有可以提取出的数，
注意到的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，将这些数提取出来；
同理，的倍数中不大于n的正整数的个数为，记为，
依此这样进行下去，
则质因数的指数，即得证．
9．（2024·高三·重庆·阶段练习）对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数.
【解析】（1）设，则恒成立，
故函数在R上单调递增，
又，故函数在R上有唯一零点，
即有唯一不动点1；
（2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，
则，即为函数的稳定点，充分性成立；
必要性：设为函数的稳定点，即，
假设，而在定义域内单调递增，
若，则，与矛盾；
若，则，与矛盾；
故必有，即，
即，故为函数的不动点，
综上， “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
（3）当时，函数在上单调递增，
由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；
令，
则，则在上单调递减，
①当时，恒成立，即在上单调递增，
当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此时有唯一不动点；
②当时，即时，，
当x趋向无穷大时，趋近于0，此时，
存在唯一，使得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，
当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，
设，则在上单调递增，且，
又在时单调递增，
故（i）当时，即，
此时，方程有一个解，即有唯一不动点；
（ii）当shi ，即，
此时，方程无解，即无不动点；
（iii）当时，即，
此时，方程有两个解，即有两个不动点；
综上，当时或时，有唯一稳定点；
当时，无稳定点；
当，有两个稳定点；
10．（2024·高三·全国·竞赛）设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.
(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；
(2)设集合和的函数以及的函数.
（i）对，构造的函数以及的函数，满足；
（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.
【解析】（1）因为，而，
对全体恒成立；
故对所有成立.
（2）（i）考虑以及两个函数，
对任意，因为，
所以.
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取，因为，所以，
所以，则，
因此存在满足条件；
如果符合题意，即，
则，
由定义得到；
所以存在唯一的的函数满足题意.
11．（2024·上海浦东新·二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
(2)已知，．证明：点是的0度点；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
【解析】（1）设，则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，
该切线过点，故，
令，则，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，也时最小值，且，
故无解，点不是函数的一个1度点
（2）设，，
则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当（*）．
设，则当时，，故在区间上严格增．
因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．
（3），
对任意，曲线在点处的切线方程为．
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若，因为，
由或时得严格增；而当时，得严格减．
故在时取得极大值，在时取得极小值．
又因为，，
所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求．
故两个不同的零点当且仅当或．
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．
综上，的全体2度点构成的集合为或．
12．（2024·高三·上海静安·期末）如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
【解析】（1）当时，，
当，，时，
，，
则，
，，
，为型函数.
（2）当时，由得，
当，，时，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
则对称轴，
所以在上的最小值为，只要，则，
因为，
所以．
（3）存在，举例1：．
理由如下：当时，符合；
当，，时，
，，
，，
故，
，即，
即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立；
举例2：；
理由如下：当时，，符合，
当，，时，
，，
，
，
即，即是型函数，
且对任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立.
13．（2024·高三·全国·专题练习）对于函数，，以及函数，．若对任意的，总有，那么称可被“替代”（通常）．
(1)试给出一个可以“替代”函数的函数；
(2)试判断是否可被直线， “替代”．
【解析】（1），根据定义，
可解得，
因而就是满足不等式的一个函数；
（2），
令，则，
当且仅当，即时等号成立，
，易知在单调递减，在单调递增，
当时，，
当时，，
，
，即
可以被直线， “替代”.
14．（2024·高三·上海静安·阶段练习）记、分别为函数，的导函数.若存在满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使得函数与在区间内存在“S点”，并说明理由.
【解析】（1）因为，，则，，
假设存在函数与存在“S点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“S点”.
（2）因为与，则与，
设“S点”为，满足，解得，
所以.
（3）因为，，
所以，，
由，，显然，
假设，得，解得，
由，得，得，
令，
设，
则，，得，又的图象在上不间断，则在上有零点，
则在上有零点，则存在，使与在区间内存在“S”点.
15．（2024·高三·上海虹口·期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3）①先证引理:对任意，关于的方程在区间上恒有实数解.这等价于
，由（2）知结论成立.
②(证控制函数的唯一性)假设存在“控制函数”，由上述引理知，
对任意，当时，
都存在使得.(*)
下证：.
若存在使得，考虑到是值域为的严格增函数，
故存在使得.由(*)知存在使得，
于是有，由的单调性知，矛盾.
故对任意都有
同理可证，对任意都有，从而.
③(证控制函数的存在性)最后验证，是的一个“控制函数”.
对任意，当时，都存在使得，
而由的单调性知，即.
综上，函数存在唯一的控制函数.
16．（2024·上海长宁·一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
【解析】（1）因为，故对任意的都有．
又因为函数是函数的“约束函数”，
则对任意，都有，
取，可得恒成立，
即对任意的成立，故是偶函数；
（2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，
设，则，
进而，
可得，，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数，
因为，恒成立，
对于恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得得，
当时，恒成立，
所以实数的取值范围为.
（3）设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对任意，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以当时，.
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以是上的严格增函数.
17．（2024·高三·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
【解析】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”.
（2）命题为真命题.
因为,
不妨令,
因为是“平缓函数”,
则,
所以,
故命题为真命题.
（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,
当时,因为函数是“平缓函数”,
则;
当时,不妨设,则,
因为是以为周期的周期函数,
则,
因为函数是“平缓函数”,
所以
,
所以对任意的,均有,
因为是以为周期的周期函数,
所以对任意的,均有.
18．（2024·高三·浙江·期中）对函数，若，使得成立，则称为关于参数的不动点.设函数.
(1)当时，求函数关于参数的不动点；
(2)若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围；
(3)当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围.
【解析】（1）当时，
令，可得，即
解得或，
所以的不动点为或，
（2）由题意可知，对，关于的方程，
即恒有两个不等实根，从而恒成立
即关于的不等式恒成立，从而恒成立
解得
（3）方法一：由题意可得方程关于的方程，
即在上恒有两个不等实根，
令，根据二次函数性质，须满足
，解得
方法二：，即在上恒有两个不等实根，
令，则直线与函数在上有两个不同的交点，
由于在上单调递减，在上单调递增
且，，结合的图象可知
19．（2024·高三·上海徐汇·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”，
(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
【解析】（1）时，，
此时不存在，使得，
故根据“2阶自伴函数”的定义可知，
不是区间上的“2阶自伴函数”.
（2）由函数为区间上的“1阶自伴函数”，
所以，且对任意，
总存在唯一的，使得成立，即成立，
则，所以，
所以，解得；
（3）由函数在上的值域为，
因为是在区间上的“2阶伴随函数”，则对任意的，总存在唯一的时，使得成立，
所以，即在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的.
又因为函数开口向上，对称轴为，
①当时，在上单调递增，所以，
解得；
②当时，在上单调递减，所以，
解得；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
综上，a的取值范围是.
20．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，.已知在处的阶帕德近似为.注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：.
【解析】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，即证时，
记，，则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立.
21．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么 这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
【解析】（1），则
所以，可得在处的切线斜率为
（2）令，
则，
下面证明：对任意恒成立,
先证明：对任意.证明如下：设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，故，故，
继续证明：对任意.
证明如下：令，则，
因此在上单调递增；所以，故
当时，对，都有，函数在上单调递增，
则，解得；
当时，对，
都有，对，都有，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则对，都有成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）（i），令，则所以在上单调递增，所以
所以当时，成立；
（ii）下面证明：当时，成立，
令，则
由前问解答过程，对任意成立，所以
所以在上单调递增，所以
所以当时，成立
令且，可得，
即，
由题意，令且，可得，因为
所以，
由①当时，，所以令且，可得
所以，
由前面解答过程得，对任意成立，
令且，可得，
所以，
又且，所以，
所以所以可得
，
即可得.
22．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
【解析】（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
，
和角公式：
故；
导数：，；
（2）构造函数，，由（1）可知，
i．当时，由可知，
故，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
ii．当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为．
（3），，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.
23．（2024·高三·山东临沂·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．

(1)求曲线在处的曲率的平方；
(2)求余弦曲线曲率的最大值；
(3)若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过理．
【解析】（1）
，，，
所以，
.
（2），，，
所以，
，
令，则，，
设，则，
显然当时，，递减，所以．最大值为1，
所以的最大值为1．
（3）在区间上有且仅有2个零点．
证明：，所以，
①当时，因为，，则，，
，在单调递增．
又，．在上有一个零点，
②设，则
当时，，单调递增，，
又，
恒成立，
在上无零点．
③当时，，，
∴在上单调递减，
又，．
在上必存在一个零点．
综上，在区间上有且仅有2个零点．
24．（2024·全国·二模）曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为.
(1)求证：抛物线（）在处弯曲程度最大；
(2)已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，，求证：.
【解析】（1）由题意，，，则，
又，故当最小时最大，
此时，即抛物线（）在处弯曲程度最大.
（2）由题意，，，，.
若，曲率为0，则，即，分别化简可得，.
令，则令有.
当时，，单调递增，且；当时，，单调递减，且.
又，故有两解，设为，，又，故.
由可设，，故，，化简可得，则.
要证：，
即证.
令，则，
故在上单调递增，故，即得证.
25．（2024·高三·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
(1)求曲线在点处的曲率的值；
(2)求正弦曲线曲率的最大值．
【解析】（1）由得，，
故，
所以曲线在点处的曲率；
（2）由题意得，
故，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，
则，即的最大值为1，
由题意知曲线在点处的曲率，即，
故的最大值为1.
26．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
27．（2024·高三·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
【解析】（1）设，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得，
由①②得，
所以
，
即.
28．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【解析】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
29．（2024·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．
【解析】（1）
取，则，因为，
故函数不是“增函数”；
（2）因为函数是“增函数”，故任意的，，
有恒成立，
即恒成立 ，
所以恒成立，
又，，故，则，
则，即；
（3）记，
根据题意，得，
可得方程的一个解，
令，
则，令，
则， 故在上是严格增函数，
又因为，故在恒成立，故，
故在上是严格增函数，所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，
故成立；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即 ，
所以在上是严格增函数，
因为，则,故，即得证.
30．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
【解析】（1）函数,
,
当时， ，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故有极小值，无极大值.
（2），
当时，，在单调递减；
当时，，,，
,且为增函数，
时，，在单调递增；
时，，在单调递减；
综上得：当时，在单调递减；
当时，在单调递增,在单调递减；
（3）当时，函数是“恒切函数”，
且,
设函数与直线切点,则,
故，即，，，
，所以是方程的根，
设，,
,
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且,
，，
是方程的根，
所以或,
或
故.
31．（2024·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题：
(1)求函数的“拐点”A的坐标；
(2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值.
【解析】（1）∵，，∴令，
得.
有，∴“拐点”A为.
（2）证明：设，是图像上任意一点，则.
，是关于“拐点”的对称点为.
把点坐标代入得左边，
右边，∴左边＝右边.
∴点在的图像上.
∴关于“拐点”A对称.
由对称性可得
.
32．（2024·高三·全国·专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若，请你根据这一发现.
（1）求函数的对称中心；
（2）计算.
【解析】（1），
令，即，
解得，
，
由题中给出的结论，可知函数的对称中心为.
（2）由（1）知函数的对称中心为，
所以，
即，
故，
所以.
33．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数拐点.已知.
（1）求证：函数的拐点在直线上；
（2）时，讨论的极值点的个数.
【解析】（1），
，
，
，．
而．
点，在直线上．
（2）令，得，
作出函数，与函数的草图如下所示：
由图可知，
当或时，无极值点；
当时，有一个极值点；
当或时，有两个极值点．
34．（2024·高三·全国·阶段练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
（1）当时，求的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，
当时，
因为，
∴，
令，解得，
则对称中心的纵坐标为，故对称中心为，
所以，
所以，，…
则.
（2）∵，，
即，
又，
∴在上恒成立.
令.
∴.
∵，
令，得或（舍去）.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
∴.
∴，
即的取值范围为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑