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专题07 三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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题型01 重心 1
题型02 外心 2
题型03 内心 3
题型04 垂心 4
题型05 奔驰定理 6
题型01 重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在中，为的重心，为边中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
3．（2024高三·全国·专题练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
三、填空题
5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则 ．
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的长.
(2)求的面积.
题型02 外心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的外心 1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（ ）
A． B．50 C．25 D．
3．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
4．（24-25高三上·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知为的外心，，则（ ）
A．与不共线 B．与垂直
C． D．
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ．
题型03 内心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的内心 1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3.内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
3．（2024高三·全国·专题练习）若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ．
题型04 垂心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（ ）
A． B．－1 C． D．
2．（23-24高三下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．（2025高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
4．（23-24高三下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）在等腰中，已知，若分别为的垂心 外心 重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（ ）
A．存在点使得点.都在以为圆心的圆上
B．存在点使得点是的垂心
C．存在点使得点是的重心
D．点到直线的最短距离为4
三、填空题
7．（23-24高三下·北京东城·阶段练习）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题：
①若，则点是三角形的垂心；
②若向量，则点的轨迹通过的重心；
③若，则点是三角形的内心；
④若，则点是三角形的内心．
其中正确的命题是： 填写正确结论的编号
四、解答题
8．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
题型05 奔驰定理
【解题规律·提分快招】
一、奔驰定理 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 二、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
【典例训练】
一、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
2．（23-24高三下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（ ）

A．若，则
B．若，则
C．若为的内心，且，则
D．若为的垂心，则
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
一、单选题
1．（23-24高三下·河北张家口·期末）已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．（2024高三·全国·专题练习）已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，点是右支上一点，点是的重心，若，则点到的两条渐近线的距离之和为（ ）
A． B． C． D．4
6．（23-24高三下·浙江·期中）设O为的内心，，，，则 （ ）.
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影．
①点P到的三个顶点的距离相等；
②点P到的三边的距离相等且O点在内；
③，，．
当点P分别满足以上条件时，点O一定是的（ ）
A．外心、垂心、内心； B．垂心、内心、外心；
C．内心、外心、垂心； D．外心、内心、垂心．
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若O是的外心，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
12．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为，为的重心，，则（ ）
A． B．
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
13．（23-24高三下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若向量，则的外心为中点
B．若点G为的重心，则
C．若点O为所在平面内一点，且，则
D．若点I为的内心，则
14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则（ ）
A． B．当时，此时
C．的最大值为18 D．的最小值为15
15．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
三、填空题
16．（24-25高三上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个）
17．（2024高三·全国·专题练习）在锐角中，内角的对边分别为，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为 .
18．（2024高三·全国·专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有 .（填序号）

四、解答题
19．（23-24高三下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
20．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若，求的值；
(3)若点G是的重心，求线段GM的最小值.
21．（23-24高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．
(1)若F为的重心，求证：为定值；
(2)若F为的垂心，求证：为定值．
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题型01 重心 1
题型02 外心 4
题型03 内心 9
题型04 垂心 14
题型05 奔驰定理 21
题型01 重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在中，为的重心，为边中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】在中，为的重心，为边中点，
对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为在中，为边中点，
则，
所以，故C正确；
对于D，若成立，
则，即，则，
又为边中点，故，这不一定成立，故D错误.
故选：C．
2．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【详解】设的中点为点，所以，
则，
若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心，
若四点不共线时，，且，连结，交于点，
如图，
，即点是三角形的重心，即经过的重心，
综上可知，经过的重心.
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案.
【详解】因为G是的重心，所以有．
又，所以．
设，则有．由余弦定理，可得，所以.
故选：D
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
三、填空题
5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质可得，平方后即可求得答案.
【详解】由于点是的重心，故，
故，
即，
故
，
故答案为：
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的长.
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2)18.
【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合数量积的运算律求出a 的长.
（2）由（1）的信息，利用三角形面积公式，结合三角形重心的性质计算即得.
【详解】（1）在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以.
（2）由（1）得，又O是重心，
所以的面积.
题型02 外心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的外心 1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ；
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】
由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，
则，故，
又，设，
则
，
当且仅当时等号成立，
由可知，，
故的最大值为．
故选：A．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（ ）
A． B．50 C．25 D．
【答案】B
【分析】由题意设，由余弦定理结合可求出，从而可求出的值，求得外接圆半径，由向量的线性运算、数量积运算化简求解即可.
【详解】由已知，令，所以是等腰三角形．
由余弦定理，得．
因为，所以，解得（负值已舍去），
所以．
设的外接圆半径为，
因为，
所以，所以．
由为等腰三角形知，
所以，即．
所以．
故选：B．
3．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.
4．（24-25高三上·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设外接圆半径为，根据向量数量积的运算律结合重心的性质与二倍角的余弦公式得，再利用导数求出极大值点即可.
【详解】设外接圆半径为，
则根据重心向量公式有，
则
，
令，此时，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
故当最大时，的外接圆半径为.
故选；D
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知为的外心，，则（ ）
A．与不共线 B．与垂直
C． D．
【答案】BC
【分析】利用向量的线性运算可得，可判断A；由为的外心，可得与垂直；进而可得与垂直，可判断B；利用已知可求得，进而可求得可判断C；由已知可得，两边平方可求得.
【详解】选项A：由得，则与共线，故A错误．
选项B：因为为的外心，所以，所以与垂直，
(在中，取的中点，连接，则，所以，

所以)，因为与共线，所以与垂直，故B正确．
选项C：设，则，由得，
所以，故C正确．
选项D：设的外接圆半径为1，由得，
所以，两边同时平方得，
即，所以，故D错误．
故选：BC.
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ．
【答案】
【分析】设的中点为，根据三角形外心性质，得，由重心性质得，再根据数量积运算即可求解.
【详解】设的中点为，连接，
由点G为的外心，可得，
由点O为重心，可得，
故
.

故答案为：.
题型03 内心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的内心 1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3.内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的内心和重心重合，判断为等边三角形，得即可.
【详解】如图所示，为椭圆的顶点，
且的内心和重心重合，
所以为等边三角形，
又因为，
所以，
即.
故选：C.
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D
3．（2024高三·全国·专题练习）若满足，则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】延长交于，延长交于，延长交于，利用共线，得出，得是的平分线，同理都是的内角平分线，从而可得为的内心.
【详解】延长交于，延长交于，延长交于，
，
又因为，所以，
而共线，则存在实数，使得，
所以.
因为不共线，所以，，
所以，所以是的平分线，同理都是的内角平分线，
所以为的内心.
故选：B.
4．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， 由此确定的位置.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以 ，
．
所以，，
又，
所以 ， ，
所以 在 的平分线上， 在 的平分线上，
所以点 是 的内心．
故选：C．
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由椭圆的性质结合题意得到，再由椭圆的第二定义得到，解出，然后由等面积法得到，最后利用解出即可.
【详解】设，设圆与轴相切于点M，N，T，
所以，
所以，
即，又．
由椭圆的第二定义可知，
所以，所以，
由等面积法得到，
所以．
因为，所以，所以，即．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用椭圆的第二定义得到后再结合椭圆的性质和求出.
6．（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】不妨设，且的内切圆半径为，由，取得，再结合椭圆的定义即可求解．
【详解】由椭圆，可得，则，所以,
如图所示，不妨设，且的内切圆半径为，
可得，
又由，
可得，即，
又由，
所以．
故答案为：

题型04 垂心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】D
【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解.
【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形，
如图所示：，，则，
在直角三角形中，，即.
设，
则，
，
所以，所以.
故选：D.
2．（23-24高三下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，所以证明平面，得到，再由线面垂直得到，即可得到平面，从而得到，同理可证，即可得解.
【详解】如图，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点.
因为，，，平面，
所以平面，平面，所以.
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即，
同理可证，所以是的垂心.
故选：D.
3．（2025高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】计算，可得，结合三角形的性质得出答案.
【详解】，
则，即，
故，即点P的轨迹经过的垂心．
故选：C.
4．（23-24高三下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
【答案】A
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.
【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心；
取的中点分别为，连接，
则有，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
即N为的重心；
由，即，同理，
所以为垂线的交点，故为的垂心.
故选：A
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）在等腰中，已知，若分别为的垂心 外心 重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形各心的性质结合向量的加减法则即可求得.
【详解】A选项：为垂心，为高线的交点，则，选项A正确．
B选项：，选项B正确；
C选项：，选项C正确；
D选项：，选项D错误；
故选：ABC
6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（ ）
A．存在点使得点.都在以为圆心的圆上
B．存在点使得点是的垂心
C．存在点使得点是的重心
D．点到直线的最短距离为4
【答案】BCD
【分析】根据圆的性质，以及抛物线的对称性，即可判断A，根据光学性质，利用点的坐标表示点的坐标，再根据垂心，重心，即可判断BC，利用坐标表示点到直线的距离，即可判断D.
【详解】A.由题意可知，三点共线，根据对称性可知，若存在点使得点.都在以为圆心的圆上，则为通径，则,，则以点为圆心的圆的半径为2，但，所以不存在点使得点.都在以为圆心的圆上，故A错误；
B.由，则，，则直线，与抛物线方程联立，得，
则，所以，则，即，若存在点使得点是的垂心，则，，
，，则，①
，，则，②，且，③，联立①③，得，
联立①②，得，则，得成立，故B正确；
C.若存在点使得点是的重心，则，，
得，，即，故C正确；
D.点到直线的最短距离为，当时，即时等号成立，点到直线的最短距离为4，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合光学性质，利用点的坐标表示点的坐标.
三、填空题
7．（23-24高三下·北京东城·阶段练习）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题：
①若，则点是三角形的垂心；
②若向量，则点的轨迹通过的重心；
③若，则点是三角形的内心；
④若，则点是三角形的内心．
其中正确的命题是： 填写正确结论的编号
【答案】①②③
【分析】根据向量运算，以及三角形垂心、重心、内心、外心等知识对个命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①由得，，即，
同理可得，，则点是的垂心，①正确；
②在中，以、为邻边作平行四边形，则，
从而，进而一定在的边的中线上，
由此得到点的轨迹一定过的重心，②正确；

③时，
向量分别表示在边和上取单位向量和，
它们的差是向量，当，即，
而三角形是等腰三角形，
所以点在的平分线上，同理可得点在的平分线上，
故为的内心，③正确；

④时，
是以、为平行四边形的一条对角线，
而是该平行四边形的另一条对角线，时，
表示这个平行四边形是菱形，即，同理得，
故为的外心，④错误．
故答案为：①②③
四、解答题
8．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
【答案】(1)
(2)选①，不合要求，选②③，面积为
【分析】（1）由余弦定理得到，得到，求出；
（2）选①，为的外心，，由正弦定理得到，与矛盾，舍去；
选②，计算出，故，，根据，得到，利用正切和角公式得到，从而求出，所以，为等边三角形，求出的面积；
选③，根据和三角形面积公式得到，结合，求出，求出三角形面积.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
又因为，，
所以，整理得．
在中，由余弦定理得，所以，
即，
又因为，所以．
（2）选①，为的外心，；
设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得
，即，
因为为外心，所以，与矛盾，故不能选①．
选②，为的垂心，；
因为为的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因为，所以，
即，
又因为在中，，
所以，因此，
故，为方程两根，
即，
因为，，所以，
所以为等边三角形，
所以．
选③，为的内心，，
因为为的内心，所以，
由，得，
因为，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，又因为，所以，
所以．
题型05 奔驰定理
【解题规律·提分快招】
一、奔驰定理 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 二、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
【典例训练】
一、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【答案】AD
【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项；
由外心可知，即可判断C选项；
由内心可知，满足勾股定理，D选项正确.
【详解】对于A，由奔驰定理可得，，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，，
因为，所以，即共线，故B错误．
对于C，当为的外心时，，
所以，
即，故C错误．
对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选：AD.
2．（23-24高三下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的logo非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（ ）

A．若，则
B．若，则
C．若为的内心，且，则
D．若为的垂心，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由奔驰定理即可直接判断；
对于B，结合平面向量的线性运算可得，进而由奔驰定理即可直接判断；
对于C，由奔驰定理可得，设的内切圆半径为，结合面积公式可得，进而结合勾股定理即可求解；
对于D，结合为的垂心，可得，，，进而根据平面向量数量积的定义可得，进而求解即可.
【详解】对于A，由奔驰定理可得，故A错误；
对于B，由，即，
整理得，由奔驰定理可得，故B正确；
对于C，由，可得，
设的内切圆半径为，
则，，，
所以，即,
所以，即，故C正确；
对于D，，，，
因为为的垂心，
所以，，，
又，
，
,
所以，即，
同理可得，
所以，
所以，
由奔驰定理可知D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于理解题意，由得到，进而结合平面向量的数量积及线性运算求解即可.
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【分析】A选项，，作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为的重心；B选项，设内切圆半径为，则，，，代入后得到；C选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，则，，，结合三角函数得到，，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值.
【详解】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用为的内心，再结合奔驰定理可得，再由已知条件转化可得，利用平面向量基本定理可知，从而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.
【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，
又，
则，所以，
两式相加可得，化简可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到，再结合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.
一、单选题
1．（23-24高三下·河北张家口·期末）已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理即可得解.
【详解】连接，由平面，平面，得，又，
平面，则平面，又平面，
因此，同理，所以为的垂心.
故选：D
2．（2024高三·全国·专题练习）已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】得为斜边的中点，过点作，垂足为，在上的投影向量为，再由、共线可得答案.
【详解】因为，所以，所以是直角三角形．
又为的外心，所以为斜边的中点，所以．
如图，过点作，垂足为，
故在上的投影向量为，
又，
，
故，因此在上的投影向量为.
故选：D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.
【详解】如图：
取中点，则，，
，
∵三点共线，∴，即，
∴，
当且仅当时，取等号；
故选：B
4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【答案】C
【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解.
【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高，
由三垂线定理，得，，，
则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角，
，
，，，
，
是的内心．
故选：C．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，点是右支上一点，点是的重心，若，则点到的两条渐近线的距离之和为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由重心性质结合可得的横坐标，即可得的横坐标，从而可得的坐标，再借助点到直线的距离公式计算即可得解.
【详解】如图，由已知可得点的坐标为，设点，
因为点是的重心，由可得点的横坐标，则，
将代入双曲线方程可得，解得，
则点的坐标为或，
由双曲线的对称性，可知点的两个坐标到渐近线的距离之和相同，
取点，由双曲线方程可得渐近线方程为，
则点到双曲线两条渐近线的距离之和为．
故选：B.
6．（23-24高三下·浙江·期中）设O为的内心，，，，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.
【详解】取的中点，连，
因为，，所以，，
所以的内心在线段上，为内切圆的半径，
因为，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
又，所以，
又已知，所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.
7．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线． ，
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上，
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选：B．
8．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影．
①点P到的三个顶点的距离相等；
②点P到的三边的距离相等且O点在内；
③，，．
当点P分别满足以上条件时，点O一定是的（ ）
A．外心、垂心、内心； B．垂心、内心、外心；
C．内心、外心、垂心； D．外心、内心、垂心．
【答案】D
【分析】对于①，利用推出，即得点是的外心；对于②，由通过证明线面垂直推得，，再证，推得点在的平分线上，同理即得点是的内心；对于③，利用线线垂直证得线面垂直，继而又得线线垂直，再证线面垂直，得线线垂直，即得垂心.
【详解】
当点P满足条件①时，如图1，平面，因是平面内的直线，故，
又，则，故得，即点是的外心；
当点P满足条件②时，如图2，因平面，平面，则，
因平面，故得平面，因平面，则，
同理可得，因，可得，即点在的平分线上，
同理，点也在的平分线上,故点是的内心；

当点P满足条件③时，如图3，因，，平面，故平面，
因平面，则，因平面，平面，则，
又平面，故平面，又平面，则，
同理得，即点O一定是的垂心.
故选：D.
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为，，，
所以，
因为O为的内心，设，由题意，
则，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有，
所以，
即，
所以，
．
故选：A．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若O是的外心，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数量积的定义将向量全部转化为三角形边角的关系，结合基本不等式求解.
【详解】设
由，
可得,
化简得，
若O是的外心，O是三边中垂线的交点，得
代入上式得，
所以，
根据题意知，是三角形外接圆的半径，
可得
所以
因为所以，
所以,当且仅当时取等号，
所以当且仅当时取最值.
故选：B.
11．（24-25高三上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可．
【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，
则直线方程为，
且的重心为，即，
设，关于直线的对称为，
则，解得，则，
易知关于轴的对称点为，
根据光线反射原理知四点共线，
所以直线的方程为，，即，
又直线过，
所以，解得或（舍去），
所以，,,
所以.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值．
二、多选题
12．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为，为的重心，，则（ ）
A． B．
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD．
【详解】
对于A，是的重心，延长交于点，则是中点，
，A错误；
对于B，由，得，所以
，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，
，，C正确；
对于D，由，得
，
所以
，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D正确.
故选：BCD.
13．（23-24高三下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若向量，则的外心为中点
B．若点G为的重心，则
C．若点O为所在平面内一点，且，则
D．若点I为的内心，则
【答案】ABD
【分析】利用向量坐标运算及模的坐标表示计算判断A；利用三角形重心定理计算判断B；利用数量积运算律计算判断C；利用三角形内角平分线性质推理计算判断D作答.
【详解】对于A，，，，判断出是等腰直角三角形，所以A正确；
对于B，点G为的重心，如图，延长交BC于E，则E是BC中点，则，因此，，B正确；
对于C，由得：，即，
点O在边BC的高所在直线上，显然，C不正确；
对于D，I为的内心，如图，延长交BC于D，显然分别平分，则有，，，，
，
同理，，
所以，D正确.

故选：ABD.
【点睛】方法点睛：用平面向量求解平面几何问题的解答策略：
1、首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量进行表示,然后选择适当的基底向量,将相关的向量表示为基底向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题；
2、再将向量的运算的结果还原为几何关系,应用向量相关的知识,可巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质,同时也应熟记应用三角形四心的几何特征及应用向量的运算公式,若不含图形,可直接运用相应的运算法则求解；
3、若含有图形,可将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线的性质等,把未知向量用已知向量进行表示.
14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则（ ）
A． B．当时，此时
C．的最大值为18 D．的最小值为15
【答案】BCD
【分析】对于A：设，，根据三点共线结合向量分析判断；对于B：根据题意求，即可得结果；对于CD：设，利用正弦定理可得，，代入整理可得，即可判断最值.
【详解】连接AO并延长，交BC于D，则D是BC的中点，
设，，，，可知，
则，，
可得，，
因为P，O，Q三点共线，则，且，
可得，则，即，
可得，即，
所以，故A错误；
对于选项B：当时，可知为中位线，
则，所以，故B正确；
对于选项CD：设，则．
在中，，，，
由正弦定理得：，
即，可得，
在中，，
由正弦定理得：，
即，可得
则，
因为，则，可得，
当时，取到最大值18，故C正确；
当或时，取到最小值15，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于图形中的范围问题，常常利用正、余弦定理进行边角转化，结合三角函数相关知识求最值.
15．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
【答案】ACD
【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求.
【详解】对于A选项，因为，
由“奔驰定理”可知，A对；
对于B选项，由 ，，可知，
又，所以，
由可得，，，
所以，B错；
对于C选项，若为的内心，，则，
又（为内切圆半径），
所以，，故，C对；
对D，若O为的垂心，则，，
又，
同理，
又，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，
故，D对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.
三、填空题
16．（24-25高三上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个）
【答案】垂心
【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定与性质推理判断.
【详解】连接，由，，平面，
得平面，而平面，则，又平面，
则，又平面，因此平面，
而平面，则，同理，
所以点是的垂心.
故答案为：垂心
17．（2024高三·全国·专题练习）在锐角中，内角的对边分别为，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为 .
【答案】
【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值.
【详解】由题意可知，
同理可得，
，
，
，由正弦定理,
，
.
故答案为：
18．（2024高三·全国·专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有 .（填序号）

【答案】①②④⑤
【分析】根据已知可推得，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，根据“奔驰定理”得出，进而结合已知即可得出②；根据平面向量基本定理表示出，根据“奔驰定理”化简，结合，不共线，即可推得③错误；根据已知得出，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围.
【详解】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点，
所以，，，
同理可得，，
所以，
又因为，
所以，故①正确；
对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，
则，，，
因为，则，
即.
又因为，
所以，所以点P是的内心，故②正确；
对于③：因为，
所以，，，
所以
，
化简得，
又因为，不共线，
所以，即，
所以，，故③错误；
对于④：因为P是的外心，，
所以，，.
因为，
则，
化简得 .
由题意知m，n不同时为正.记，，
则，
因为，
所以，即，
所以，故④正确；
对于⑤：∵O为的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，，
∴.
∵(当且仅当时取等号)，
∴，∴，
∴(当且仅当时取等号)，
∴的最大值为，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
四、解答题
19．（23-24高三下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得；
（3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
（2）因为，，，
即，解得，
设边上的角平分线长为，
则，即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
（3）延长交于，延长交于，
设，，所以，
在中，
在中，，所以，
在中，同理可得，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
20．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若，求的值；
(3)若点G是的重心，求线段GM的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），结合面积公式和余弦定理，化简得到，求出，；
（2）由三点共线得到，，从而得到方程组，求出，得到答案；
（3）法一：由重心定义得到，进而求出，根据三角形面积公式得到， 两边平方，结合基本不等式求出；
法二：由（2）得，故，M为CD中点，，由三角形面积公式得到，在中，有余弦定理和基本不等式得到，故.
【详解】（1）因为，
所以.
所以，
所以，故，
又，所以，
所以；
（2）由题意，，
由D、M、C三点共线得，即，
故，
所以，
同理由B、M、E三点共线可得，
∴，
∴
（3）法一；由重心定义得，
∴，
∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
∴，
当且仅当时取等号.
∴线段GM的最小值为；
法二：由（2）得，，
故，故M为CD中点，
又重心G为CD三等分点，故，
∵，
∴在中，，
当且仅当时取等号，故，
∴.
即线段GM的最小值为.
21．（23-24高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．
(1)若F为的重心，求证：为定值；
(2)若F为的垂心，求证：为定值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，，的表达式，再利用三角形重心的性质即可求得为定值0；．
（2）利用，，的表达式，结合三角形垂心的性质即可求得为定值．
【详解】（1）抛物线：的焦点F的坐标为，
因为F为的重心，所以，①．
因为②，同理可得③，④，
由①②③④可得，
故．
（2）若F为的垂心，则，，，
所以，，，
即，⑤
，⑥
，⑦．
由⑤⑥可得，
进一步化简可得，⑧．
由⑦可得，⑨
由⑧⑨可得，⑩
由⑧⑩可得，
结合⑨，，
可得，
即，
则，
即，
故（定值）．
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