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专题11 立体几何中的截面与轨迹问题
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题型01 截面形状问题 1
题型02 截面面积、周长问题 7
题型03 截面切割几何体体积问题 12
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题 15
题型05 距离、角度相关的轨迹问题 23
题型06 翻折相关的轨迹问题 31
题型01 截面形状问题
【解题规律·提分快招】
一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 四、正方体中的基本截面类型 五、截面是圆锥曲线的原理剖析 令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②. 当时,截口曲线为椭圆; (2)当时,截口曲线为抛物线; (3)当时,截口曲线为双曲线. 图②我们再从几何角度来证明. (1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆. (2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线. (3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】画出图形，然后判断即可.
【详解】在正方体中，取，，
连接，，，，，，如下图所示：
因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，，
所以，且，则四边形为平行四边形，则，，
又因为，且，所以四边形为平行四边形，
则，，
所以，，所以为平行四边形，
则正方体中过点，，的截面形状为四边形.
故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习）过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（　　）
A．三角形或五边形
B．三角形或六边形
C．六边形
D．三角形
【答案】B
【详解】
解析：如图，连接BD交EF于点G，设上、下底面中心分别为O1，O，设过点D1与EF的截面与底面的所成角为α，易得tan α＝tan ∠D1GD＝＜1，故α＜45°；设过A1，C1与EF的截面与底面的所成角为β，易得tan β＝tan ∠O1GO＝2＞1，故α＞45°，故所求截面应与A1D1，C1D1都相交（不过其端点），为六边形，点H在BB1上，且BG＝BH，当截面为EFH时也满足题意，此时为三角形．
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料的棱长为3米，点在棱上，且，过点把木料据开且锯面与平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？

【答案】锯痕的形状是五边形或四边形
【分析】先利用线面平行的判定定理推得锯面为过在正方体上的截面，再分类讨论与上底面的交点位置，从而得解.
【详解】取，且，连接，
则，所以，
此时，由线面平行的判定定理可知，过的锯面就是满足题意的锯面；
当锯面分别与交于时，

延长交延长线于，连接交于，
延长交延长线于，连接交于,
由公理2可知直线与的交点一定在直线上，
直线与的交点一定在直线上，
此时锯痕为五边形；
当锯面与（含端点，不含端点）交于或与（含端点，不含端点）交于时，

由上分析可知此时锯痕为四边形(或四边形)；
综上，锯痕的形状是五边形或四边形.
题型02 截面面积、周长问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得四边形为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形为矩形，即可求解.
【详解】取的中点，连接,
则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面，
,,且平面,平面,则,
故四边形为矩形，
故四边形的面积为，
故选：B
2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可.
【详解】如图取的中点，的中点，连接、、，
则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、，
则，又且，所以四边形为平行四边形，
所以，则，
又且，所以为平行四边形，所以，则，
所以四点共面；
取、靠近、的三等分点、，连接、、，
同理可证，，，所以，
所以四点共面；
所以五点共面；
又，，，
所以截面周长为.
故选：B
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线面垂直作出截面，然后利用余弦定理、三角形的面积公式等知识求得截面面积.
【详解】依题意，在正四棱锥中，，
且，
所以，所以三角形是等边三角形，
设是的中点，则，所以，且，
设平面与分别相交于点，

则由得，
，
所以，故，
所以，
所以，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以，
所以结合正四棱锥对称性得，
所以截面面积为.
故选：A.
4．（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.
【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，
（1） ，（2） ，（3）
（1），（2），（3），
所以质点从到的最短距离为，
此时质点从点出发，经过上靠近的三等分点，再到达点，
面截正四棱柱所得截面为五边形，如图，
由，，
所以沿质点的最短运动路线截正四棱柱，

则所得截面的面积为：
．
故选：B
二、填空题
5．（24-25高三上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 .
【答案】
【分析】结合平面性质，根据已知条件画出过点的截面，求周长即可.
【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM，
取靠近点的三等分点N，连接FN并延长交的延长线于点Q，
连接QE交于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点的截面，
由G为棱靠近点C的三等分点，可得，即，
由，知点M为靠近点C的三等分点，即，
由勾股定理得，，同理得，
则截面图形的周长为.
故答案为：.
题型03 截面切割几何体体积问题
【典例训练】
一、填空题
1．（24-25高三·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ．
【答案】
【分析】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到，即可求出上下两部分的面积之比.
【详解】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L，
被截面分截后，上面小圆锥的体积为，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l，
因为 ，即有，
又因为，所以，即有，且，
而，
故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为.
故答案为：
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .

【答案】
【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为的圆柱和高为的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果.
【详解】作出几何体的轴截面如下图所示：
则所求几何体是由一个底面直径为，高为的圆柱与一个底面直径为，高为的圆柱的一半构成，
则所求几何体体积.
故答案为：.

3．（23-24高三下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱中，，E是上一点，于点F，设，，则点E绕旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 .
【答案】
【分析】空1：由已知，点绕旋转一周所得圆的面积即为以为半径的圆面积；空2：空空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积，利用祖暅原理可以转化为一个底面半径和高分别为和2的圆柱体积加一个底面半径和高也分别为和2的圆锥的体积.
【详解】连接，

因为，则，因为正四棱柱，
则，因为，，则，
，
即点绕旋转一周所得圆的半径为，
点绕旋转一周所得圆的面积为.
空间四边形绕旋转一周形成空间几何体，
由空1知该几何体不同高度下截面面积为，
根据祖暅原理“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，
如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，
将空间四边形绕旋转一周，两平行平面即平面和平面的距离始终为2，
则可以转化为一个底面半径为1，高为的圆柱体积加一个底面半径为1,高为的圆锥的体积，
理由：截面积分为两部分，其中不变的截面积对应着底面半径为1的圆，
其不随值的变化而变化，因为，则旋转后该部分几何体为半径为1高为2的圆柱，
另一部分截面，该截面为圆，半径为，显然半径和高度呈现正比例函数关系，
则旋转后形成的为一个圆锥，且该圆锥的高和半径比为，因为，
则该部分几何体为半径为1高为2的圆锥，
所以空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为：
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是根据第一问的结果和祖暅原理将形成几何体转化为一个圆锥加上一个圆锥.
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①平行有关的轨迹问题的解题策略 1.线面平行转化为面面平行得轨迹; 2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. ②垂直有关的轨迹问题的解题策略 1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2.利用空间坐标运算求轨迹; 3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】取的中点，取的中点，连接，证明平面，再根据面面平行的性质可得的轨迹为线段，即可得解.
【详解】如图，
取的中点，取的中点，连接，则，
又面，面，所以平面，
又为的中点，所以，
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因为是侧面上一点，且平面，
所以的轨迹为线段，
，
所以点的轨迹的长度为.
故选：B.
2．（23-24高三下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹.
【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，
则∥，，且∥，，
可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因为P点是正方形内的动点，平面，
所以点在线段上，
由题意可知：，可得，
所以P点的轨迹长度为.
故选：C.
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案.
【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部，
又平面，故点在过且平行于平面的平面内，
连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，，
由是长方体，可知对角面为矩形，且，
因为，，
所以且，四边形为平行四边形，可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为是平面内的相交直线，
故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面，
所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段.
因为矩形中，，，可知，
所以，可得中，，
所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3.
故选：A
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
【答案】D
【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长.
【详解】分别取的中点，连接，
则∥∥，∴四点共面
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段；
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段；
所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形.
因为正方体的棱长为2，所以.
所以曲线为等腰梯形，且周长为.
故选：D.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出，进而利用正四面体的性质求出点M的轨迹，取CD的中点E，连接AE，BE，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的判定定理及性质得平面ABE，再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求解圆的周长.
【详解】设点A在底面BCD上的投影为H，连接AH，CH，
则平面BCD，所以为直线AC与平面BCD所成的角，
则，
因为，所以，所以三棱锥为正四面体，
因为动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，
所以点M的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以BC为直径的球面所得的圆，
由正四面体的性质可得，如图所示，取CD的中点E，连接AE，BE，
则，，AB、平面ABE，
故平面ABE，取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则，
由平面ABE，故平面ABE，，
又，即F为以BC为直径的球的球心，则该球半径为2，
则点M的轨迹所形成的圆的半径为，
则其轨迹长为.
故选：B．
6．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】分别取的中点，连接，先证明六点共面，再证明平面，从而可得点的轨迹即为六边形，即可得解.
【详解】如图所示，分别取的中点，
连接，
因为且，
所以四边形时平行四边形，
所以，
因为分别时的中点，
所以，
所以，同理可得，
所以六点共面，且六边形为边长为的正六边形，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
因为分别为的中点，所以，
所以平面，
又平面，所以，
同理可得，
又平面，
所以平面，
因为，
所以点的轨迹即为六边形，其轨迹长度为.
故选：D.
7．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解.
【详解】
如图所示，过点作，过点作，
因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为直线平面，
所以，
因为，，
所以，
又因为，
所以，
因为点在侧面内，
所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示：
点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧，
显然，，所以，
所以.
故选：C.
题型05 距离、角度相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①距离有关的轨迹问题的解题策略 1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2.利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【分析】建系，利用空间向量结合线线夹角分析运算.
【详解】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则，设，
可得，，
因为直线与的所成角为，
则，化简可得，
所以点Q的轨迹为抛物线.
故选：C.

2．（24-25高三上·天津·期中）在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取正方形的中心，利用线面垂直及线面角可求得，进而确定轨迹并求出面积.
【详解】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接，
由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角，
则，而，于是，，
因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为.
故选：A

3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解.
【详解】
设，因为，所以由棱柱的性质可得，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
点P在四边形内（含边界）运动，当时，
，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得，
所以该三棱柱的表面积为.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到平面，，故，在平面内建立平面直角坐标系，设，表达出，根据得到方程，求出点M的轨迹是半径为的圆，求出轨迹长度.
【详解】设E为，的交点，所以．
又平面，平面，所以．
又，平面，所以平面．
因为点平面，故平面，
所以，所以，
因为正方体的棱长为4，所以，即，
在平面内建立平面直角坐标系，如图，
则．
设，则，
，
所以．
又，故，即，
整理得，即，
故点M的轨迹是半径为的圆，
所以点M的轨迹长度为．
故选：C．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，，得到，把BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角，在正方体中，证得平面，得到，设与平面的交点为G，连接PG，结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，根据圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接，，则N为的中点，又M为的中点，所以，
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角，
在正方体中，可得，
因为平面，平面，可得，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，且平面，所以平面，则．
设与平面的交点为G，连接PG，所以，
在直角中，，因为，所以，
又由，所以，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积为.
故选：A.

6．（23-24高三上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，点在侧面所在的平面上运动.现有下列命题：
①若点总保持，则动点的轨迹是直线；
②若点到点A的距离为，则动点的轨迹是圆；
③若点到点与点的距离比为2：1，则动点的轨迹是圆；
④若点到直线与直线的距离比为2：1，则动点的轨迹是椭圆.
其中真命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】证明平面，判断①，由平面，得，从而得为定值，确定轨迹，判断②，利用平面解析几何知识求解轨迹判断③，问题转化为平面上的轨迹问题判断④．
【详解】①，如图正方体中，平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
而平面，∴，同理，
又平面，∴平面，
而，则平面，又在平面上，所以，正确；

②，平面，平面，∴，
∴，
∴点轨迹是以为圆心，半径为的圆，正确；

③，在平面上，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，设，
由得，
整理得，∴点轨迹是圆，正确；

④，平面，垂足为，因此到直线的距离就是的长，
因此点为平面内到点的距离等于到直线的距离的点，轨迹为抛物线，④错误；
正确的有3个，
故选：B．
7．（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度.
【详解】

如图所示，
由，，
可知三棱锥为正三棱锥，
设中点为，
则，，，
设点在底面上的射影为，
则平面，，
又为内部及边界上的动点，，
所以，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分，
如图所示，
，
，
即，，
所以点的轨迹长度为，
故选：B.
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长.
【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，
所以，又直线与平面所成角的最大值是，
所以，当且仅当取最小值时取得最大值，
因为，所以当时取最小值，此时，
所以，
又点在底面内，且，连接，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，
所以点的轨迹长为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹.
题型06 翻折相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
翻折有关的轨迹问题的解题策略 1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作，得到动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，在所在平面建立平面直角坐标系，求得直线和的方程，联立方程组，求得，得到的长，进而求得，结合弧长公式，即可求解.
【详解】如图（1）所示，过点作，分别交于点，
则动点在平面上的射影轨迹为线段，
设当与重合时，有；当与重合时，有，
则由为定长，可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，如图（1）所示，
在所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系，
则，，，，直线，直线，
联立方程组，解得，即，则，
又由，可得，所以，，
所以动点的轨迹长度为.
故选：A．

【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：
1、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.
二、填空题
2．（23-24高三上·重庆·期中）如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为 ，点的轨迹的长度为 ．
【答案】 /
【分析】
通过证明面得，故与的夹角为；设是的中点，可证的轨迹与的轨迹相同，求得的轨迹之后再求的轨迹.
【详解】
由为边的中点知：且，
易知，而，面，故面，
又面，所以，
故与的夹角为．
设是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，
即为平行四边形，故且，
故的轨迹与的轨迹相同.
因为面且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，
设的中点为，则，，
又面，面，所以面，
故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，
所以的轨迹长度为.
故答案为：；
【点睛】
关键点点睛：①将的轨迹转化为的轨迹；
②若的轨迹为圆，则的中点的轨迹也是圆.
一、单选题
1．（2024高三上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）

A．108 B．162 C．180 D．189
【答案】C
【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.
【详解】设此半正多面体模型的体积为，
则.
故选：C.
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解.
【详解】正方体中，平面，
则平面与平面的唯一交线与平行.
取BC中点，连接，
则四边形即为经过三点的正方体的截面，
梯形中，，
则梯形的高为，
所以梯形的面积为，
故选：A.
3．（23-24高三下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长.
【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点，
连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面，
其中分别是的中点，故，
，故，由勾股定理得，
，
同理可得，
又，故，
故平面截该四棱柱所得截面的周长为.
故选：A
4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，几何体为正四棱台，求出正四棱台高，再由台体的体积公式即可得出答案.
【详解】设正四棱锥的侧棱长为，
连接与交于点，连接，则平面，
因为，所以，
因为，所以在中，，
解得：，所以，
又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，
则几何体为正四棱台，
连接交于点，所以为的中点，
所以，所以几何体的体积为：
.

故选：C.
5．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】找出点在平面内的轨迹，再根据过直线外一点垂线段最短，求出线段的长度的最小值即可.
【详解】设点分别为棱，的中点，连接，可证明点，
事实上，在底面正方形中，可知，
因为平面，平面，所以平面；
在底面正方形中，可知且，
又因为且，所以且，
则四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
又因为平面，所以平面平面，
因为平面且平面，所以平面，
因为平面平面且点平面、平面，
所以，即M点的轨迹为线段；
由于正方体棱长为2，故三角形为等腰直角三角形，且为斜边，，
所以当点为的中点时，即时，线段的长度最小且最小值为.
故选：A
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中截面EFG可得，进而可判断点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，轨迹长度即可求解.
【详解】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，

由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长.
因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且，
，即，解得.
∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为.
故选：C.
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图， 在四棱锥中， 底面 是边长为3的正方形，平面，点为底面上的动点， 到的距离记为，若，则点在底面正方形内的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图建立空间直角坐标系，由，可得点在底面正方形内的轨迹方程，据此可得答案.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
设，其中，则.
又因平面，则到的距离等于，
则，其中.
则点在底面正方形内的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在底面正方形内的弧.
如图，设圆弧与DC，DA交于E，F点，因，
则，则相应轨迹对应弧长为.
故选：B
8．（24-25高三上·北京·期末）在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
【答案】D
【分析】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，由条件得平面，，所以平面，从而平面平面，结合题意可得，即可得解.
【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N，
由，可得，所以，所以A为的中点．
连接，由正方体可得，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面．
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，
所以，即点Q的轨迹是线段，
故选：D．
9．（24-25高三上·湖北·阶段练习）点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设，由易知，根据线面角的定义可得点坐标满足双曲线方程，进而可得结果.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，所以，，
故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点），
过点作于点，易知面，
即，所以，即，
化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线，
故选：C.
10．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果.
【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，
设，则，
，可得；
当时，，当时，，
取，
连结，
则，
四边形为矩形，则，
即，又和为平面中的两条相交直线，
平面，又，
为的中点，则平面，
为使，必有点平面，
又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，
又，则点的轨迹不是正方形，
则矩形的周长为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长.
二、多选题
11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面截该正方体的截面面积为
B．若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C．若为的中点，则三棱锥的体积为1
D．若，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A：取的中点，可知平面截该正方体的截面为矩形，即可得结果；对于B：可得，，即可得结果；对于C：利用转换定点法求三棱锥的体积；对于D：可证平面，则点M的轨迹是线段，即可得结果.
【详解】对于选项A：取的中点，连接，
因为点是棱的中点，则∥，，
又因为∥，，则∥，，且，
由正方体的性质得平面，平面，所以，
可知平面截该正方体的截面为矩形，其面积为，故A正确；
对于选项B：因为平面，平面，所以.
又，正方体的棱长为2，所以.
所以点的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，故B错误；
对于选项C：因为，且，
则，故C正确；
对于选项D，在面上，过点P作，则点Q是的中点.
连接，取的中点N，连接，，，，
则，.
因为平面，平面，所以.
又，平面，所以平面，
所以点M的轨迹是线段.
在中，，，，
所以的最大值为3，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：对于D：根据垂直关系将线线垂直转化为线面垂直，可得平面，进而可得点M的轨迹.
12．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的中点，点为平面内的动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若与所成的角为，则点的轨迹是椭圆
B．若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线
C．若与所成的角为，则点的轨迹是双曲线
D．以为球心，为半径的球面与平面相交所得曲线的面积为
【答案】BCD
【分析】根据线线角可得，即可判断A；将问题转化为点到定点的距离与到定直线的距离相等，得到点的轨迹是抛物线即可判断B；根据点的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，又平面与轴平行，所以点的轨迹是双曲线即可判断C；利用等体积法求出点到平面的距离，进而得到球面与平面相交所得到的小圆的半径，求出曲线面积即可判断D．
【详解】对于A，由于与所成的角为，故与所成的角为，即,
由于底面,只需要，故点的轨迹是圆，故A错误．
对于B，由平面，知，即是点到的距离，
在平面中，点到定点的距离与到定直线的距离相等，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故B正确；
对于C，因为与所成的角为，则或，
则点在以为顶点，或的反向延长线为轴、为母线的圆锥面上，
又在平面内，所以点的轨迹是平面截圆锥面所得的图形，
又平面与轴平行，所以点的轨迹是双曲线，故C正确．
对于D，设点到平面的距离为，
因为正方体的棱长为2，，分别是棱，上的中点，
所以，，，
故，故，
，
由，得，又球的半径，
所以球面与平面相交所得到的小圆的半径，
所以面积为，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
13．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ）
A．当时，是一个点
B．当平面时，是一条线段
C．当直线与平面所成的角为时，是圆
D．当直线与平面所成的角为时，是双曲线
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求解判断A；利用线面关系的向量表示求出动点的轨迹方程判断B；利用线面角的向量公式列式求得动点轨迹判断CD.
【详解】如图建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，
则有，
又为的中点，所以，设，
选项A，因为，又，
所以，即，
也即，
所以，此时，曲线为点，故A正确；
选项B，设平面的一个法向量为，
则，令得，，
当平面时，，即，动点在平面内的轨迹为一条直线（是连接和中点的直线），故B错误；
选项C，易知平面的一个法向量为，
所以当直线与平面所成的角为时，
有，化简得，
此时曲线为，故C正确；
选项D，易知平面的一个法向量为，
所以当直线与平面所成的角为时，
有，化简得，
此时曲线为，故D正确.
故选：ACD.
14．（23-24高三下·山东日照·期末）已知正方体的棱长为1，M，P分别为，AB的中点，点N满足，设平面截正方体所得截面为，其面积为S，设该截面将正方体分成两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A．截面可能为五边形 B．当时，
C．存在，使得 D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】作图说明判断A；由时截面形状并求出面积判断B；由时截面形状，结合对称性判断C；由从0变化到1的截面变化情况，得到的变化情况，求出和的两部分体积判断D.
【详解】对于A，当，即点与重合时，直线与的延长线分别交于点，
连接分别交于点，连接，得截面，截面为五边形，A正确；
对于B，当时，点是的中点，此时截面为正六边形，
其边长为，则截面的面积，B错误；
对于C，当时，由对称性知，截面分成的两部分是全等的，则体积相等，C正确；
对于D，当，即点与重合时，连接并延长交延长线于，连接，
显然是的中点，则≌，，点共线，
连接，此时截面为梯形，当从0变化到1时，截面从四边形变成五边形，
由选项C知，截面将正方体分成的两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，
因此取最大值时对应的或，当时，记为几何体的体积，
则，，，
当时，记为几何体的体积，在选项A中，，
则，即，，
，，所以的最大值为，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：求解体积差的绝对值，利用特殊到一般的思想，先考虑点为的中点时的截面和分割成的几何体体积的关系，再考虑点分别与点，点重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规律即可.
15．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
【答案】AC
【分析】对于A：取相应棱的中点分析判断；对于B：假设成立，结合面面平行的性质以及线面垂直分析判断；对于C：Q为所在棱中点，结合棱柱的体积分析判断；对于D：设为的中点，，结合几何性质求周长，进而分析判断.
【详解】假设正方体的棱长为2.
对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，

可知，即截面的形状是正三角形，故A正确；
对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，

如果为直角梯形，例如，
由正方体的性质可知：，可知平面，
又因为平面，则∥或重合，
由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误；
对于选项C： Q为所在棱中点，如图，

则正方体的体积为8，三棱柱的体积为，
所以截面将正方体分成，故C正确；
对于选项D：如图所示，假设为的中点，，
则，
，
可得，
则六边形的周长为，
显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于选项D：取特殊位置，假设为的中点，，结合几何形状求周长，进而分析判断.
16．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（ ）

A．翻折过程中，动点在圆弧上运动
B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧
C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则．
D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为
【答案】AD
【分析】A选项，由题可知点P为以D为顶点的圆锥底面圆周上的点，即可判断选项正误；B选项，如图，可证动点在平面的射影在过A点且与DF垂直的线段上，即可判断选项正误；C选项，结合B选项分析，可知与为同一等腰三角形的顶角和底角，即可判断选项正误；D选项，由题可得K点为在平面的射影轨迹与DC交点，如图建立平面直角坐标系，表示出K点坐标，即可判断选项正误.
【详解】A选项，注意到翻折过程中，点P到D点距离不变，
则P为以D为顶点，DP为母线的圆锥底面圆周上的点，
即动点在圆弧上运动，故A正确；
B选项，如图，作，连接PH，则，
因平面PHA，则平面PHA.
作，又平面PHA，则PI，
又，平面，则平面.
则在翻折过程中，动点在平面的射影在过A点且与DF垂直的直线上，
即动点在平面的射影的轨迹为一段线段，故B错误；
C选项，由B选项分析可知，二面角的平面角为，
直线与平面所成角为，
则可知与为同一等腰三角形的顶角和底角，则.
则当时，，故C错误；
D选项，结合B选项分析，当平面平面时，点P在线段DC正上方.
则K点为在平面的射影轨迹与DC交点，
即为DF过A点垂线与DC交点.
如图，建立以D为原点的平面直角坐标系，则.
又由题设，其中，则，
因，则，令，
则，故D正确.
故选：AD

三、填空题
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
【答案】
【分析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长．
【详解】正方体中，分别是棱的中点，
．
平面平面，
平面，
由正方体的棱长为4，
所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形，
故周长为．
故答案为：.
18．（24-25高三上·天津河北·阶段练习）已知棱长为1 的正方体ABCD-A B C D ，若点P在正方体内部且满足 则点 P到AB的距离为 ; 正方体ABCD-A B C D ，Q是平面ABCD 内一动点，若A Q与A D所成角为 则动点Q 的轨迹是 (写曲线名称)
【答案】 抛物线
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，再利用点到线的距离公式即可求得结果；利用向量数量积的定义即可得到方程，进而得到轨迹是什么曲线.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则,
又因为，所以.
因动点Q是平面ABCD 内一点，若A Q与A D所成角为 设，,,又
即，
整理得，所以动点Q 的轨迹是抛物线.
故答案为：，抛物线.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ．
【答案】96
【分析】由勾股定理和已知比例式确定，的位置，再分别在，上取点，使得，连接，由三棱柱和四棱锥的体积公式计算即可；
【详解】由题意知，，，，则，
由，且，所以，，，
如图，分别在，上取点，使得，连接，
则几何体可看作由直三棱柱和四棱锥组成，
因为，，
故所求几何体体积为．

故答案为：96.
20．（23-24高三下·河南·期末）如图所示，在直三棱柱中，，平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为 ．
【答案】
【分析】根据中点可得线线平行，即可求证平面即为平面，即可利用三角形的边角关系求解长度求解.
【详解】在直三棱柱中，，
即底面为直角三角形，且斜边，
取的中点的中点的中点，连接，
则，所以，即四点共面，
由平面平面，所以平面，故平面即为平面，
取的中点的中点，连接，则为等腰梯形的高，
因为，
所以，
所以．
故答案为：
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解.
【详解】
由连接，
由正方体可知，，，，
且，，平面，
则平面，
又平面，
，
同理，
又，，平面，
所以平面，
即平面，且，
设直线平面于点，
则，且为三角形中心，
又，则，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，
又，
所以，即，
所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为，
则轨迹的长度为，
故答案为：.
22．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是 .
【答案】
【分析】根据动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，得到，发现点P的轨迹是抛物线，然后建立平面直角坐标系求解即可.
【详解】
如图所示，作，Q为垂足，则易知平面，
过点Q作，交于，则易知平面，
所以即为P到直线的距离．
因为，且，所以．
所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．
如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是，点，
设，所以，
所以当，取得最小值.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据已知及抛物线定义得到点P的轨迹方程为关键.
23．（23-24高三上·四川内江·期中）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .

【答案】
【分析】设是的中点，可证的轨迹与的轨迹相同，求得的轨迹之后再求的轨迹.
【详解】由，，为边的中点
设是的中点，又为的中点，则且，
而且，所以且，
即为平行四边形，故且，

故的轨迹与的轨迹相同.
因为面，且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
设的中点为O，则，，
又面，面，所以面，
故的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以的轨迹长度为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：判断点的轨迹，从圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质出发求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 立体几何中的截面与轨迹问题
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题型01 截面形状问题 1
题型02 截面面积、周长问题 5
题型03 截面切割几何体体积问题 6
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题 7
题型05 距离、角度相关的轨迹问题 9
题型06 翻折相关的轨迹问题 11
题型01 截面形状问题
【解题规律·提分快招】
一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）； 2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下图. 方法二：平行线法，做法如下图. 四、正方体中的基本截面类型 五、截面是圆锥曲线的原理剖析 令平面与轴线的夹角为,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②. 当时,截口曲线为椭圆; (2)当时,截口曲线为抛物线; (3)当时,截口曲线为双曲线. 图②我们再从几何角度来证明. (1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆. (2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线. (3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（2024高三·全国·专题练习）过正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（　　）
A．三角形或五边形
B．三角形或六边形
C．六边形
D．三角形
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料的棱长为3米，点在棱上，且，过点把木料据开且锯面与平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？

题型02 截面面积、周长问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25高三上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 .
题型03 截面切割几何体体积问题
【典例训练】
一、填空题
1．（24-25高三·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为 ．
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .

3．（23-24高三下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱中，，E是上一点，于点F，设，，则点E绕旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 .
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①平行有关的轨迹问题的解题策略 1.线面平行转化为面面平行得轨迹; 2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹. ②垂直有关的轨迹问题的解题策略 1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹; 2.利用空间坐标运算求轨迹; 3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（23-24高三下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．3 B． C． D．2
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知正方体的棱长是2，点是棱的中点，Q是正方体表面上的一动点，，则动点Q的轨迹长度是（ ）
A．3 B．5 C． D．
7．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
题型05 距离、角度相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①距离有关的轨迹问题的解题策略 1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹； 2.利用空间坐标计算求轨迹. ②角度有关的轨迹问题的解题策略 1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面; 2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面; 3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
2．（24-25高三上·天津·期中）在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为4，点平面，且，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．（23-24高三上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，点在侧面所在的平面上运动.现有下列命题：
①若点总保持，则动点的轨迹是直线；
②若点到点A的距离为，则动点的轨迹是圆；
③若点到点与点的距离比为2：1，则动点的轨迹是圆；
④若点到直线与直线的距离比为2：1，则动点的轨迹是椭圆.
其中真命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ）
A． B． C． D．
题型06 翻折相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
翻折有关的轨迹问题的解题策略 1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
2．（23-24高三上·重庆·期中）如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为 ，点的轨迹的长度为 ．
一、单选题
1．（2024高三上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）

A．108 B．162 C．180 D．189
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在正四棱锥中，．用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图， 在四棱锥中， 底面 是边长为3的正方形，平面，点为底面上的动点， 到的距离记为，若，则点在底面正方形内的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（24-25高三上·北京·期末）在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
9．（24-25高三上·湖北·阶段练习）点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面截该正方体的截面面积为
B．若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C．若为的中点，则三棱锥的体积为1
D．若，则的最大值为
12．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的中点，点为平面内的动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若与所成的角为，则点的轨迹是椭圆
B．若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线
C．若与所成的角为，则点的轨迹是双曲线
D．以为球心，为半径的球面与平面相交所得曲线的面积为
13．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ）
A．当时，是一个点
B．当平面时，是一条线段
C．当直线与平面所成的角为时，是圆
D．当直线与平面所成的角为时，是双曲线
14．（23-24高三下·山东日照·期末）已知正方体的棱长为1，M，P分别为，AB的中点，点N满足，设平面截正方体所得截面为，其面积为S，设该截面将正方体分成两部分的体积分别为，，则下列判断正确的是（ ）
A．截面可能为五边形 B．当时，
C．存在，使得 D．的最大值为
15．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
16．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（ ）

A．翻折过程中，动点在圆弧上运动
B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧
C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则．
D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为
三、填空题
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
18．（24-25高三上·天津河北·阶段练习）已知棱长为1 的正方体ABCD-A B C D ，若点P在正方体内部且满足 则点 P到AB的距离为 ; 正方体ABCD-A B C D ，Q是平面ABCD 内一动点，若A Q与A D所成角为 则动点Q 的轨迹是 (写曲线名称)
19．（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ．
20．（23-24高三下·河南·期末）如图所示，在直三棱柱中，，平面过棱的中点且与平行，若截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为 ．
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 .
22．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是 .
23．（23-24高三上·四川内江·期中）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .

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