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专题16 排列组合中的常见题型与技巧应用
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题型01 特殊元素、特殊元素位置法 1
题型02 捆绑法 3
题型03 插空法 5
题型04 间接法 7
题型05 倍缩法 9
题型06 排数问题 11
题型07 分组、分配问题 14
题型08 染色问题 17
题型01 特殊元素、特殊元素位置法
【解题规律·提分快招】
对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）将字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必须在b的左边，则不同的安排方法种数为（ ）
A．260 B．300 C．360 D．380
【答案】C
【分析】先安排a，b，然后排其它字母，由此计算出不同的安排方法.
【详解】先安排a，b，方法数有种方法，再安排其他字母，方法数有种，故不同的安排方法有种．
故选：C.
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果．
【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法，
再排其余4节，有种排法，
根据乘法原理，共有种排法，
故选：B．
3．（23-24高三下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得.
【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法，
由分步乘法计数原理得不同排法种数是.
故选：B
4．（23-24高三下·江苏连云港·期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A．216 B．432 C．864 D．1728
【答案】B
【分析】先排班长左侧再排班长右侧位置即可求得排法总数.
【详解】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有个方法，
将余下的3人排在班长右侧，有个方法，
则符合要求的方法总数为.
故选：B
5．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法；
再排剩余的3道程序，共有种安排方法，
所以一共有种不同的顺序安排方法.
故选：B.
6．（2025高三·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（ ）
A．720 B．1680 C．4320 D．5040
【答案】D
【分析】根据题意，先考虑除外剩下的4名金牌获得者的选取情况分两种和，再利用排列运算求解.
【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中，
则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为，
又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为.
故选：D.
题型02 捆绑法
【解题规律·提分快招】
捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由捆绑法及全排列即可求解；
【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即.
故选：B
2．（24-25高三上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ）
A．2880 B．1440 C．720 D．576
【答案】A
【分析】相邻问题采取“捆绑法”，先将4名女生排在一起，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列即可求解.
【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
3．（24-25高三下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【答案】D
【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，
则共有种．
故选：D.
4．（24-25高三下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
【答案】D
【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案.
【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法，
最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种．
故选：D.
5．（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种
C．1282种 D．1128种
【答案】D
【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可.
【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．
则不同的安排方案共有(种)．
故选：D．
题型03 插空法
【解题规律·提分快招】
插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可 波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
【答案】C
【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可.
【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（ ）
A．8 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【分析】根据插空法即可求解.
【详解】先将3个奇数编号排好，有种方法，
然后将2，4插入到排好的奇数的中间可得，
故共有种．
故选：B．
3．（23-24高三下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ）
A．960种 B．836种
C．816种 D．720种
【答案】A
【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序.
【详解】先捆绑再和排列，然后插入
共有种排法．
故选：A.
4．（福建省漳州市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【分析】利用插空法和分步计数原理求解.
【详解】先从“商、徵、羽”中选一个插在“宫”和“角”之间，有，
再作为一个整体和剩下的两个音阶排列，
所以共有种排法.
故选：D
5．（24-25高三上·江苏常州·期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法
D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法
【答案】A
【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可.
【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法，故A正确；
B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，
此时，共有种不同的排法种数，故B错误；
C：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，
此时，共有种不同的排法种数，故C错误；
D：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，
此时，共有种不同的排法种数，故D错误.
故选：A
6．（24-25高三上·浙江·开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）
A．20 B．36 C．54 D．108
【答案】C
【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”.
【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论:
1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有种选法;
2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有种选法;
3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有种选法;
4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有种选法;
所以满足条件的不同排列方法的总数之和为.
故选：C.
题型04 间接法
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东深圳·期末）某学校高三年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（ ）种．
A．2 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【分析】先求出所有可能的选课方法总数，再求出没有人选择乒乓球的选课方法数，作差即可求解.
【详解】甲乙两位同学每人从乒乓球、羽毛球和篮球三门课中选择一门，共有种选课方法，
甲乙两位同学都未选乒乓球，共有种选课方法，
则甲乙两位同学至少有一位同学选择了乒乓球，不同的选课方法共有种.
故选：C.
2．（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（ ）
A．42种 B．72种 C．78种 D．120种
【答案】C
【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案.
【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分，
所以这5名同学的可能排名有种.
故选：C
3．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】利用间接法即可得解.
【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种，
若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种，
因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种.
故选：C.
4．（24-25高三上·贵州遵义·期末）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．12 B．18 C．22 D．24
【答案】C
【分析】先计算出集合中元素个数，再计算出集合中满足的元素个数，两者相减即可得.
【详解】集合中元素个数共有个，
若，则有，
则可能，共1种；
或，或，共2种；
或，或，共2种；
故集合中满足的元素的个数为.
故选：C.
5．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）某中学高三年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（ ）
A．57种 B．60种 C．114种 D．120种
【答案】A
【分析】利用间接法，结合分步乘法计数原理可得解.
【详解】设获奖的三个班级分别为，，，首先分配“先进集体”奖，有（种）可能；
继续分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项，每个奖项分别有，，三种可能，于是有（种）可能，相乘一共有（种）可能，
其中一个班级一个奖项都不获得，也就是分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项时均分配到两个获得“先进集体”奖的班级，共有（种）可能；
两者相减得所有的颁奖方式有（种）．
故选：A．
题型05 倍缩法
【解题规律·提分快招】
部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）从2024年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
【答案】C
【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解.
【详解】站在一起有种，
将看成一个整体与进行全排列，共有种，
同时要求在的左边，共有种．
故选：.
2．（24-25高三下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
【答案】D
【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案.
【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法，
最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种．
故选：D.
3．（23-24高三下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
【答案】C
【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解.
【详解】
将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为，
问题等价于8只气球排列，
其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球，
则有种.
故选：C
4．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（ ）种
A．12 B．20 C．30 D．42
【答案】D
【分析】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一种顺序，利用缩倍法列式计算即得.
【详解】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有，
所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有.
故选：D
5．（23-24高三下·江苏镇江·期中）某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（ ）
A．15 B．18 C．22 D．26
【答案】D
【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况利用倍分法列式计算即得.
【详解】甲是特等奖，不考虑丙的位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种；
而丙在丁和戊之间占，所以5人的奖项的所有可能的种数是.
故选：D
题型06 排数问题
【解题规律·提分快招】
对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】完全平方数、新定义问题
【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个．
故选：D.
2．（23-24高三下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．26个 C．30个 D．42个
【答案】C
【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求.
【详解】若0在个位，则可组成个偶数；
若2在个位，则可组成个偶数；
若4在个位，则可组成个偶数；
所以偶数共有个.
故选：C
3．（2024·山东淄博·一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
【答案】B
【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可.
【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种
若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种；
则总共有16种，
故选：B.
4．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（ ）
A．252个 B．300个
C．324个 D．228个
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解．
【详解】（1）若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是，可以组成四位数个；
（2）若四位数中含有数字5不含数字0，则选法是，可以组成四位数个；
（3）若既含数字0，又含数字5，选法是，排法是若0在个位，有种，
若5在个位，有种，故可以组成四位数 个．
根据加法原理，共有个．
故选：Ｂ．
5．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出基本事件总数n，再求出数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，
基本事件总数，
数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件个数，
则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为．
故选：D．
6．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件G：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃.分三类讨论求出事件G的挂法总数，分两类讨论求出对于事件H的挂法总数，结合条件概率的计算公式计算即可求解.
【详解】记事件G：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件H：A与C处挂同一种形状的风铃.
对于事件G，包含的情况可分以下三类：
（1）当A，C，E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，
此时B，D，F各有3种挂法，故不同的挂法共有4×3×3×3=108种；
（2）当A，C，E挂两种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种；
（3）当A，C，E挂三种不同形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F各有2种挂法，故不同的挂法共有种.
综上，总计有108+432+192=732种挂法，即.
当顶点A与C挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类：
（1）A，C，E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种；
（2）当A，C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有种挂法，
此时B，D，F有3×2×2种挂法，故不同的挂法共有种.
综上，总计有108+144=252种挂法，即，
故.
故选：C.
题型07 分组、分配问题
【解题规律·提分快招】
①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A．36种 B．24种 C．18种 D．12种
【答案】C
【分析】分教师甲与2名学生去北京与教师甲与另一名教师及2名学生去北京两种情况分类讨论可求分配方案的方法数.
【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）；
当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种），
综上，分配方案共有（种）.
故选：C.
2．（24-25高三上·江西赣州·期末）2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（ ）
A．540 B．450 C．360 D．180
【答案】B
【分析】根据给定条件，将6名志愿者按和分成3组，再安排三个站点即可.
【详解】将6名志愿者按和分成3组，不同分组方法种数为，
再将每一种分法的3组安排到三个站点有种，
则不同安排的方法数为（种）.
故选：B.
3．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
【答案】D
【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解.
【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法．
故不同安排方法有种．
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解.
【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有（种）方案．因为甲、乙都去北京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为.
故选：B．
5．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论.
【详解】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
6．（23-24高三下·福建福州·阶段练习）正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华 龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将其他四人分组为、、三种情况，求出甲去场地的所有安排，再求出场地有且只有1名志愿者的安排方法数，即可求概率.
【详解】其它四人分成三组，有种，再把三组安排到场地，有种，
其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有种，
其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有2种，
所以甲去场地时共有种安排方法，
场地有且只有1名志愿者，分成三组有种，分成两组有种，分成两组有0种，
所以甲去场地时，场地有且只有1名志愿者共有种安排方法，
所求概率为.
故选：C
题型08 染色问题
【解题规律·提分快招】
解决涂色问题的一般思路 ①按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． ②以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． ③将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
【答案】D
【分析】利用分步乘法计数原理可得答案.
【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，
，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）．
故选：D.
2．（23-24高三下·广东肇庆·阶段练习）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（ ）
1 3 4
2 5
A．120 B．72 C．288 D．144
【答案】D
【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解．
【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，
区域4可选剩下的一种或选区域1，2所选的颜色，共有3种选法，
区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，
共有种．
故选：D
3．（23-24高三下·福建莆田·阶段练习）如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ）

A．48 B．72 C．84 D．108
【答案】C
【分析】分是否同色两类，再根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可.
【详解】若同色，则有种方法，
若不同色，则有种方法，
所以不同涂法的种数为种.
故选：C.
4．（24-25高三上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
【答案】B
【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】如图，设图中的六个区域分别为，
按照是否同色，分两类：
①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况，
不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法；
用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种，
或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法，
所以不同色的涂法有：，
②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种，
所以同色的涂法有：，
综上，不同的涂色方法有：种.
故选：B.
5．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）种．
A．1440 B．1920 C．2160 D．3360
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析、、和、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法，
②与相邻，有4种颜色可选，
若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选，
此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法，
若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选，
此时有种涂色方法，
则、、有种涂色方法，
故有种涂色方法．
故选：B．
6．（2024·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.

分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（ ）种站队方法．
A．144 B．64 C．48 D．56
【答案】C
【分析】先排男生，再根据条件女生插空，即可求解.
【详解】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲，
剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法.
故选：C
2．（23-24高三下·江苏南通·期中）某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高三两名学生相邻，高三两名学生不相邻的排法有（ ）种.
A．72 B．144 C．240 D．288
【答案】B
【分析】由捆绑法、插空法以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由题意先将高三两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有，
此时已经形成了四个空，再将高三的两名学生插进去有，
所以满足题意的排法有种.
故选：B.
3．（23-24高三下·江苏南通·阶段练习）江苏海安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵.海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战火摧残，多数已面目全非.随着海安城市人文建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建.海中高三年级几名同学打算利用周末时间寻访“十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠柏、双桥曲径、桂岭秋香.因时间有限，计划从中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社，则东郊文社不是第一个游览的情况有（ ）
A．2016种 B．1512种 C．1426种 D．1362种
【答案】B
【分析】先把东郊文社排好，再从另外九景中选景依次游览，进而可得答案.
【详解】先排东郊文社，有种，
再从另外九景中选景依次游览，有种，
所以共有种游览的情况.
故选：B.
4．（2024高三·全国·专题练习）高中学生小李计划在高考结束后，和其他小伙伴一块去旅游，有三个自然风光景点A，B，C和三个人文历史景点a，b，c可供选择．由于时间和距离原因，只能从中任取四个景点进行参观，其中第一个参观的景点一定不是A，最后参观的一定是人文历史景点，则不同的旅游顺序有（ ）
A．54种 B．72种 C．120种 D．144种
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：四个景点不含A景点和含A景点，分别求出每一种情况的旅游顺序，再用分类加法计数原理即可求得结果.
【详解】当四个景点不含景点A时，旅游顺序有种；
当四个景点含景点A时，旅游顺序有种．
所以不同的旅游顺序有144种．
故选：D.
5．（24-25高三上·上海·假期作业）某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种 B．72种 C．42种 D．36种
【答案】D
【分析】根据题意，分3步进行，先安排甲，再安排乙，最后安排其他的3人，由分步计数原理，计算可得答案．
【详解】根据题意，先安排甲，甲只能安排到周一或周二，有2种情况，
再安排乙，学生乙不能安排在周五，甲已经安排，则乙有3种情况，
最后对其他的3人分析，将其安排在剩余的3天即可，有种情况，
由分步计数原理，可得共有种情况.
故选：D.
6．（23-24高三下·吉林辽源·阶段练习）用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（ ）
A．240 B．480 C．120 D．200
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.
【详解】根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界” 两两相邻，有种方案，
而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，
总共有种方法.
故选：A
7．（23-24高三下·陕西宝鸡·阶段练习）张老师与甲 乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出6人的所有排法，再利用捆绑法先将甲、乙看成一个整体后与其他同学进行排列，再将张老师排在排头或排尾计算出排列种数，可得概率.
【详解】根据题意可知共有种排法，
第一步，若甲与乙站在一起，可将甲、乙两人看成一个整体再与其他3名同学进行排列，共有种排法，
第二步，又因为张老师必须站排头或排尾，共有种；
因此所求概率为.
故选：C
8．（23-24高三下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．300种 C．180种 D．120种
【答案】B
【分析】从6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法数即得.
【详解】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种，
其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种，
所以不同的安排方法共有（种）.
故选：B
9．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．24种
【答案】B
【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可.
【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法，
然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法，
3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，
所以总共有：种方式.
故选:B
10．（2024·辽宁·模拟预测）某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】记“甲借走的有一支是红色”为事件A，“甲借走的两支都是红色”为事件B，根据组合数求，再结合条件概率公式分析求解.
【详解】记“甲借走的有一支是红色”为事件A，“甲借走的两支都是红色”为事件B，
则，，
所以所求的概率为.
故选：D.
11．（23-24高三下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．42 B．38 C．54 D．48
【答案】A
【分析】根据表示数字的火柴棒的根数分类讨论，即可求解.
【详解】因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以组成个无重复数字的三位数.
故选：A
12．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．36种
【答案】B
【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.
【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.
故选：B.
13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【答案】C
【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算.
【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，
先排左右两端，有种排法，
再排中间4个位置，有种排法，
所以不同的排法种数为种.
故选：C.
14．（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了5名学生到A、B、C三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（ ）
A．60 B．90 C．150 D．300
【答案】C
【分析】各点人数可为1,1,3或1,2,2，故可先分组再分配，故可得不同的选派方法种数.
【详解】名学生到3个劳动实践点，因各点的人数至少1人，故各点的人数可为1,1,3或1,2,2，
故不同的选派方法种数有，
故选：C.
15．（24-25高三上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A．32个 B．28个 C．27个 D．24个
【答案】B
【分析】根据题意，“幸运数”的后三位数字的和为6，故可以分成七类进行计数，利用分类加法计数原理即得.
【详解】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类：
①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种，
④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种，
⑦“222”组合，有1种.
由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有个.
故选：B.
16．（23-24高三下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ）
A．90种 B．150种 C．240种 D．300种
【答案】B
【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 再进行排列即可
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法，
将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法，
则不同的分配方案有种.
故选：B.
17．（2024·山东临沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ）
A．16 B．20 C．28 D．40
【答案】C
【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况.
【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种；
分为每组各3人，有种，分组方法共有种.
第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种.
所以，总的分配方案有种.
故选：C
18．（23-24高三下·江西·阶段练习）有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
【答案】B
【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案.
【详解】按工厂接收的女生人数分类，
第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，
再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，
故有种分配方法；
第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，
有种分配方法．
综上，不同的分配方法有种．
故选：
19．（23-24高三下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A．360种 B．336种 C．216种 D．120种
【答案】B
【分析】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量.
【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种；
若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种，
其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种；
所以不同的派法共有种.
故选：
20．（23-24高三下·广东东莞·阶段练习）如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，共有（ ）种不同的摘法．
A．70 B．35 C．21 D．14
【答案】B
【分析】利用倍缩法解决定序问题即摘的两列桃子顺序为和，从而可求解.
【详解】如果将7个桃子全排列有种方法，
但根据题意要摘的两列桃子顺序分别为和，
所以共有种方法，故B正确.
故选：B.
21．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（ ）
A．260种 B．220种 C．160种 D．130种
【答案】D
【分析】根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果.
【详解】若甲只安排一项任务，则有种；
若甲只安排两项任务，则有种；
故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有130种．
故选：D
22．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．48 B．60 C．72 D．84
【答案】C
【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.
【详解】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故选：C
23．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】先涂，，，然后分类讨论的颜色，最后利用乘法原理与加法原理可得答案.
【详解】先涂，，，有种方法.
若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为.
综上，总涂法数为.
故选：C
24．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72种 B．114种 C．120种 D．144种
【答案】B
【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可.
【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班，
可分为与两种情况，
①：；②：，共有150种情况．
若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况，
①都在2人组：；②都在3人组：，
考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法．
故选：B
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 排列组合中的常见题型与技巧应用
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题型01 特殊元素、特殊元素位置法 1
题型02 捆绑法 2
题型03 插空法 3
题型04 间接法 4
题型05 倍缩法 4
题型06 排数问题 5
题型07 分组、分配问题 7
题型08 染色问题 8
题型01 特殊元素、特殊元素位置法
【解题规律·提分快招】
对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）将字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必须在b的左边，则不同的安排方法种数为（ ）
A．260 B．300 C．360 D．380
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
4．（23-24高三下·江苏连云港·期中）现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A．216 B．432 C．864 D．1728
5．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
6．（2025高三·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（ ）
A．720 B．1680 C．4320 D．5040
题型02 捆绑法
【解题规律·提分快招】
捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ）
A．2880 B．1440 C．720 D．576
3．（24-25高三下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
4．（24-25高三下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
5．（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种
C．1282种 D．1128种
题型03 插空法
【解题规律·提分快招】
插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可 波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
2．（2025高三·全国·专题练习）现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（ ）
A．8 B．12 C．24 D．36
3．（23-24高三下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ）
A．960种 B．836种
C．816种 D．720种
4．（福建省漳州市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，则“宫”和“角”之间恰好有一个音阶的排法种数为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．（24-25高三上·江苏常州·期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有576种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法
D．如果女生不能站在两端，那么有720种不同排法
6．（24-25高三上·浙江·开学考试）将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）
A．20 B．36 C．54 D．108
题型04 间接法
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东深圳·期末）某学校高三年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（ ）种．
A．2 B．4 C．5 D．9
2．（24-25高三上·江苏常州·期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（ ）
A．42种 B．72种 C．78种 D．120种
3．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（24-25高三上·贵州遵义·期末）设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．12 B．18 C．22 D．24
5．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）某中学高三年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（ ）
A．57种 B．60种 C．114种 D．120种
题型05 倍缩法
【解题规律·提分快招】
部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）从2024年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
2．（24-25高三下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
3．（23-24高三下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
4．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（ ）种
A．12 B．20 C．30 D．42
5．（23-24高三下·江苏镇江·期中）某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（ ）
A．15 B．18 C．22 D．26
题型06 排数问题
【解题规律·提分快招】
对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高三下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．26个 C．30个 D．42个
3．（2024·山东淄博·一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
4．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（ ）
A．252个 B．300个
C．324个 D．228个
5．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点A，B，C，D，E，F，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型07 分组、分配问题
【解题规律·提分快招】
①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A．36种 B．24种 C．18种 D．12种
2．（24-25高三上·江西赣州·期末）2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（ ）
A．540 B．450 C．360 D．180
3．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
4．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．（23-24高三下·福建福州·阶段练习）正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华 龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型08 染色问题
【解题规律·提分快招】
解决涂色问题的一般思路 ①按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． ②以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． ③将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
2．（23-24高三下·广东肇庆·阶段练习）如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，有多少种不同涂色方法（ ）
1 3 4
2 5
A．120 B．72 C．288 D．144
3．（23-24高三下·福建莆田·阶段练习）如图所示，在图形内指定四个区域，现有4种不同的颜色供选择，要求在每个区域里涂1种颜色，且相邻的两个区域涂不同的颜色，则不同涂法的种数为（ ）

A．48 B．72 C．84 D．108
4．（24-25高三上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
5．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）种．
A．1440 B．1920 C．2160 D．3360
6．（2024·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（ ）种站队方法．
A．144 B．64 C．48 D．56
2．（23-24高三下·江苏南通·期中）某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高三两名学生相邻，高三两名学生不相邻的排法有（ ）种.
A．72 B．144 C．240 D．288
3．（23-24高三下·江苏南通·阶段练习）江苏海安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵.海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战火摧残，多数已面目全非.随着海安城市人文建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建.海中高三年级几名同学打算利用周末时间寻访“十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠柏、双桥曲径、桂岭秋香.因时间有限，计划从中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社，则东郊文社不是第一个游览的情况有（ ）
A．2016种 B．1512种 C．1426种 D．1362种
4．（2024高三·全国·专题练习）高中学生小李计划在高考结束后，和其他小伙伴一块去旅游，有三个自然风光景点A，B，C和三个人文历史景点a，b，c可供选择．由于时间和距离原因，只能从中任取四个景点进行参观，其中第一个参观的景点一定不是A，最后参观的一定是人文历史景点，则不同的旅游顺序有（ ）
A．54种 B．72种 C．120种 D．144种
5．（24-25高三上·上海·假期作业）某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种 B．72种 C．42种 D．36种
6．（23-24高三下·吉林辽源·阶段练习）用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（ ）
A．240 B．480 C．120 D．200
7．（23-24高三下·陕西宝鸡·阶段练习）张老师与甲 乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A．360种 B．300种 C．180种 D．120种
9．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．24种
10．（2024·辽宁·模拟预测）某同学笔袋里有10支笔，其中8支黑色，2支红色.被甲同学借走2支.已知甲借走的有一支是红色，则另一支也是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．42 B．38 C．54 D．48
12．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．36种
13．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
14．（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了5名学生到A、B、C三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（ ）
A．60 B．90 C．150 D．300
15．（24-25高三上·山西大同·开学考试）某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（ ）
A．32个 B．28个 C．27个 D．24个
16．（23-24高三下·河南洛阳·期中）洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（ ）
A．90种 B．150种 C．240种 D．300种
17．（2024·山东临沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ）
A．16 B．20 C．28 D．40
18．（23-24高三下·江西·阶段练习）有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
19．（23-24高三下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A．360种 B．336种 C．216种 D．120种
20．（23-24高三下·广东东莞·阶段练习）如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，共有（ ）种不同的摘法．
A．70 B．35 C．21 D．14
21．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（ ）
A．260种 B．220种 C．160种 D．130种
22．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．48 B．60 C．72 D．84
23．（24-25高三上·广西·阶段练习）如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
24．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72种 B．114种 C．120种 D．144种
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