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专题18 洛必达法则
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题型01 洛必达法则的直接计算 1
题型02 洛必达法则解决最值问题 4
题型01 洛必达法则的直接计算
【解题规律·提分快招】
一、前言 在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。 二、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 三、法则形式 1、法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(3)，则：. 3、法则3（型）：若函数和满足下列条件： (1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
(3)，则：=. 【特别提醒】 （1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 （2）洛必达法则可处理型。 （3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则 （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 （5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。 四、适用类型的转化 （1）型的转化：或； （2）型的转化： （3）、型的转化：幂指函数类
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子 分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可.
【详解】由题意可得
，
故选：A.
2．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】判定当时，的极限即为型，再利用给定法则计算即可得解.
【详解】显然，当时，的极限即为型，
所以：.
故选：B
二、填空题
3．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
【答案】
【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入即可求得该极限值.
【详解】由题意可得：．
故答案为：.
题型02 洛必达法则解决最值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围
【答案】
【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值.
【详解】，
记，，
则，
记，
则，
而，
所以,在单调递增,所以，
所以,在单调递增,所以，
即在上,所以在上单调递增，
所以，
所以.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围．
【答案】
【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可.
【详解】由题意可知，当时，即等价于．
设，则
设，则，因为，所以，
即当时，，所以在上单调递减，
当时，，当时，满足洛必达法则，
所以，
即当时，的取值范围是．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
【答案】
【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案.
【详解】根据题目的条件，当且时，
得，等价于．
设，，
因为，设，
则，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，，
即在上单调递减，当在上单调递增．
当趋近时，趋近，当趋近时，趋近，
所以符合洛必达法则的条件，
即，
所以当时，
所以的取值范围是．
4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造，再结合即可得到结果；
（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.
【详解】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.
一、单选题
1．（23-24高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据洛必达法则求解即可.
【详解】.
故选：B
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子 分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子 分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可
【详解】由题意得，
故选：B
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案.
【详解】当时，，即，
①当时，，，
②当时，等价于，
即，
令，，则，
记，，
则，因此在上单调递增，
且，所以， 从而在上单调递增，
所以，
由洛必达法则得，
即，.
综上所述，实数a的取值范围为.
4．（2024高三·全国·专题练习），恒成立，求的取值范围
【答案】
【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果.
【详解】当时，;
当时，不等式可化为.
记，
则，
记，则，
当时，则; 当时，则.
因为，并且，所以.
这时符合题意.
综上可知，的取值范围是.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值.
【详解】∵，∴．
∴当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增．
若当时，恒有成立，即恒有成立．
当时，不等式恒成立．
当时，恒有成立，
即，令，
则．
令，则，进一步，
∴ 在上单调递减，∴．
∴在上单调递减，∴．
即在上恒成立，∴在上单调递减．
∴，∴．
综上，的取值范围为．
6．（2024高三·全国·专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，求解；
（2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，时，，此时，；
故时，成立时，成立，
对恒成立，
即对恒成立；
记，则，
记，则，
记 ，则 ，
∴当0时，，在上单调递增；
，
所以在上单调递增；；
∴时，0，即在上单调递增；
记，，
当时，，符合洛必达法则条件，
∴，
∴时，，
∴．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解.
7．（23-24高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
【答案】(1)①1；②
(2)是，证明见解析
【分析】（1）① 根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设，根据洛必达法则求出，利用变换得解；
（2）方法一，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证；
方法二，利用导数可得在上单调递增，又由，得证．
【详解】（1）①根据洛必达法则，；
②设，两边同时取对数得，，
设，，
∴，∴
（2）∵，，
∴，，，
∴
∴，均有，
∴是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得，
由①，得
∴，.
方法二：
设，，
则
设，，则
∴在上单调递增，又，∴在上恒成立，
∴∴在上单调递增，∵，
∴在上但成立，∴，
∴在上单调递增，
又
∴，.
【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1小题，构造函数，根据洛必达法则求出，得解； 第2小题，方法1先证明是区间上的2阶无穷递降函数，同理可得，根据洛必达法则可得；方法2，利用导数可判断在上单调递增，再根据洛必达法则求出，即可.
8．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为），则．
(1)用洛必达法则求；
(2)函数（，），判断并说明的零点个数；
(3)已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
【答案】(1)
(2)仅在时存在1个零点，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数，结合的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2），，
所以，．
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，，
当时，，所以仅在时存在1个零点．
（3），所以，，…，
将各式相乘得，
两侧同时运算极限，所以，
即，
令，原式可化为，又，
由（1）得，
故，由题意函数的定义域为，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限.
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题型01 洛必达法则的直接计算 1
题型02 洛必达法则解决最值问题 3
题型01 洛必达法则的直接计算
【解题规律·提分快招】
一、前言 在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。 二、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 三、法则形式 1、法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(3)，则：. 3、法则3（型）：若函数和满足下列条件： (1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
(3)，则：=. 【特别提醒】 （1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 （2）洛必达法则可处理型。 （3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则 （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 （5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。 四、适用类型的转化 （1）型的转化：或； （2）型的转化： （3）、型的转化：幂指函数类
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子 分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
2．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、填空题
3．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
题型02 洛必达法则解决最值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
一、单选题
1．（23-24高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子 分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子 分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
4．（2024高三·全国·专题练习），恒成立，求的取值范围
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
6．（2024高三·全国·专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
7．（23-24高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
8．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为），则．
(1)用洛必达法则求；
(2)函数（，），判断并说明的零点个数；
(3)已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
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