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专题02 复合函数以及嵌套函数的零点问题
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题型01 复合函数的应用 1
题型02 内外自复合型 5
题型03 内外双函数复合型 8
题型04 二次型因式分解型 11
题型01 复合函数的应用
【解题规律·提分快招】
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2.求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增增增增减减减增减
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案.
【详解】在单调递减，时，, 即,
另外，时，单调递减，在单调递增，
综上所述，的取值范围是.
故选：A
2．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论.
【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，
当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则；
当时， 要使（，且）在区间上单调递增，
则，则，综上，.
综上，实数的取值范围为.
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造并研究其奇偶性和单调性，由等价于，结合对数的性质即可确定参数范围.
【详解】令，易知其定义域为R，
，
所以为奇函数，且在上、、均递增，
所以在上单调递增，且函数在R上连续，故在定义域上递增，
由，
所以，显然该式在上恒成立，
所以.
故选：D
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.
【详解】的值域为，
当时，
则，为增函数，，
而时，为增函数，
此时，，不符题意；
当时，
则，为减函数，，
而时，为减函数，
此时，，
因为的值域为，当且仅当时，满足题意，
此时，，则，整理得，，解得；
综上，时满足题意.
故选：A
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为．关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．是单调递减函数
【答案】C
【分析】，求函数的值域可判断A；由与的关系可判断B； 由是增函数且恒为正数，知的单调性，可判断D，进而可判断C.
【详解】由，
因为，所以，可得，即，故A项错误；
因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B项错误；
，因为是增函数，是增函数且恒为正数，所以是减函数，故是增函数，故D项错误；
由D项可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C项正确．
故选：C.
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得函数在上递增，利用可得的值.
【详解】解法1：因为，
所以，
所以关于对称.
因为，函数在区间上的值域为，所以.
解法2：因为在上递增，
所以.
解法3：取，因为在上递增，
所以.
故选D.
题型02 内外自复合型
【解题规律·提分快招】
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·期中）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别讨论及，根据的值，确定实数的取值范围.
【详解】若，则，
而当时，当时，所以无解；
若，则或，
其中有一根为，则由题意知无解，
而当时，当时，所以的值域为，
从而，解得，所以.
综上，的取值范围是，
故选：A.
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出.
【详解】当时，，则，
当时，，
则，
当时，，，
所以，
当时，，
因为单调递增且时单调递增，
所以在单调递增，且，
故画出函数图象如下图所示，
函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点，
所以由图象可得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个不同的零点转化为和有个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度.
3．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案.
【详解】设，则化为，
又，
所以，，
作出函数的大致图象，如图
由图可得，当时，有两个根，，
即或，此时方程最多有5个根；
当时，有三个根，
即或或，
此时方程最多有6个根；
当时，有两个根，即或，
此时方程有4个根；
当时，有一个根，即，
此时方程有2个根；
综上，方程的实数解的个数至多是6个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型03 内外双函数复合型
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解；
当时，有4个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，即 ，解得，
有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，无解，舍去，
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、填空题
2．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】令，根据函数解析式以及零点解得或，分析可知与、共有3个不同的交点，结合图象分析求解即可.
【详解】令，则，
若，可得，解得或；
若，可得，无解；
综上所述：或，即或，
由题意可知：与、共有3个不同的交点，
作出的图象，如图所示，
显然，可得或，
解得或，所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先通过导数研究的单调性与最值，结合换元法将问题化为的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可.
【详解】设，则，，得，
当单调递增，
当单调递减，
当时，函数取得最大值1，
如图1，画出函数的图象，
由，即，则恒过点，
如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，
则，得，即切点，所以切线方程为，
如图2，则与有2个交点，，
如图可知，若函数恰有三个零点，则，，
则，所以，
综上可知，．
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.
题型04 二次型因式分解型
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可.
【详解】记方程的两根为，
当时，恰好有三个互不相等的实根，
等价于与和共有三个不同的交点，
由图可知，此时有，
即，得；
当时，，恰好有三个互不相等的实根，
等价于与有三个不同的交点，
由图可知，此时，即，得.
综上，实数的取值范围为或.
故选：D

【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析.
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，将方程有8个不相等的实数根，转化为关于的方程有两个不相等的实根，设，根据二次函数图象的性质，得出，解不等式组即可求出实数的取值范围.
【详解】作出的图象如下，
设，则关于的方程化为，
观察图象知，直线与的图象最多有4个公共点，
即关于的方程最多有4个不相等的实数根，
而关于的方程有8个不相等的实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根且，
设，对称轴为，
则，即，
解得，所以实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：与复合函数有关的函数或方程问题，需运用整体思想，将所求方程看成是关于的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求参数的取值范围.
3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，且关于的方程有个不等实数根，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．在上单调递减
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】C
【分析】求导后，根据正负可确定单调性，进而得到最大值，知AB正误；设，将问题转化为方程有两个不等实根，根据的范围可构造不等式组求得结果.
【详解】对于AB，定义域为，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，B正确；
，A正确；
对于CD，当时，；当时，；且当时，；当时，；
大致图象如下图所示，
设，则方程可化为，
有个不等实根，方程有两个不等实根，且或；
当时，，此时方程仅有根，不合题意；
当时，，解得：，此时，与矛盾；
当时，，解得：，
即实数的取值范围为，C错误，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，求解本题的关键是能够通过换元法，将问题转化为一元二次方程根的分布问题；通过分析原函数图象确定一元二次方程根的个数及所处范围，进而构造不等关系求得结果.
二、填空题
4．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可.
【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解，
即与或的图象交点的横坐标，
当时，，则，
所以时，，所以在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，且；
作出函数的大致图象如下图所示：

所以当时，由图可知与无交点，即方程无解；
与有两个不同的交点，即有两个实数解；
当时，，
令，则，则，
作出大致图象如下图所示：

因为当时，与有两个不同的交点，
所以只保证与及共有四个交点即可，
所以只需，解得，
即可得正实数的取值范围.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解函数零点个数与方程根的问题时经常转化成函数图象交点个数问题，再结合三角函数图象性质限定出不等式取值范围，即可解得实数的取值范围.
一、填空题
1．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据符合单调性可得的单调性，再结合分段函数单调性列式求解.
【详解】因为在定义域内单调递增，且在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
若函数在区间上严格增，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
2．（24-25高三上·浙江·期中）若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性及指数函数、对勾函数的单调性求解.
【详解】可看作由函数与函数复合而成，
当时，因为为增函数，所以在上单调递增即可，由对勾函数的单调性，只需，解得，
当时，因为为减函数，所以在上单调递减即可，由对勾函数的单调性，只需，解得，
综上，的取值范围为，
故答案为：
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，则函数的零点个数为 个．
【答案】
【分析】令，得，再令，根据的解析式再分类讨论，即可求出，即或或，再画出的图象，数形结合即可求解.
【详解】令，得，
令，得或，
解得或或，
所以或或，
作出函数图象，如图所示：
由图象可知有个解，有个解，有个解，
所以共有个零点.
故答案为：.
4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，则函数零点的个数是 .
【答案】
【分析】令，得到或，进而作出函数的图象，数形结合即可得解.
【详解】令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，
所以的实数解有个，即零点的个数是个.
故答案为：.
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果.
【详解】作出函数的图象如图所示，
由，得或，
当时，有3个零点，
要使函数有7个零点，
则当时，，即与有4个交点，
结合图形可得，解得，
即m的取值范围为
故答案为：.
6．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，解得或，结合函数的图象即可得解.
【详解】令，
解得或.
函数的图象如下：
要使有3个不同的零点，则函数的图象与直线和一共有3个交点，
由图可知当，即时，函数的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合题意.
故答案为：.
7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围.
【详解】设函数，的值域为A，函数，的值域为B，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.
当时，，因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
当时，，
①当时，，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，综合得.
故答案为：.
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】当时，根据零点的定义直接可得解；若函数恰有3个零点，设，分情况讨论和时函数的图象，进而讨论与的解的情况，数形结合即可得解.
【详解】当时，，
当时，恒成立，
设，令，可解得，
令，即，解得或，
即当时，函数有个零点；
当时，由可知，
当时，恒成立，
所以令，，即，方程有个解，
即当时，函数有个零点，不成立；
当时，当时在上单调递增，在单调递减，
且时，，
此时函数图象如图所示，
令，解得或，
即或，
又有且只有一解，则只能有两个解，
即，
解得，
故答案为：，.
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为
【答案】
【分析】令，则或，先作出函数的图象，即可得出方程和方程实根的个数，进而可得出方程实根的个数，再结合函数的图象即可得解.
【详解】因为函数有9个不同的零点，
所以方程有9个不同的实根，
，
令，则或，
，
如图，作出函数的图象，
由图可知，方程有个不同的实根，
方程有个不同的实根，
因为所以方程有个不同的实根，
如图，作出函数的图象，
由图可知.
故答案为：.
10．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果.
【详解】当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，为，
作出与在上的图象如图所示：
当，时，，此时，
此时，
因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数的零点转化为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因为，
先利用指数函数与对数函数的性质作出函数在区间上的图象，
又当时，，
即每过两个单位，将的图象向右平移个单位，同时将对应的坐标变为原来的两倍，
再作出函数的图象，如图所示：

由图象可得：，，，，，
则，
因为在区间内的所有零点的和为16，
所以，得，结合图象，可得实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出的大致图象，从而利用数形结合即可得解.
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题型01 复合函数的应用 1
题型02 内外自复合型 3
题型03 内外双函数复合型 3
题型04 二次型因式分解型 4
题型01 复合函数的应用
【解题规律·提分快招】
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2.求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增增增增减减减增减
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为．关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C．不是周期函数 D．是单调递减函数
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
题型02 内外自复合型
【解题规律·提分快招】
对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·期中）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（ ）
A． B． C． D．
题型03 内外双函数复合型
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数，若有6个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为 ．
3．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 ．
题型04 二次型因式分解型
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（）
A． B．
C．或 D．或
2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，且关于的方程有个不等实数根，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．在上单调递减
C．的取值范围是 D．的取值范围是
二、填空题
4．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 .
一、填空题
1．（23-24高三上·上海静安·开学考试）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为 .
2．（24-25高三上·浙江·期中）若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，则函数的零点个数为 个．
4．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，则函数零点的个数是 .
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）设是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则的取值范围是 ．
6．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是 .
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为
10．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ．
11．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是 .
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