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专题02 基本不等式求最值
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题型01 配凑法 1
题型02 常数代换法 3
题型03 变形后常数代换法 6
题型04 消元法 8
题型05 齐次化求最值 10
题型06 双换元法 11
题型07 与其他知识点交汇 13
题型01 配凑法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得最值.
【详解】因为，
所以．
当且仅当，即时取等号，
即最小值为，
故选：B.
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（ ）
A．命题与均为真命题
B．命题与均为真命题
C．命题与均为真命题
D．命题与均为真命题
【答案】B
【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断，利用基本不等式求出最大值判断即可得解.
【详解】，则，当且仅当时取等号，为真命题；
当时，，当且仅当时取等号，为假命题，为真命题，
所以命题与均为真命题，B正确.
故选：B
3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】换元，利用对勾函数的单调性求出最小值.
【详解】令，则，
而函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值.
故选：D
4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值.
【详解】因为，，，则，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：A.
5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】将目标式化为，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由，则、，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
故选：C
题型02 常数代换法
【解题规律·提分快招】
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】由条件可知：
所以，
当且仅当，即取得等号，
所以的最小值为25，
故选：D
2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值.
【详解】由，得，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：B
3．（24-25高三上·重庆·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的巧用即可得最值．
【详解】因为正实数，满足，
则，
当且仅当即时，等号成立．
故选：B．
4．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值
【详解】因为，所以，
所以，
又，，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，的最小值是4.
故选：B.
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．5 B．2 C．9 D．8
【答案】C
【分析】根据，由，结合基本不等式求解.
【详解】解：因为正实数x，y满足，
所以，
即，
因为，
当且仅当，即或时，等号成立，
所以，解得，
所以的最大值为9，
故选：C
题型03 变形后常数代换法
【解题规律·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设，若，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
【答案】B
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】，且，
且，
，
当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9．
故选：B．
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当即取等号，
故最小值为25，
故选：B
3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．13 B． C．14 D．
【答案】A
【分析】由，利用基本不等式即可求.
【详解】，，又，且，
，
当且仅当，解得时等号成立，故的最小值为13.
故选：A
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由题意可知，进而利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，所以.
，
当且仅当，即时等号成立.
于是，即.
故的最小值为.
故选：B.
5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，且，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
题型04 消元法
【解题规律·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【分析】由解出a，代入，进行适当变形，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】解：因为正数a，b满足，
所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
故选：D
2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】由题设可得，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】由，可得，故，
则，
当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9.
故选：A
3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知，为正实数且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可得，将化简再利用基本不等式中“1”的应用即可得出结果.
【详解】由可得，可得，
所以
；
当且仅当时，即时，等号成立；
又可知符合题意.
故选：D
题型05 齐次化求最值
【解题规律·提分快招】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意，，而，
当且仅当，即时，等号成立，所以．
故选：C
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
二、填空题
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可.
【详解】，令，所以，
则，
当且仅当，即，时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
题型06 双换元法
【解题规律·提分快招】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角换元有，即可求其最小值.
【详解】由题设，令且，
所以，显然的最小值为，
当且仅当，即时取最小值.
故选：D
2．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】解法（1）采用三角换元，令，再结合余弦函数的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可；
【详解】解法（1）：由，
令，即，，
，即最大值为2；
解法（2）：
当且仅当，即时取等号，
，即最大值为2，
故选：A.
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足且，则的最小值为
【答案】
【分析】构造，将代数式换元为，由，得到，再用基本不等式得到最小值.
【详解】设，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
故答案为：
4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为实数，满足，
化为，
令，，则．
联立可得，，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.
题型07 与其他知识点交汇
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由四点共面，可知，然后利用基本不等式求解的最大值即可.
【详解】因为四点共面，所以，则，又，
所以，当且仅当时取等号．
故选：B
2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由双曲线方程及渐近线方程可得，再根据“1”的代换结合基本不等式即可求解.
【详解】由题可知，则，
故，
当且仅当，，即，时，等号成立.
故选：.
二、多选题
3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】设，利用向量线性运算表示出，即可得到，判断选项AB，然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD.
【详解】由题知，设，
则
，
因为，
所以，则，且，A正确，B不正确；
，
当且仅当时，等号成立，C正确；
又
，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD
三、填空题
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的前项和为，当取最小值时， .
【答案】3
【分析】根据求得，代入结合基本不等式分析最值即可.
【详解】因为，
当时，，
又当时，，满足，故；
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值.
故答案为：.
5．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ．
【答案】 8 /
【分析】根据正余弦定理边角互化可得，进而根据三角形面积公式可得，即可根据基本不等式求解最值，利用余弦定理可得，即可求得答案.
【详解】由和正弦定理可得，
故,
，
，故,
当且仅当，即时取等号，
，故，
此时周长为，
故答案为：8，
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】判断给定函数的奇偶性和单调性，利用函数性质求出的关系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由，定义域为，，
则，
所以函数为奇函数，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由，则，
所以，即，则，
又，，则，，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
（1）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件；
（2）利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
一、单选题
1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】借助“1”的代换，利用基本不等式求最值可得.
【详解】若正实数x，y，且，
则
，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故选：D.
2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得.
【详解】由的图象恒过定点，可得，，则；
因，
当且仅当时等号成立，
由，可解得，
故当时，的最小值为8.
故选：B.
3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】结合条件信息可判定此题用基本不等式的乘“”法求最值，同时需注意对所求式子的转换.
【详解】已知正数，满足，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又，即时，取得最小值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：基本不等式是求最值的常用方法，使用时注意“一正二定三相等”.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可.
【详解】因为，可得，
又因为，即，整理可得，
且，，则，可得，
当且仅当，即，时，所以取得最大值．
故选：C.
5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，代入函数，得到，再利用不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为函数，所以，
即，解得，
所以，
当且仅当时取等号.
故选：A
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【分析】将看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.
【详解】
设，，故，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
所以，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】A
【分析】由条件可得，，变形代数式，利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，
又，
因为，，
由基本不等式就可得，
当且仅当，时等号成立，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据题意得，然后利用换元法以及平方和不等式可得最小值.
【详解】因为，所以，
令，所以，
因为，所以
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据和的立方公式计算化简得出得 ，换元得出 ，再结合基本不等式得出 ，最后计算求解即可.
【详解】因为，故原题干等式可转化为 ，得 ，
设 ，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 ，又因为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立.
因此 ，即 2，所以的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：
解题的关键点是利用换元，结合基本不等式得出关于的高次不等式即可求解.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.
【详解】由，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：B．
12．（2024高三·全国·专题练习）设均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，根据基本不等式证明，判断充分性，举例说明必要性不成立，由此判断结论.
【详解】因为均为正实数，所以若，
则
故，
当且仅当，，，即，，时等号成立，
所以充分性成立．
当时，可取，但此时，所以必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.
【详解】，由，
得，
令，且，
所以，有，
即，故，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键.
二、多选题
14．（2024高三·全国·专题练习）对任意，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，B，C运用均值不等式逐一判断即可，对于D，可先将变形成，再利用三角换元通过三角恒等变形化成三角函数即可判断．
【详解】解析 因为，
由可变形为，解得，
当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，，
所以，
因此
，所以D错误.
故选：BC.
15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式，结合对数与指数运算和指对函数性质即可计算判断各选项.
【详解】A选项，依题意，，，且，
所以，当且仅当时等号成立.A选项正确.
B选项，由A选项分析可知，
所以，
当且仅当时等号成立.B选项正确.
C选项，，
当且仅当时等号成立.C选项错误.
D选项，，
当且仅当时等号成立.D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由换元法，结合对勾函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】，
令，则时，，
，函数在上单调递减，
若，则，
若，则，
故函数值域为．
故答案为：.
17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可求最小值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
故答案为：.
18．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 .
【答案】 6
【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得，的最小值可利用基本不等式可得.
【详解】
因为点为的重心，所以，则.
因为三点共线，，
所以，，所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.
故答案为：；6
19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ．
【答案】 .
【分析】结合图形，折叠后易得，设，利用，即可求得的表示式；依题意，求出的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时的值.
【详解】

如图2是图1沿着折叠后的图形，因，则，
因矩形的周长为24，则，对折后,易得,
设，则,在中，由勾股定理，，
整理得，即
的面积为，
因，则当且仅当时，，
此时时，.
故答案为：；.
20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ．
【答案】 /
【分析】令，化简得，令，，利用对勾函数的性质求解最值即可．
【详解】令，则，∵，∴，
∴，
令，，
由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
∵，，.
∴，，
∴函数在 上的最大值和最小值分别为和．
故答案为：；.
21．（2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】将代入可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，
所以.又，
所以，
当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 基本不等式求最值
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题型01 配凑法 1
题型02 常数代换法 2
题型03 变形后常数代换法 3
题型04 消元法 3
题型05 齐次化求最值 4
题型06 双换元法 4
题型07 与其他知识点交汇 5
题型01 配凑法
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（ ）
A．命题与均为真命题
B．命题与均为真命题
C．命题与均为真命题
D．命题与均为真命题
3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
5．（24-25高三上·天津红桥·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
题型02 常数代换法
【解题规律·提分快招】
利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
2．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
3．（24-25高三上·重庆·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
4．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．5 B．2 C．9 D．8
题型03 变形后常数代换法
【解题规律·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设，若，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．18
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
3．（2024·河北·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．13 B． C．14 D．
4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．12 B． C．16 D．
题型04 消元法
【解题规律·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
2．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（24-25高三上·山东枣庄·期中）已知，为正实数且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
题型05 齐次化求最值
【解题规律·提分快招】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 .
题型06 双换元法
【解题规律·提分快招】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏盐城·期中）若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足且，则的最小值为
4．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ．
题型07 与其他知识点交汇
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（24-25高三上·青海·期中）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
3．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的最小值是
三、填空题
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的前项和为，当取最小值时， .
5．（2024·河南新乡·一模）在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为 ，此时的周长为 ．
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，且，则的最小值为 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若正实数x，y，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
7．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
9．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知正数 满足 ，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高三·全国·专题练习）设均为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
14．（2024高三·全国·专题练习）对任意，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
16．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
17．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ．
18．（2024高三·全国·专题练习）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则 ；的最小值为 .
19．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知矩形的周长为24，将沿向折叠，AB折过去后与DC交于点P．设，则 （用x表示），当的面积最大时， ．
20．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ．
21．（2024·湖北·一模）已知正实数满足，则的最大值为 .
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