资源简介

专题08 圆锥曲线常考题型全归纳
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 直线和圆锥曲线的位置关系 1
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题 8
题型03 中点弦问题（点差法） 18
题型04 直线过定点问题 22
题型05 定点中的探究性问题 32
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题 41
题型07 线段、角度、面积定值问题 53
题型08 圆锥曲线与向量结合 63
题型09 定直线问题 73
题型01 直线和圆锥曲线的位置关系
【解题规律·提分快招】
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果.
【详解】
（1）由双曲线上一点处的切线方程为，
所以双曲线在点处的切线方程为，
化简可得.
（2）设切点，则，，
又点在直线上，代入可得，，
所以点均在直线上，
所以直线的方程为，即.
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
【答案】(1)，左焦点
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点；
（2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】（1）由椭圆，可得，则，
所以椭圆的离心率为，左焦点为.
（2）由椭圆，可得，即
当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切；
当时，联立方程组，可得，
即，
则，
所以直线与椭圆相切，
综上可得，直线与椭圆相切.
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与只有一个公共点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由等比三角形的高求得即可；
（2）通过和两类情况讨论即可.
【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，
而这个等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，
所以的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设的方程为.

由方程组可得.
（i）当时，解得，
此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点；
（ii）当时，，
由，解得或，
此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点；
综上，或或时，与的交点个数为1；
故的方程为或或.
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；
（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及求解即可.
【详解】（1）双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为
由,可得,
由双曲线过点,可得,
解得,
则双曲线的标准方程为;
（2）联立直线与双曲线方程，
化简得，则，
假设,
则，解得.
5．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)讨论过点的直线与的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可；
（2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，
而这个等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，解得（负值舍去），
所以的方程为．
（2）若直线的斜率存在，设的方程为．
由方程组可得．
（Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点；
（Ⅱ）当时，方程的根的判别式为，
（ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点；
（ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点；
（ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点．
综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，过上点作两条互相垂直的直线,，与的另一交点为，与的另一交点为.
(1)证明：是双曲线；
(2)若到直线的距离为，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）由双曲线的性质证明即可；
（2）设，直曲联立得到韦达定理，利用两直线垂直得到，再由点到直线的距离求出，进而求出直线方程；
【详解】（1）曲线的渐近线是轴，
联立，得或，
记，，
取，
设是曲线上任意一点，则，
因为
，
所以，所以是双曲线.
（2）

设，，
联立曲线可得，消去可得，
，
，
所以，，
因为，相互垂直，所以，即，
代入韦达定理并化简可得，
即，解得或，
当时，直线方程为，恒过点，不符合题意，舍去；
当时，直线方程为，由，解得或4，
此时直线方程为或.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法并与曲线联立得到韦达定理式，再利用垂直得到关系式，代入韦达定理化简即可.
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题
【解题规律·提分快招】
一、弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 二、三角形面积问题 直线方程： 三、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 四、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．
(1)求直线与的斜率之积；
(2)求而积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与椭圆的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得，即可根据斜率公式求解，
（2）根据弦长公式以及点到直线的距离公式，得三角形的面积表达，即可由基本不等式求解最值.
【详解】（1）由题可设直线：，，．
联立，消去，得．
当，即时，有，．
∴，，即，
可得，∴．
（2）由（1）可知．
又点O到直线l的距离，∴的面积．
设，则，∵，∴，
，当且仅当，即时等号成立，
∴的面积最大值为．
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆定义求出即可.
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出三角形面积，利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）依题意，右焦点，则左焦点，而，轴，
则，于是，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去并整理得，
，解得，
设，则
则面积，
令，则，且，
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点满足：．
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义即可得到，即可得到轨迹方程；
（2）根据题意，设直线为，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到面积的表达式，再由函数的单调性即可得到其范围.
【详解】（1）由，得，
所以动点E的轨迹是以，为焦点，为长轴长的双曲线，
而且，，，
所以所求轨迹方程为.
（2）
由题意可知且，∴四边形ABCD为平行四边形，
直线AB，CD的斜率必不为0，所以可设直线为，，，
联立，
化简得，
所以，
解得，
∴，
原点O到直线的距离为，
所以，
令，又，则，
记，易知在单调递增，
所以当，即时，有最小值6，时，，
所以，
故平行四边形ABCD的面积的取值范围为．
4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点.
(1)若，求的值；
(2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
【答案】(1)3
(2)8
【分析】（1）求出抛物线的焦点及准线，利用给定的向量等式，结合抛物线定义求解.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用导数的几何意义求出直线方程及交点坐标，再求出三角形面积的函数并求出最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线，设，
由，得，即，
所以.
（2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由得：，，，
由，得，求导得，
则切线的方程为，即，同理，切线的方程为，
由，解得，即，
则点到直线的距离为，
由，化简得：，
因此，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为8.
5．（24-25高三下·山西晋中·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的横坐标为，求；
(3)设抛物线在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）当垂直于轴时可得点的坐标，利用长度为列方程求，由此可得抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线方程可得点坐标，求导可得抛物线在点处的切线方程，进而表示出点的坐标，利用点的横坐标为得到直线的方程，进而求出点坐标，得到的值.
（3）根据（2）可得点坐标，求出点处的切线斜率可得切线与直线平行，利用平行转化面积，表示的面积即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，．
当AB垂直于y轴时，点，，
此时，即，
所以抛物线C的方程为．
（2）由题意得，，直线l的斜率存在．
设直线l的方程为，，．
联立，得，
所以，，则．
将代入直线，得，则AB的中点．
因为，所以，，
则直线的方程为，即．
同理可得，直线的方程为，
所以，，
所以．因为，则，所以，此时，，
所以直线的方程为，代入，得，
所以，所以．
（3）由（2）知，，，
所以直线PQ的方程为，
代入，得，所以，所以为的中点.
因为抛物线在点处的切线斜率为，
所以抛物线在点处的切线平行于.
又因为为的中点，所以．
因为直线的方程为，
所以．
又到直线的距离，
所以，
当时等号成立，
所以，
所以四边形的面积的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是得到点处的切线与直线平行，利用点为线段的中点得到，结合焦点弦和点到直线距离公式得到的表达式，从而得到其最小值.
6．（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足．
(1)化简曲线的方程；
(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记点、，分析可知，曲线是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，求出、的值，即可得出曲线的方程；
（2）分析可知直线的斜率存在且不为，设、，直线的方程为，可得出直线的方程，由直线与圆相切可得出，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出原点到直线的距离，利用基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】（1）记点、，
则，
所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设双曲线的方程为，则，，可得，，
所以，，
因此，曲线的方程为.
（2）由图可知，直线的斜率存在且不为.
设、，直线的方程为，

则直线的方程为，即．
因为直线与圆相切，所以，则．
由消去，化简得．
由题意，且（因为），
，所以或，
又原点到直线的距离为，
所以．
由或得，设，
，
因为，当且仅当时等号成立，
且，当且仅当时等号成立，
所以当时，．
所以当，即时，.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
题型03 中点弦问题（点差法）
【解题规律·提分快招】
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；； 将两式相减，可得；整理得：
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：．
(1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解；
（2）由点差法求解直线方程．
【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为．
（2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点，
∴，．
由，两式相减可得，
，
即，∴，
∴直线l的斜率，
∴直线l的方程为，
即．
2．（23-24高三上·陕西商洛·期末）直线：与抛物线：交于，两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）判断出直线过抛物线的焦点，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，根据列方程，求得，进而求得抛物线的方程.
（2）利用点差法求得的斜率.
【详解】（1）
因为M的焦点为，
且直线l：经过点，所以经过的焦点．
联立，得．
设，，则，
则，
解得．所以M的方程为．
（2）
设，，则，
两式相减，得．
因为，
所以l＇的斜率为.

3．（24-25高三下·湖北随州·阶段练习）已知椭圆.
(1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程;
(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
【答案】(1)（）.
(2)（）.
(3).
【分析】（1）设弦的两端点为，线段的中点为，由点差法可得，代入可得方程，联立求轨迹范围，由此可得结论，
（2）由（1），代入可得，联立求轨迹范围，
（3）由（1），代入，可得，利用点斜式求直线方程.
【详解】（1）设弦的两端点为，线段的中点为，
则有，.
两式作差，得.
因为，，，
代入后求得　①.
所以，所以.
联立可得，或
故所求的轨迹方程为（）
（2）由①式，得.
又因为，所以-.
整理得，
联立可得或，
故所求的轨迹方程为（）.
（3）由①式，得弦所在的直线的斜率，
又，所以
所以其方程为，即.
题型04 直线过定点问题
【解题规律·提分快招】
一、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可；
（2）法一：设所在直线方程为，联立，根据韦达定理代入求解即可；
法二：先讨论当直线的斜率不存在时，直线过点，再分析当直线的斜率存在时，设所在直线方程为
，联立，再根据求解即可.
【详解】（1）的焦点在轴上，为，
直线与轴的交点坐标为，
则，即
所以抛物线为
（2）法一：由题意可知所在直线斜率不为0，
设所在直线方程为，联立，化简可得：
，
则，
又
则，满足（*）式
即直线恒过点
法二：当直线的斜率不存在时，设，
所以，所以，所以直线的方程为；
当直线的斜率存在时，设所在直线方程为
，联立，化简可得：，
由题意可知即（*）；
由韦达定理知，
所以，
所以，满足（*）式；
所以所在直线方程为
综上，直线恒过点
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知点在离心率为的双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点坐标为.
【分析】（1）根据给定条件，利用离心率及双曲线所过点求出即可.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求出直线与轴交点横坐标即可推理得证.
【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，解得，
又点在双曲线上，则，解得，
所以的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，，则，
由消去并整理得，
，解得且，，
当直线与轴不重合时，，直线：，
令，得
，此时直线过定点，
当直线与轴重合时，直线为轴，也过点，
所以直线过轴上的定点，该定点坐标为.
3．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由椭圆短轴长的，离心率为，列方程组即可求得椭圆方程；
（2）设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程得到韦达定理，结合椭圆的对称性，可知定点在轴上，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点；
【详解】（1）因为椭圆的短轴长的，离心率为，
所以解得
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，则，
联立整理得，则，，，所以，
直线的方程为，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上．
当时，
，
即直线恒过定点．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是．
(1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积；
(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）由题意先求出双曲线方程，即可确定，进而设出直线方程求得坐标，即可求得答案；
（2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设其方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合化简，可得的关系，即可求得直线所过定点坐标，再说明直线斜率不存在时也过该定点，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知，
设，故，
则
，
当时，取到最小值，即，
又，则，
故双曲线方程为；
将代入可得，由于是双曲线在第一象限内的点，故，
又双曲线渐近线方程为，
不妨设QA方程为，联立，
解得，则,
设QB方程为，联立，得，
则，
由双曲线渐近线方程可知，则,
则为钝角，结合，可得，
故四边形OAQB的面积为；
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为，设，
联立，得，
则，
因为，故，
故
即，
可得
即得或；
当时，直线l方程为过点，不合题意；
当时，直线l方程为过点；
当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则可取，
，解得或，
时，直线l过点Q，不合题意；
时，直线l也过点，
综合上述，直线l过定点.
【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类题目，比如面积问题以及定值定点问题，解答的思路并不困难，难点在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，计算量较大，需要十分细心.
5．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程；
（2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则；
（3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点．
【详解】（1）曲线图象经过点，所以，所以，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由（1）知，当时，,所以的方程为，
联立，得，则，
由，所以弦．
（3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
，，，，
联立得，，
因此，．
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，得，
同理可得，
所以．
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3)求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
6．（24-25高三下·广西·开学考试）已知椭圆上一动点P到原点O距离的最小值为，最大值为椭圆E的左顶点为A，过A的两条直线，关于直线对称，，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，，与y轴分别交于为S，T.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)求的值;
(3)直线MN是否过定点 如果是，求出定点坐标;如果不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)动直线MN恒过x轴上的定点
【分析】（1）设，表示出，再利用椭圆的性质求出即可；
（2）由点斜式设出，的方程，得到，，利用点关于直线对称的关系求解即可；
（3）直曲联立，利用韦达定理表示出，化简方程可得直线过定点.
【详解】（1）设，则，
因为，所以，则，，
所以椭圆E的标准方程为；
（2）由（1）知，设，，
则点S的纵坐标为，点T的纵坐标，
设点是直线上异于点A的任意一点，
点是点C关于直线的对称点，
由得①
由得②
联立①②解得，代入直线可得，
又由点在直线上，有，
所以有，从而由，可得，
则；
（3）设，，
设直线，由，
消y得，
设，，所以，
，，
由（2）知，即，
即，
即
化简得，解得或舍去，
所以动直线恒过x轴上的定点
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能直曲联立，利用韦达定理表示出，得到直线所过定点.
题型05 定点中的探究性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则，
∴点F的坐标为，∴，
∴．抛物线C的方程为．
（2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点，
设直线AB的方程为（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
当时，点M的坐标为，满足，，
∴存在定点．
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．
①求证：为定值；
②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②以为直径的圆过定点，定点坐标为和．
【分析】（1）由题意得，求解即可；
（2）①设，，联立方程组由韦达定理可得，计算可得为定值；②设直线为，求得点坐标为，同理点坐标为，设定点坐标为，利用，可求定点坐标.
【详解】（1）由题意得，
解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）①设，，
由得：，
有，且，
所以
，
故为定值，定值为．
②设直线为，令，则，所以点坐标为．
同理点坐标为，
根据对称性可知，如果以为直径的圆过定点，那定点一定在轴上．
设定点坐标为，则，即，
由①知，故，
解得或，
故以为直径的圆过定点，定点坐标为和．
3．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为，点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在定点
【分析】（1）易知F的坐标，利用两点坐标表示距离公式求出p，可求解；
（2）易知直线的斜率存在且不为0，设直线方程，，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率，对化简计算，求出点M的坐标即可.
【详解】（1）由题知，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
（2）假设在上存在定点，使得.
当直线的斜率不存在或斜率为0时，不合题意；
设直线的方程为，与联立方程组，
消去并整理得，由，得且.
设，则，
从而
，
即，整理得，
此式恒成立，所以.
故在上存在定点，使得.
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.
【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，
因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，
又点在双曲线上，所以，整理得：
因为的面积为8，所以，则，
故双曲线的方程为；
（2）由（1）可得，所以为
当直线的斜率存在时，设方程为：，，
则，所以，则
恒成立，所以，
假设在轴上是否存在定点，设，则
要使得为常数，则，解得,定点，；
又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，
若，则，符合上述结论；
综上，在轴上存在定点，使为常数，且.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.
5．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
(1)求的方程；
(2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
(3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，结合右焦点到一条渐近线的距离为1求解即可；
（2）设直线，联立双曲线方程可得交点坐标，再根据点到直线的距离结合弦长公式与三角形面积公式求解即可；
（3）设，可得，再结合可得，进而根据点到线的距离公式，结合双曲线的方程求解即可.
【详解】（1）因为双曲线实轴长为，故，，的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）由题意可知四边形为平行四边形，其面积，
由题意可得直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为直线与双曲线相切，故，
得，即，所以，直线方程为.
设直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则，
因为原点到直线的距离，
所以，所以.
（3）设，则，不妨设到直线的距离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
【点睛】方法点睛：
（1）弦长公式；
（2）设双曲线上一点，则可得为定值
6．（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，或
【分析】(1)由题可知，进而得到椭圆方程和离心率；
(2)假设存在定点，使得，原问题等价于满足，表示直线、的方程，可表示出，，据此计算可得点的坐标.
【详解】（1）因为以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形，
所以，即，，故椭圆的方程：，
，故离心率；
（2）假设轴上存在点，使得，
当时，所以，设，，
所以满足，设，，
由题意可知直线斜率存在且不为0，故,,
直线的方程为，所以当时，
即，
因为点与点关于轴对称，所以．
同理可得，
因为，，
所以，
因为，在椭圆上，即，，
，所以或，
故在轴上存在点，使得，点的坐标为或．
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题
【解题规律·提分快招】
一、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.
结论5 设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点.
(1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和 斜率之积是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)或或
(2)斜率之和为定值 斜率之积不是定值
【分析】（1）由题意结合抛物线定义可得曲线的方程，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系计算即可得；
（2）设出直线方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，即可表示出直线的斜率之和 斜率之积，并可借助韦达定理计算出其是否为定值.
【详解】（1）曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，
故曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，
故曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，
即有，
过点的直线与抛物线仅有一个公共点，
若直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：，
若直线与抛物线相切时，易知：是其中一条直线，
另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，设为，
联立可得：，
则有：，解得：，
故此时的直线的方程为：，
综上，直线的方程为：或或；
（2）若与交于两点，分别设其坐标为，且，
由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为0，
不妨设直线的斜率为，则有：，
联立直线与抛物线可得：，可得：，
即有，
根据韦达定理可得：，
则有：，
则，故为定值；故不为定值；
综上：为定值不为定值.
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、．
①当时，求的值；
②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①0；②为定值，定值为0．
【分析】（1）根据椭圆定义，结合是上一点,构造方程组，求解即可.
（2）①当时直线曲线联立，求出， 再求出即可，
②当变化时，设，，直曲联立，得，韦达定理得到 ，，再用斜率公式，结合韦达定理计算即可.
【详解】（1）由题意，得，解得，故的方程为．
（2）①当时，由题意得直线的方程为，联立，得，
即， 所以
②当变化时，是为定值0．
证明：设，，联立，得，
所以，即，且，
则，
所以
即为定值，定值为0．
【点睛】知识方法点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示成能应用韦达定理的形式，代入韦达定理结论，整理消去变量可得定值.
3．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
(1)求曲线T的方程；
(2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据定义确定曲线T为双曲线，求解a，b，c即可；
（2）（ⅰ）设直线方程与双曲线方程联立结合韦达定理线段的中点即为线段中点得解；（ⅱ）运用斜率公式表示，结合韦达定理求解.
【详解】（1）设圆，的交点为M，则，，
因为，所以，
故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线T的方程为
（2）（ⅰ）要证，
只要证线段的中点与线段的中点重合.
设，，其中，
由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为
因为直线l与圆相切，
所以，即
联立，消去y并整理得，
所以，
从而线段的中点横坐标为
又直线与直线和交点的横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
（ⅰⅰ）由条件，，即，
所以，
由题意知，，
所以
，
即为定值
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点；
（2）联立直线与曲线方程，得到一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题关系转化为韦达定理的形式；
（5）代入韦达定理求解.
4．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到点的距离是.动圆（点为圆心）与交于四个不同的点，且直线的斜率分别为.
(1)求的方程.
(2)设直线.
①判断点是否在双曲线上，并说明理由.
②若，求直线的一般式方程.
③试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)①不在，理由见解析；②；③.
【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式求出即可.
（2）①联立直线与双曲线方程，利用判别式大于0推理得证；②利用韦达定理，结合圆的性质求出即可；③用换可得是方程的三个不同实根，借助常数项即可得解.
【详解】（1）令双曲线的右焦点为，而其渐近线方程为，
依题意，，又右顶点到点的距离，而，解得，
所以的方程为.
（2）①点不在双曲线上.
由消去得，
，因此，
所以点不在双曲线上.
②设，则，，
则线段中点，由，得，
整理得，当时，，满足，
所以当时，直线的一般式方程为.
③由，得，
由直线过点，得，
，
因此是关于的方程的三个不同实根，
即此方程可化为，对比常数项得，
即，所以为定值，且该定值为.

【点睛】关键点点睛：构建三次方程，把视为该三次方程的三个不等实根是求出为定值的关键
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若O是坐标原点，，求的面积；
(3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)32
(3)证明见解析
【分析】（1）由双曲线离心率及点在双曲线C上可得双曲线方程；
（2）设，，将直线l与双曲线渐近线方程联立可得，
然后设直线l的倾斜角为，由，可得，即可得答案；
（3）由题意设直线l的方程为，设，，由题可表示出，再将直线l方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可完成证明.
【详解】（1）（1）由双曲线C的离心率为，且点在双曲线C上，
可得，解得，，所以双曲线C的方程为
（2）设，，由（1）可知双曲线C的左焦点为，所以可设直线l的方程为，
当时，易知，不合题意，故．
由，即，消去x，得，其中，
所以．
记直线l的倾斜角为，由，得，
由，得，解得（舍去）或，
所以，故．
（3）由题意设直线l的方程为，设，，
由直线AP：，得，则，
又，
所以
．
由，消去x，得，其中，
则，，，所以．
因为，所以，
所以，即为定值．
【点睛】关键点睛：对于解析几何中的三角形面积问题，可对面积进行适当分割，将其分为一边与坐标轴垂直三角形面积之和或之差；对于定值问题，常见思路为找到定值关于所设参数的表达式，再说明定值取值与参数无关.
6．（24-25高三上·福建南平·期末）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若的左，右顶点分别为，，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点，.
（ⅰ）若，求直线的方程；
（ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ），或；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求，由此可得椭圆方程；
（2）解法一：（ⅰ）设直线的方程为，利用设而不求法表示关系，解方程求可得结论；
（ⅱ）由（1）可得，由（ⅰ）可得，代入即可证明结论；
解法一：（ⅰ）设直线的方程为，利用设而不求法表示关系，解方程求可得结论；
（ⅱ）由（1）可得，结合设而不求结论代入即可证明结论；
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的左，右焦点分别为，，
所以，又椭圆的离心率为，
所以，
故，
于是，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解法一：（ⅰ）因为直线的斜率存在且不为，所以设直线的方程为，
代入，即，得，
整理可得，.
因为，所以设，，
则，.
又，，且，
故，
于是，化简得，，解得，.
所以直线的方程为：，即，或.
（ⅱ）由椭圆的定义知，，，故，，
于是，.
由于，故，
从而为定值.
解法二：（ⅰ）因为直线的斜率存在且不为，
所以设直线的方程为，
代入，即，得，
整理可得，.
因为，
所以设，，则，.
又，，且，
故
于是，
化简得，解得，
所以直线的方程为：，
即，或；
（ⅱ）由椭圆的定义知，，，
故，，
.
故为定值.
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
题型07 线段、角度、面积定值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：对任意的面积均相等．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，由可得，再联立切线方程用表示交点坐标，再消去参数即可得曲线的方程；
（2）通过联立方程证明线段和的中点重合，即可证明，可得，应用面积公式求得即可.
【详解】（1）解：设，联立消元得：，
．
由可得，
切线，同理切线，
联立，解得：，
消去得曲线的方程为：．
（2）解：设，
联立，消元得：，
所以线段和的中点重合，即，
又因为点到直线的距离为，
故
．
2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点.
(1)已知点到的距离比到轴的距离大1.
（i）求抛物线的方程；
（ii）经过点的直线与抛物线相交于，两点，若，求的方程.
(2)过点作抛物线的切线，与轴交于点，证明：平分.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）由题意与抛物线的定义建立方程，可得答案；（ii）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，可得答案；
（2）设出点的坐标，利用导数求得切线方程，从而求出点的坐标，利用平面向量的夹角公式，可得答案.
【详解】（1）（i）设点，由题可知，由抛物线定义知，
所以，则抛物线的方程为.
（ii）易知的斜率一定存在，设的方程为，设.
由消去得，
则，且，
，
由，化简整理得，解得（舍去）或，
所以，即的方程为.
（2）
证明：由题可知.设点，
对求导，可得，所以过点的切线方程为，
令，可得，即.
，，
由，则，
所以平分.
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，．
(1)求的方程；
(2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，由 点在上可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程可得点坐标，进而可得，进而可得，结合，可得，进而可得，即，进而可得.
【详解】（1）由题意可知，故，则两焦点的坐标为，．
由椭圆的定义得，故，
故，故C的方程为．
（2）
证明：由（1）得．设，，
直线的方程为，
联立方程组，得，
易知恒成立，由韦达定理得，故，
代入直线得，又是的中点，故，
故直线的方程为，又直线与直线交于点，故，
故，又因，故，故，
故直线的方程为，
因直线与直线交于点，故，
故，又，故，
故．设直线交直线于点，直线交于点,
故无论为何值，均有.
【点睛】关键点点睛：本题第二问证明，考虑到，只需证明即可，即证.根据题意设直线的方程为，进而根据题中条件求得点坐标即可.
4．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积
(3)若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由条件列出等式求出即可；
（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式及点到线的距离公式即可求解；
（3）设直线方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，进而得到方程，可求，同理求得，即可求解；
【详解】（1）由题意得，，解得，∴椭圆的方程为.
（2），∴直线：，联立方程组得，
设，则，
点到直线的距离
∴.
（3）由题意得，直线斜率存在，设直线方程为，，
由得，，∴.
∵，，∴，故直线方程为，
令得，，故，
同理得，，
∴，
∵，
∴.
5．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，.
(1)若A点坐标为，B点坐标为，证明：.
(2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值 若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在定点，使得为定值.
【分析】（1）易得=，再由求得双曲线方程，再分轴和直线l的斜率存在由求解；
（2）设点M的坐标为，，由轴和轴，求得，，再由l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理验证即可.
【详解】（1）由已知可得，且 ，
又 ，解得，
所以双曲线C的方程为.
当轴时，直线l的方程为，则，
成立；
当直线l的斜率存在时，，
整理得.
综上所述，成立.
（2）如图所示：
设点M的坐标为，，
当轴时，直线l的方程为，不妨设，，
则.
当轴时，直线l的方程为，代入，得，
不妨设，则，
令，得，.
当l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为，
代入，得，
A点坐标为，B点坐标为，
由韦达定理得，
对于，则，
，
，
综上：对于定点，使得为定值.
【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线中的定点、定值问题，可通过特殊位置得到该点（值），再论证一般性成立.
6．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)证明：点P为线段MN的中点;
(3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，定值
【分析】（1）根据题意结合双曲线性质求，即可得双曲线方程；
（2）设直线MN的方程：，直曲联立结合可得，再求交点坐标结合中点分析证明，注意分类讨论直线斜率是否存在；
（3）根据（2）中结论求和坐标原点到直线l的距离，进而求面积即可.
【详解】（1）设双曲线C的焦点坐标为，
因为实轴长是虚轴长的2倍，则，
又因为焦点到渐近线的距离为1，
则，可得，解得，，
所以双曲线C的标准方程：
（2）当直线l的斜率不存在时， P点为MN的中点；
当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：，
联立方程，得，
因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，
其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P，
所以，即：，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立方程，解得，
联立方程，解得，
则MN的中点坐标：，即，
代入得，，
所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上，
又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P，
可知点P为线段MN的中点；
综上所述：点P为线段MN的中点.
（3）由题意可知：，
坐标原点到直线l的距离：，
则，
代入得.
所以平行四边形OEPF面积为定值
【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数k、m的关系.
题型08 圆锥曲线与向量结合
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线右顶点坐标可直接得到的值，再结合渐近线方程求出的值，进而得到双曲线方程.（2）先设出点的坐标，写出直线的方程，运用向量共线，求出点、的坐标，接着计算用表示，结合是双曲线上异于顶点的一个动点，最后证明它们相等.
【详解】（1）解：由题意知解得
故双曲线的方程为．
（2）证明：设，，，直线的方程分别为，．
因为，，所以，，
所以，．
所以，．
故．
因为，所以．
2．（24-25高三上·北京西城·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的性质，离心率（为椭圆半焦距），三角形面积公式，再结合椭圆中来确定椭圆方程.
（2）先求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据垂直平分线的性质、正方形的性质来求解的值.
【详解】（1）已知，，，
则的面积，解得.
因为离心率，，所以.
又因为，，，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）将直线与椭圆联立得.
根据韦达定理，，.
计算，
从而得到线段中点坐标为.
然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为，
根据点斜式可得垂直平分线方程为，
进而得到点.
最后根据四边形为正方形时：
则
展开得
进一步化简为
将，代入得，，
整理得，解得.
3．（23-24高三下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．
(1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
(2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，点到准线的距离，利用求出可得答案；
（2）方法一，对两边平方得，设，设直线的方程为，结合抛物线方程得，再由可得答案；方法二，对两边平方得，设，设直线的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可得答案.
【详解】（1）准线为到的距离是．由对称性知，
是等腰直角三角形，斜边，
点到准线的距离，
，解得，
故圆的方程为；
（2）方法一，因为，
所以，
所以，
设在抛物线上，
则．
显然直线的斜率存在，
则直线的方程为，
将代入得，，
即，
令，得，
由得，，
因为（否则，有一个为零向量），
所以，代入式可得，
故直线经过定点．
方法二，因为，所以，
设在拋物线上，
则，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立消去得到，
，
由得，，
因为（否则，有一个为零向量），
所以，即，
因此就是．故直线经过定点．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
4．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的最小距离为1，斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的范围；
(3)设为的右焦点，为上一点，且．判断、、是否成等差数列，如果是，说明理由并求该数列的公差．
【答案】(1)
(2)
(3)是，理由见解析，该数列的公差为或．
【分析】（1）根据离心率及最小距离列方程求解；
（2）设而不求，利用点差法以及中点坐标公式求出，再利用在椭圆内列不等式求解即可；
（3）解出m，进而求出点P的坐标，得到，再由两点间距离公式表示出，，可证明，，成等差数列；先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）， ，，， 椭圆
（2）设，，线段的中点为，，．
将代入椭圆中，可得，
两式相减可得，，即，
．点在椭圆内，即，（），
解得．．①
（3）由题意得，设，，，则，，
由（2）及题设得，．
又点在上，所有，解得，从而，，
于是，同理．
所以，故，即，，成等差数列．
设该数列的公差为，则，②，
将代入①得，所以的方程为，代入的方程，并整理得．
故，，代入②解得．所以该数列的公差为或．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对两点间公式应用计算焦半径结合韦达定理计算求出公差.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．
(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；
(3)若直线过点，设，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围.
（2）设直线的方程为：联立直线与抛物线的方程得出点纵坐标之间的关系，再由，，得出、与点坐标之间的关系，对化简可求得的值.
（3）根据，，得出、与点坐标之间的关系，再根据在同一直线上，在同一直线上，得出，与点坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得的值.
【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，所以，
所以抛物线的解析式为．
又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点．
易知直线斜率存在且不为，故可设直线的方程式为.
根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率.
若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在，
则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾，
此时，所以直线斜率.
联立方程，得，
因为直线与抛物线有两个不同交点，所以，所以．
故直线的斜率的取值范围是且且.
即率的取值范围是.
（2）如图所示
设直线的方程为：由，得，
设，，
则，∵，，
，，
∴，，∴
，
.
（3）如图所示
设点，，则，，
因为，所以，故，由得，
设，，
直线方程为，
令，得①，由直线可得②，
因为③，
将①②代入③可得，
，
又由根与系数的关系：，，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解,
（2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解.
【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，
由已知得，
解得或，
斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：，
，
若，则可求得，
若，则代入得无实数解，
的方程为.
（2）设点，
由可得
故：，代入双曲线方程得：，
同理，，代入双曲线方程得：，
是一元二次方程的两个解，
，
由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：，
与双曲线联立得：，
由直线与双曲线交于右支得：，
解得：或，
又，
由于或，故或，
.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用
题型09 定直线问题
【解题规律·提分快招】
一、定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设椭圆方程为，将所过的点带入求参数，即可得方程；
（2）设，且，联立椭圆并应用韦达定理得，，点斜式写出直线，的方程，并联立求其交点横坐标，即可证结论.
【详解】（1）令椭圆方程为，则，可得，
所以椭圆方程为；
（2）由题意，设，且，
联立与椭圆，得，
所以，则，，
由，，联立可得，
所以，可得，
所以，
所以点G在一条定直线上，得证.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；
(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可；
（3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，
由左焦点坐标可知，
则，可得，，
双曲线方程为.
（2）由（1）知，，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
即，即，
所以三角形的面积为.
（3）证明：由（1）可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
联立，可得，
且，，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程，消去可得：
，
由，可得，即，
据此可得点在定直线上运动.

3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，点为抛物线的焦点，过作直线分别交抛物线于点和点，如图所示．当直线的斜率为1时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)延长交于点，延长交于点，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由题意可知直线的方程，联立抛物线与直线，结合韦达定理计算可求出的值，从而求出抛物线方程；
（2）设，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得韦达定理；由点坐标写出直线，直线的方程，联立结合韦达定理求解，可得点坐标，同理可得点坐标，从而得出直线的方程.
【详解】（1）因为抛物线，所以点．
当直线的斜率为1时，直线的方程为，设，
联立消去整理得，
所以．
由，得，即，
所以，即解得，
所以抛物线的方程为．
（2）设，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，消去整理得，
所以，同理可得，
所以直线的方程为，
即．同理可得直线的方程为．
联立，得，
即，即，
即，
所以，则点在直线上．同理可得点在直线上．
综上所述，直线的方程为．
4．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
(3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）运用椭圆定义，结合离心率公式计算即可；
（2）直曲联立，运用弦长公式计算即可；
（3）设直线l的方程为.直曲联立，借助韦达定理和中点坐标公式得到,根据重心坐标公式，求得，进而得，求出，代入椭圆方程，解得，得到直线即可.
【详解】（1）因为的周长为8，所以，得.
因为椭圆的离心率为，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意，，，所以直线的方程是，
设，.由得，
所以，，
所以.
（3）设直线l的方程为.
由得，.
设，，，线段AB的中点为H，
则，，.
若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以.
由，得，
解得，所以，
因为点P在椭圆上，所以，
解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上，
其方程为或或.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
5．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点P的坐标为，根据斜率乘积为定值化简即可；
（2）设直线l的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，化简弦长得，代入韦达定理式计算即可.
【详解】（1）设点P的坐标为，
由得，化简整理得，
所以曲线的方程为.
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l与曲线只有一个交点，不符合题意，
所以直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为，
设点，
联立方程组，整理得，易知，
，解得，
，解得或，
综上或，
因为，
同理由得，
化简整理得，
所以，
化简整理得，代入，
化简整理得，
所以点D在定直线上．

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再对化简得，代入韦达定理式计算即可.
一、解答题
1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.
(1)抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，结合抛物线的定义分析可知，即可得方程；
（2）由题意可得直线过点和，求直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理求中点坐标.
【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
设，则，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0），
设，线段的中点，
且直线过点和，
则直线的方程，即，
联立方程，消去x得，
则，可知，
将代入可得，
所以线段的中点的坐标为.
2．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
(1)写出弦长公式.
(2)求的方程；
(3)直线与交于两点，求面积的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接写出弦长公式即可；
（2）根据题意，列出关于的方程组，即可求解；
（3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求弦长，并求点到直线的距离，结合三角形的面积公式，以及基本不等式，即可求面积的最大值；
【详解】（1）
（2）设焦距为，依题意，解得，
又，所以，
所以的方程为．
（3）设，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，
则，
且点到直线的距离，
可得的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为.
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．
(1)求的方程；
(2)记斜率分别为，若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得C的方程.
（2）设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率坐标公式及建立方程即可求出值.
【详解】（1）依题意，，由双曲线的离心率为，
得，即，
解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，，设点，，
由消去得，
由已知，，
且，所以，
所以，，
而，
由，得，
即，
整理得，
即，则，
即，于是，
要恒成立，则，解得，满足，
所以.
【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中已经给出等量关系，只需代入化简整理即可.
4．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且
(1)求的方程;
(2)直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且
（i）求证：直线l过定点;
（ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由已知可得，，可求得双曲线方程；
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，与双曲线联立方程组，由根与系数的关系可得，，结合已知可得或，可得定点坐标；（ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：求得点的坐标，进而可得直线AQ的斜率，结合已知，可证结论.
【详解】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得，，
所以，所以的方程为：；
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，，
联立与，消去y，得，
所以，，
由，得，
整理得，
所以，
整理得，所以或，
当时，直线l的方程为，过点，不符，故舍去；当时，直线l的方程为，过点，
所以直线l过定点；
（ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：
因为，所以直线OP方程为：，
又直线BD方程为：，联立与，
解得，，即，
因为，所以直线AQ的斜率为，由，
得直线BD的斜率，所以
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程；
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得；
（2）对直线的斜率分等于0和不等于0讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，
解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）由（1）知，点，当直线的斜率为0时，设直线，
则，，且，即，
，不合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.

6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案；
（2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，，.
双曲线的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，，，
此时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点，
设直线的方程为：，
联立可得：，
当时，，
，，
，
令，则，令， 在，上单调递减，
又，所以，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是设直线，再将其联立双曲线方程，得到韦达定理式，计算相关向量，代入韦达定理式再利用换元法求出函数值域即可.
7．（2024·山西·模拟预测）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点.
(1)求双曲线的方程和焦距；
(2)若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线的概念及其焦距的概念即可求得答案；
（2）联立直线和双曲线即可得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理得到，，从而结合即可得到点的坐标，结合即可得到点的坐标，进而即可求解.
【详解】（1）由题意知得，，，，
∴双曲线的方程为，焦距为.
（2）由，可得，
则，
所以，.
因为直线与双曲线交于轴上方的、两点，
所以，解得，
所以，
所以，所以，由，
可得，解得，
所以，所以，
所以，于是.
8．（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交于，两点，分别过点作的垂线，交分别于两点（异于两点）.当的斜率不存在时，四边形的面积为6.
(1)求的标准方程；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知有、求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）设，，其中，应用分析法转化为证明，联立直线与椭圆求、，结合，进一步转化证明结论.
【详解】（1）由题意，得①，
当垂直于轴时，，
由题意，得②，
联立①②解得，
故的标准方程为.
（2）设，，
其中，
由题意，要证，即证，即证，
设直线和的斜率为，联立，
得，
即，
故，故，
同理得，当的斜率不存在时，显然满足题意；
当的斜率存在时，则，则，要证，
即证，
即证，
显然左右两式均等于，故.
【点睛】关键点点睛：第二问，设，，其中，应用分析法转化为证明为关键.
9．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】(1)，焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
(2)证明见解析
【分析】（1）结合给定条件求出轨迹方程，再判断形状即可.
（2）利用给定条件求出直线斜率，得到直线方程，联立求出交点横坐标，结合韦达定理求出定值，进而证明交点在定直线上即可.
【详解】（1）设点的坐标为，
因为，所以直线的斜率为，
因为，所以斜率为，
由已知得，整理得，
故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆.
（2）联立，消去整理得：，
如图，设，，，，
而，
直线，直线，
联立两直线得到，
整理得，
故直线与直线的交点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是结合题意求出直线方程，然后把交点横坐标联立表示出来，结合韦达定理求出定值，进而得到所要证明的结论即可．
10．（23-24高三下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得；
（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为，
所以该焦点到渐近线的距离为，
又双曲线实轴比虚轴长2，故，即，
故双曲线的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，
则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，
将代入，得，将代入，得，
则，；
当直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，
所以，得，
设动直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则，
因为原点到直线的距离，
所以，
又因为，所以，即，
故的面积为定值，且定值为.
【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线M上，且．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，并求出（E为的中点）的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设，根据题意结合距离公式可得，将代入方程即可得，，即可得方程；
（2）设点，结合角平分线的性质可得直线l的方程为，利用点差法可得点E的坐标为，即可得直线的方程，联立方程，结合韦达定理分析证明.
【详解】（1）设，其中．
由，得，
移项，得，
两边平方，整理得，解得（负值舍去），
故，即，则．
将代入上式中，整理得，解得（舍去）或，则．
所以双曲线M的方程为.
（2）因为直线的方程为，直线的方程为，即．
设点在直线l上，由角平分线的性质可得P到的距离等于P到的距离，
即，化简得或．
由题意，易知直线l的斜率小于0，所以不满足题意，
所以直线l的方程为．
假设双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，则，所以．
设，则．
因为点E在直线l上，所以①．
因为点在双曲线上，所以，
两式相减得，化简得，
即，即②．
联立①②式，得，所以点E的坐标为．
所以直线的方程为，即．
与双曲线方程联立，消去y得，
因为，
所以双线M上存在相异两点关于直线l对称，且．
故．
又，所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上 请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
(2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；
(3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．
【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，∴双曲线的方程为．
（2）双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；
当直线的斜率不为0时，设，
联立方程组，消得，易得，
设，则，可得，
∵，
则
，
即，可得与不垂直，
∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
（3）由直线，得，
∴，又，
∴
，
∵，∴，且，
∴，即为定值．

13．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，且过点．
(1)求的方程及离心率；
(2)已知为坐标原点，过的左，右顶点作直线分别交于点，且直线的斜率与直线的斜率之比为，过点作于点，问轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，离心率
(2)存在，
【分析】（1）根据椭圆和抛物线的标准方程列方程组求解即可；
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，将直线方程分别于椭圆联立解出坐标进而得到直线方程，由直线方程可知直线过定点，又于点，所以点的轨迹是以为直径的圆，故的中点到点的距离为定值.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点是抛物线的焦点，且过点，
所以，
解得，
所以的方程为，离心率．
（2）轴上存在定点，使为定值．
由的方程知，因为直线的斜率与直线的斜率之比为，
所以设直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，直线的方程为,
联立得，
所以，则，故，
同理可得，
所以，
,
当，即时，，
此时直线的方程为，
即，所以直线过定点．
当，即时，
若，则且且，故直线过定点；
若，则且且，故直线过定点，
综上直线过定点，
又于点，所以点的轨迹是以为直径的圆，故的中点到点的距离为定值，
所以轴上存在定点，使为定值．
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求解.
14．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆标准方程；
(2)若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点
【分析】（1）先确定的值，再根据点在椭圆上和的关系，可求的值，确定椭圆的方程.
（2）先设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，得到与，再设，利用可化简求出的值，得到点坐标.
【详解】（1）设椭圆E的标准方程为（），由，
则，得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为，
设，，
如图：
联立，得，
易知，则，，
由，
则，即，
即，
即
整理得
则
整理得，解得，
所以存在点，使得．
15．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
(1)求的方程；
(2)证明：为定值；
(3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）由离心率及所过点求椭圆方程；
（2）设点，且，得，点差法及斜率两点式求，即可证；
（3）设弦的中点，点重心,，联立直线与椭圆，应用韦达定理及重心坐标性质得坐标与m的表达式，代入椭圆求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由已知，得，解得，则椭圆的方程为；
（2）依题意，可设点，且，

点关于原点的对称点为，
点在上，，作差得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
，即为定值；
（3）设弦的中点，点重心,，

由，得，
，且，
的重心在轴上，，
，
则，
在上的投影向量相等，则，且，
则直线的方程为，
，得，又点在上，
，即
又，则直线的方程为
16．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
(1)求C的方程.
(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；
②.
【分析】（1）利用椭圆参数的关系即可求解椭圆方程；
（2）①利用设的直线与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度，，即可得到线段之积与直线系数的关系，同理计算出，再作比值，即可得到定值；
②利用弦长公式和面积公式可计算出，再利用换元法,化归到对钩函数来求值域即可.
【详解】（1）由已知得，
因为，又由，
可解得，
所以椭圆方程为：.
（2）
①设斜率不为0的直线的方程为，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
由于椭圆与直线交于两点，，
因此，所以或，
根据韦达定理可得，，
又因为，，
因此，
令的方程为，椭圆与直线交于两点，
联立直线和椭圆方程，化简得，
同理：，，
，
因此（为定值）．
②由于，又由于，
因此，
化简可得，设，由于，因此，
因此，
又由于当时，，因此，
因此，
所以面积的取值范围为．
17．（24-25高三下·山东·开学考试）已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于两点．
(1)求的方程；
(2)证明：直线与的斜率之比为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率结合给定条件求出双曲线的基本量，得到双曲线方程即可.
（2）对的斜率是否存在分类讨论，对目标式进行化简，最后结合韦达定理求解定值即可.
【详解】（1）因为，所以，
而，，解得，(其它根舍去)，
故的方程为，.
（2）如图，设，，
由题意得双曲线的左、右顶点分别为，
故，而必过，
而，，故，
当的斜率不存在时，的方程为，
联立方程组，，解得或，
故，，由斜率公式得，
，故，
当的斜率存在时，设的方程为，
而，，
故，
，
联立方程组，，
得到，
而与的右支交于两点，故，
，
由韦达定理得，，故，
代入到表达式中得到，
，
，
，
，
，
，
，
即此时直线与的斜率之比为定值，
综上，直线与的斜率之比为定值.
18．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围；
(3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设外接圆的半径为，，由已知可得，在中可得，设直线，与抛物线方程联立根据直线与曲线只有一个交点即可求解；
（2）直线的方程与抛物线方程联立可得，坐标，设，，可得，设，通过求导判断函数的单调性求最值即可求解；
（3）设，由导数的几何意义可得，的方程，联立可得的坐标，由得，设直线的方程为，与联立得，即可求解.
【详解】（1）
当点为时，设外接圆的半径为，，
则，，
在中有，，，
则，，即，，
设直线，与联立得，
令，又，得，
所以抛物线方程为；
（2）联立，整理得，解得或，
不妨设，，
设，，则，，
所以，
又，，，
设，，
则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，而，
故的取值范围是；
（3）由得，设，，
直线，，即，
令，得，同理，，
所以，
直线与直线两方程联立解得，
得，
又，由得，
得，
设直线的方程为，与联立得，
则，
所以，则直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键利用导数得到切线方程，从而求出，再计算出，再设直线方程，将其与抛物线联立，得到，从而解出值，得到定点坐标.
19．（2024·上海松江·一模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知条件列方程组求得得标准方程；
（2）设，由对称求得点坐标，代入椭圆方程可得，计算即可；
（3）设，直线的斜率为，直线的方程为，代入椭圆方程求得点C坐标，同理求得点D坐标，由三点共线得向量共线，由向量共线的坐标表示可得结论．
【详解】（1）椭圆的长轴长为，离心率为，
则，则，则，
则椭圆的方程为.
（2）设椭圆上点关于直线的对称点，
则，
解之得，则，
由在椭圆上，可得，
整理得，解之得或，
当时与点重合，舍去，
则.
（3）设，则，
又，则，直线的方程为，
由，整理得，
则，则，
又，则，
则，则，
令则，直线的方程为，
由，整理得，
则，则，
又，则，
则，则，
则，
，
由点和点三点共线，可得，
则，
整理得，则.

【点睛】专题08 圆锥曲线常考题型全归纳
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 直线和圆锥曲线的位置关系 1
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题 3
题型03 中点弦问题（点差法） 6
题型04 直线过定点问题 7
题型05 定点中的探究性问题 8
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题 10
题型07 线段、角度、面积定值问题 12
题型08 圆锥曲线与向量结合 14
题型09 定直线问题 15
题型01 直线和圆锥曲线的位置关系
【解题规律·提分快招】
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与只有一个公共点，求直线的方程.
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.
5．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)讨论过点的直线与的交点个数．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，过上点作两条互相垂直的直线,，与的另一交点为，与的另一交点为.
(1)证明：是双曲线；
(2)若到直线的距离为，求直线的方程.
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题
【解题规律·提分快招】
一、弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 二、三角形面积问题 直线方程： 三、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 四、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．
(1)求直线与的斜率之积；
(2)求而积的最大值．
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，求面积的最大值.
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点满足：．
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．
4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点.
(1)若，求的值；
(2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
5．（24-25高三下·山西晋中·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的横坐标为，求；
(3)设抛物线在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．
6．（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足．
(1)化简曲线的方程；
(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．
题型03 中点弦问题（点差法）
【解题规律·提分快招】
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；； 将两式相减，可得；整理得：
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：．
(1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程．
2．（23-24高三上·陕西商洛·期末）直线：与抛物线：交于，两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
3．（24-25高三下·湖北随州·阶段练习）已知椭圆.
(1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程;
(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
题型04 直线过定点问题
【解题规律·提分快招】
一、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知点在离心率为的双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标．
3．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点.
4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是．
(1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积；
(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．
5．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
6．（24-25高三下·广西·开学考试）已知椭圆上一动点P到原点O距离的最小值为，最大值为椭圆E的左顶点为A，过A的两条直线，关于直线对称，，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，，与y轴分别交于为S，T.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)求的值;
(3)直线MN是否过定点 如果是，求出定点坐标;如果不是，请说明理由.
题型05 定点中的探究性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．
①求证：为定值；
②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由．
3．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为，点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
(1)求的方程；
(2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
(3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题
【解题规律·提分快招】
一、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.
结论5 设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点.
(1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和 斜率之积是否为定值？并说明理由.
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、．
①当时，求的值；
②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
3．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
(1)求曲线T的方程；
(2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
4．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到点的距离是.动圆（点为圆心）与交于四个不同的点，且直线的斜率分别为.
(1)求的方程.
(2)设直线.
①判断点是否在双曲线上，并说明理由.
②若，求直线的一般式方程.
③试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若O是坐标原点，，求的面积；
(3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．
6．（24-25高三上·福建南平·期末）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若的左，右顶点分别为，，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点，.
（ⅰ）若，求直线的方程；
（ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.
题型07 线段、角度、面积定值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：对任意的面积均相等．
2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点.
(1)已知点到的距离比到轴的距离大1.
（i）求抛物线的方程；
（ii）经过点的直线与抛物线相交于，两点，若，求的方程.
(2)过点作抛物线的切线，与轴交于点，证明：平分.
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，．
(1)求的方程；
(2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有．
4．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积
(3)若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值.
5．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，.
(1)若A点坐标为，B点坐标为，证明：.
(2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值 若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由.
6．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)证明：点P为线段MN的中点;
(3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值.
题型08 圆锥曲线与向量结合
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：．
2．（24-25高三上·北京西城·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
3．（23-24高三下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．
(1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
(2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
4．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的最小距离为1，斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的范围；
(3)设为的右焦点，为上一点，且．判断、、是否成等差数列，如果是，说明理由并求该数列的公差．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．
(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；
(3)若直线过点，设，求的值．
6．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
题型09 定直线问题
【解题规律·提分快招】
一、定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；
(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.
3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，点为抛物线的焦点，过作直线分别交抛物线于点和点，如图所示．当直线的斜率为1时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)延长交于点，延长交于点，求直线的方程．
4．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
(3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
5．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．
一、解答题
1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.
(1)抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.
2．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
(1)写出弦长公式.
(2)求的方程；
(3)直线与交于两点，求面积的最大值；
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．
(1)求的方程；
(2)记斜率分别为，若，求的值．
4．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且
(1)求的方程;
(2)直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且
（i）求证：直线l过定点;
（ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系.
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程；
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
7．（2024·山西·模拟预测）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点.
(1)求双曲线的方程和焦距；
(2)若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积.
8．（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交于，两点，分别过点作的垂线，交分别于两点（异于两点）.当的斜率不存在时，四边形的面积为6.
(1)求的标准方程；
(2)证明：.
9．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
10．（23-24高三下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线M上，且．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，并求出（E为的中点）的值．
12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上 请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
13．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，且过点．
(1)求的方程及离心率；
(2)已知为坐标原点，过的左，右顶点作直线分别交于点，且直线的斜率与直线的斜率之比为，过点作于点，问轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆标准方程；
(2)若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
15．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
(1)求的方程；
(2)证明：为定值；
(3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
16．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
(1)求C的方程.
(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
17．（24-25高三下·山东·开学考试）已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于两点．
(1)求的方程；
(2)证明：直线与的斜率之比为定值．
18．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围；
(3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点
19．（2024·上海松江·一模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值.
20．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由.
21．（2024·四川德阳·模拟预测）已知抛物线：，过点的直线交于，两点.
(1)若，求的斜率；
(2)分别过，作的切线，相交于点.
①判断的形状，并证明；
②记，连接，并延长，与交于点，点，求面积的最小值.
22．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标；
(3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上.
23．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点.
（i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程；
（ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值.
24．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
25．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑