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专题10 概率与统计常考题型全归纳
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题型01 超几何分布与二项分布 1
题型02 独立事件的乘法公式应用 5
题型03 正态分布 6
题型04 条件概率、全概率和贝叶斯公式 8
题型05 概率与数列 11
题型06 概率中的决策性问题 14
题型07 独立性检验 17
题型08 线性回归与非线性回归 21
题型09 概率与统计综合 25
题型01 超几何分布与二项分布
【解题规律·提分快招】
一、二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 …………
由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 二、超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 01……
2.超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·青海·期末）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数；
(2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望；
(3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率．
2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合．
(1)若，求集合中恰有三个元素的概率；
(2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望．
3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.
(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
(2)若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望.
4．（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.
①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；
②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
5．（2025高三下·全国·专题练习）某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．
注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率．
(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望；
(2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值；
(3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？
6．（24-25高三下·河北·开学考试）12月4日是国家宪法日，为进一步弘扬宪法精神，推动宪法的全面贯彻落实，营造尊法学法守法用法的浓厚氛围，某部门对A，B两所学校就宪法相关知识做问卷调查，两所学校一共随机调查了500名学生，其中被调查的A校中回答优秀的同学占，得到以下的列联表：
回答不优秀 回答优秀 合计
A校学生
B校学生 200 100
合计 500
(1)根据以上数据，完成列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为学生对宪法知识的了解情况与两所学校普法宣传有关；
(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从B校学生中随机抽取50名，记回答优秀的人数为X，求使事件“”概率最大的k的取值.
参考公式：其中.
参考数据：
7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏.游戏的规则如下:每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分.已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立.
(1)求甲在一局游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
(2)若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖.现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择 请说明理由.
题型02 独立事件的乘法公式应用
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·河南·开学考试）某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束．已知李明答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立．
(1)求李明没通过面试的概率；
(2)记李明所答题目的数量为，求的分布列和数学期望．
2．（2025高三·全国·专题练习）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需踢第5轮了；
③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．
现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率．
3．（24-25高三上·山东临沂·期末）某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是．
(1)求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率；
(2)记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望．
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）投篮测试中，某同学投篮5次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立.
(1)当时，随机变量表示该同学投篮命中的次数，求的概率分布与数学期望；
(2)设该同学投篮5次恰好有3次投中的概率为，求的最大值及此时的值.
5．（2025高三·全国·专题练习）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．
(1)若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
(2)若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望；
(3)若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率．
题型03 正态分布
【解题规律·提分快招】
一、正态分布 1.定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布.
(1)求；
(2)若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率；
(3)若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望.
2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克.
(1)求的值；
(2)求；
(3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望.
3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
(2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望.
题型04 条件概率、全概率和贝叶斯公式
【解题规律·提分快招】
一、条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 二、条件概率性质应用 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 三、全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 四、贝叶斯公式及其应用 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，.
【典例训练】
一、解答题
1．（2025高三·全国·专题练习）抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．
(1)求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率；
(2)记取了3次后，取出一次性手套的次数为X，求X的数学期望．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？
说明：函数先减后增.
0.8858 0.8681 0.8508 0.8337
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率．
4．（2024·重庆·三模）重庆一中被评为“全国最美校园书屋”，学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议，重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
(1)设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为，求的分布列与数学期望；
(2)若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
5．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的.
(1)求甲任选一题并答对的概率；
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为，求的分布列和期望.
6．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高三、高三年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高三年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高三年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高三年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
题型05 概率与数列
【解题规律·提分快招】
一、马尔科夫链 ①基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件： （1）； （2）. 则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有 5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： ②解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）元旦期间，某商场举行促销活动，消费满500元有一次抽奖机会，抽奖规则如下：有个（，）个编号分别为1、2、3、…、的盒子，1号盒子里有1个白球、2个黑球，其余盒子有1个白球和1个黑球．所有抽奖从1号盒子开始，从1号盒子中任取一球，放入2号盒子中，再从2号盒子取一个球，放入3号盒子……依次进行直至抽奖机会用完，从每个盒子中抽取出白球就获得一张10元优惠券，记从号盒子中取出白球为事件（1、2、3…）
(1)某人购买1000元商品，有两次抽奖机会，求他抽到2张10元优惠券的概率；
(2)求证：为等比数列；
(3)某人购物5000元，求他抽到优惠券的金额的期望（精确到0.1元）．
2．（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.
(2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.
3．（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
4．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式．
5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为.
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)求；
(3)若存在，使成立，求整数的最小值.
6．（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：，．
题型06 概率中的决策性问题
【解题规律·提分快招】
决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均为，方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为，．该产品只有合格品才能出厂销售．已知每件产品未加工之前的成本为10元．
(1)若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率．
(2)已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元，若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产．
2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立.
(1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望；
(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但总得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好.
3．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项．
（i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
4．（2024·广东深圳·一模）新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断
A 0.8 0.1 0.1
B 0.7 0.1 0.2
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项．
①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
5．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游 冰雪运动 冰雪文化的主要举措 重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.
(1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率.
(2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元 60元的2种球组成，或由标有面值30元 50元 70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由.
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响．
(1)已知，，，
（i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；
（ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率．
(2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．
题型07 独立性检验
【解题规律·提分快招】
一、独立性检验的具体步骤 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
【典例训练】
一、解答题
1．（2025高三·全国·专题练习）某机构为了解2024年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数．
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
附，其中．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的列联表：
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性市民
女性市民
合计 500
(1)根据以上数据，完成列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
(2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取人，再从这名市民中抽取人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；
参考公式：，其中.
参考数据：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据：，其中.
4．（2025·山东潍坊·模拟预测）截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下：
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员
女性驾驶员 100 400
合计 400 1000
(1)请根据所给数据，完成上面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关；
(2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查．
（ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率；
（ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
5．（24-25高三下·云南玉溪·阶段练习）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为．
(1)请补充完整列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断学生男女性别是否对航空航天感兴趣的情况有差异．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“运输船”和1艘“转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了次，记左边剩余“转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“转移塔”的概率为，恰有2艘“转移塔”的概率为，求
①求的分布列；
②求；
③试判断是否为定值，并加以证明．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
题型08 线性回归与非线性回归
【解题规律·提分快招】
一、线性回归模型 1.线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 2.残差分析 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． （1）残差图 通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适． （2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适． （3）相关指数 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 二、非线性回归模型 解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程． 求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误． 1.建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40
体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4
并计算得：
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；
(2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）；
(3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.
(参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：)
2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲 乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：
种植面积亩 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14
模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72
残差 0.38 0.28
模型② 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46
残差 0.83 3.17
注：表中.
(1)将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；
(2)视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程.
参考公式：.
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
4．（24-25高三·上海·课堂例题）2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.
(1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据：
6 8 9 10 12
2 3 4 5 6
请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）；
(2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围.
5．（2025高三·全国·专题练习）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份 1 2 3 4 5
销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：.
(1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
题型09 概率与统计综合
【解题规律·提分快招】
1、概率与统计图表的综合应用题关键点：
（1）从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息；
（2）①进行概率与统计的正确计算；②此类问题中的概率大多是古典概型、条件概率，求解时注意运用对立事件的概率。
2、频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．
（2）频率分布直方图中数字特征的计算
①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；
(2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
(3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表：
男生 女生 合计
同意
不同意
合计
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由．
(3)经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中；
若，则，，．
3．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况．
星期t 1 2 3 4 5
销售量y（张） 218 224 230 232 236
经计算可得：，，．
(1)已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为．
①求、及；
②求及的最值．
参考公式：，．
4．（2024·四川德阳·模拟预测）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民
外地区网民 30 45
合计 20 100
(1)补全2×2列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“”的概率取最大值时的值.
附：，其中.
a 0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（日） 1 2 3 4 5
（万人） 45 50 60 65 80
(1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？
参考公式：，，，
参考数据：．
6．（24-25高三上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有4次游戏机会；
②依次参加游戏.
③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完.
④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金.
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：

(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏 并说明理由.
(2)在（1）的基础上，解答下列两问：
（i）求该运动员能参加游戏的概率.
（ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望.
一、解答题
1．（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务．无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据．如下：
车次序号 乘车人数
1-10号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7
11-20号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8
用频率估计概率．
(1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率；
(2)假设微公交乘车人数相互独立，记X为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求X的分布列及数学期望．
2．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）中俄广场舞健身操大赛作为中俄文化年活动内容的一部分，以“民相亲、增友谊、促交流、共发展”为宗旨，续写中俄友谊的新篇章.某城市通过微信端对100支参赛队伍进行投票海选，下面是根据投票结果绘制的票数频率分布直方图，且得票总数不低于40百张的队伍晋级全省复赛.

(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为队伍“晋级复赛”与平均年龄有关？
未晋级复赛 晋级复赛 合计
平均年龄不超过50岁
平均年龄超过50岁 10 55
合计
k
(2)将上述城市投票所得到的频率视为概率．现从全国所有参赛队伍中，采用随机抽样方法每次抽取1支队伍，抽取3次，记被抽取的3支队伍中“晋级复赛”的队伍数为若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差
附：
3．（2024·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
年份代码 1 2 3 4 5 6
中国夜间经济的市场发展规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4
(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2024年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2024年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
3.366 73.282 17.25 1.16 2.83
其中．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
4．（2025届烟台市、东营市高考诊断性测试（高三一模）数学试题）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立.
(1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求；
(2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列；
(3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.
5．（2024·新疆·二模）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值．
6．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某校高三学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表：
平均作业时长（单位：小时）
学业成绩优秀：
学业成绩不优秀：
(1)填写如下列联表，试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
时长 其他 总计
优秀
不优秀
总计
(2)常用表示在事件A发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高三学生女生中成绩优秀的学生占比，现从所有高三学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若，求．
附：．
7．（24-25高三上·海南·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高三学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示.
组别
频数 20 30 40 60 30 20
(1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率.
(2)高三学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加.
（i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：
方案1：每人均赠送25小时学习视频；
方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明.
参考数据：则，.
8．（24-25高三下·北京·阶段练习）某大学附属中学高三年级同时选考物理、化学、生物的学生共有400人，其中A类班型140人，B类班型180人，C类班型80人，现采用分层抽样的方法，从该年级的所有同时选考物理、化学、生物的学生中抽取20人，调查其各科在考试中“失误丢分多于5分”的情况，并按照班型进行各专项人数汇总，数据统计如表：
“失误丢分多于5分”人数 语文 数学 英语 物理 化学 生物
A类班型 4 1 2 2 1 3
B类班型 6 2 1 5 1 6
C类班型 1 2 1 1 2 1
若同一学生不同学科是否“失误丢分多于5分”相互独立，不同学生同一学科是否“失误丢分多于5分”也相互独立.
(1)在抽取的20人中，A类班型、B类班型、C类班型各有多少人；
(2)从上表中物理“失误丢分多于5分”的学生中随机选取2人，记为选出的B类班型的人数，求的分布列和数学期望：
(3)从A、B、C三类班型中各随机抽取一人，将其“失误丢分多于5分”的科目数量记作，，，直接写出它们的期望，，的大小关系.
9．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率．
10．（2024·山东烟台·二模）2024年1月1日起新修订的《中华人民共和国体育法》正式施行，这对于引领我国体育事业高质量发展，推进体育强国和健康中国建设具有十分重要的意义．某学校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：

(1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联；
性别 是否喜欢排球运动 合计
是 否
男生
女生
合计
(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为X，求使得取得最大值时的k（）值．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
11．（23-24高三上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
12．（24-25高三上·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
13．（2025高三下·全国·专题练习）某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．
注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率．
(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望；
(2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值；
(3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？
14．（2025·重庆·一模）年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自年月日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．
(1)现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于（约为），求的最小值．
15．（2024·江苏盐城·模拟预测）某学校有、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为．
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望；
(2)甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由．
16．（23-24高三下·重庆·阶段练习）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为.
(1)求；
(2)现采用不放回摸球，设表示“第次取出的是黄球”，证明：；
(3)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.并比较所求两概率的大小，说明其实际含义.
17．（2024·湖南长沙·二模）某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场.
(1)若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2)现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案.
18．（2025高三·全国·专题练习）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．
(1)若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
(2)若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望；
(3)若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率．
19．（2025高三下·全国·专题练习）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2025年的企业利润．
参考公式及数据：，．
20．（24-25高三上·广西·期中）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为．根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差．假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间的车辆数，求；
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在轴上从原点出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移动到点（胜利大本营）或点（失败大本营）时，游戏结束．若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
21．（2024高三·全国·专题练习）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高三年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，）
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 概率与统计常考题型全归纳
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题型01 超几何分布与二项分布 1
题型02 独立事件的乘法公式应用 11
题型03 正态分布 17
题型04 条件概率、全概率和贝叶斯公式 21
题型05 概率与数列 28
题型06 概率中的决策性问题 38
题型07 独立性检验 47
题型08 线性回归与非线性回归 56
题型09 概率与统计综合 65
题型01 超几何分布与二项分布
【解题规律·提分快招】
一、二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 …………
由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 二、超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 01……
2.超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·青海·期末）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数；
(2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望；
(3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率．
【答案】(1)，全校学生运动时长超过分钟的人数约为
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，结合频率分布直方图可求得全校学生中运动时长超过分钟的人数；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）计算出运动时长超过分钟的人数以及运动时间不超过分钟的人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，
则．
全校学生运动时长超过分钟的人数约为．
（2）由图可知，运动时长超过分钟的人数为，
运动时长不超过分钟的人数为，
由题意可知的可能取值为、、，
则，，，
所以的分布列为
所以．
（3）运动时长超过分钟的人数为，
运动时长不超过分钟的人数为，
所以从样本中任意选取名学生，
恰有名学生是“热爱运动者”的概率．
2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合．
(1)若，求集合中恰有三个元素的概率；
(2)若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而可求解期望.
【详解】（1）集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两个元素，
恰有一个是相同的，另一个是不同的，所以其概率为：．
（2）X可取值为2，3，4．，，．
所以X的概率分布列为：
X 2 3 4
P
X的期望为．
3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）某工厂的生产线上的产品按质量分为：一等品，二等品，三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品，二等品，三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.
(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；
(2)若质检员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）应用全概率公式计算求解即可；
（2）先根据对立事件求概率，再结合二项分布分别求出概率及分布列进而得出数学期望即可.
【详解】（1）设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为一等品”，，
表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为二等品”，，
表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则.
由已知，
所求的概率为.
（2）依题意有：随机变量的可能取值为，
由（1）知一次抽检后，设备需要调整的概率为，
依题意知，则，
故的分布列为：
0 1 2 3
0.729 0.243 0.027 0.001
所以：.
4．（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.
①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；
②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)①分布列见解析，；②.
【分析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，求出、的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率；
解法二：确定数学成绩超过分的学生人数，以及数学成绩超过分中总成绩超过分的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）①分析可知的可能取值有：、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求出的值；
②由题意可知，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，
记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，
所以.
即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；
解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，
所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为
（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
所以所有可能的取值为：、、、，
，，
，.
所以的分布列为：
.
②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.
5．（2025高三下·全国·专题练习）某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．
注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率．
(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望；
(2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值；
(3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)5
(3)应选择方案A．
【分析】（1）先由频率分布直方图，可以求出产品为合格品的概率，则，从而求出随机变量的分布列及数学期望；
（2）依题意可得，结合指数函数的性质求出的范围，即可得解；
（3）方案随机抽取产品与方案随机抽取产品都为相互独立事件，服从二项分布，由不合格个数的期望分别求出不合格的概率即可得出较好的方案.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为，
即抽取1个产品为合格品的概率为，从产品中随机抽取4个，合格品的个数的所有可能取值为，且，
则，，
，，
．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
则的数学期望．
（2）从产品中随机抽取个产品，全是合格品的概率为，
依题意得，
又在定义域上单调递减，，，，
所以，故的最大值为．
（3）设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是，
则随机抽取15个产品，不合格品个数；
设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是，则随机抽取25个产品，不合格品个数．
依题意得，，所以．
因为，所以应选择方案．
6．（24-25高三下·河北·开学考试）12月4日是国家宪法日，为进一步弘扬宪法精神，推动宪法的全面贯彻落实，营造尊法学法守法用法的浓厚氛围，某部门对A，B两所学校就宪法相关知识做问卷调查，两所学校一共随机调查了500名学生，其中被调查的A校中回答优秀的同学占，得到以下的列联表：
回答不优秀 回答优秀 合计
A校学生
B校学生 200 100
合计 500
(1)根据以上数据，完成列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为学生对宪法知识的了解情况与两所学校普法宣传有关；
(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从B校学生中随机抽取50名，记回答优秀的人数为X，求使事件“”概率最大的k的取值.
参考公式：其中.
参考数据：
【答案】(1)列联表见解析，能认为
(2)或
【分析】（1）根据列联表中的数据，结合题意，完善列联表，利用独立性检验的计算方法，可得答案；
（2）根据二项分布的概率计算公式，结合组合数的性质，建立不等式，可得答案.
【详解】（1）被调查的A校人数为，
其中回答优秀的A校人数为.
回答不优秀的A校人数为，
所以列联表为
回答不优秀 回答优秀 合计
A校学生 80 120 200
B校学生 200 100 300
合计 280 220 500
零假设：学生对宪法知识的了解情况与学校普法宣传无关，
根据列联表中的数据可以求得，
由于，根据小概率值的独立性检验可知，推断不成立，
即认为学生对宪法知识的了解情况与两所学校普法宣传有关.
（2）因为B校学生中回答优秀的频率为，用频率估计概率，B校学生中回答优秀的概率为，
所以，，，
若使事件“”概率最大，则，
，或.
7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏.游戏的规则如下:每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分.已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立.
(1)求甲在一局游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
(2)若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖.现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择 请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)甲选择时，获奖的概率更大，理由见解析.
【分析】（1）说明，求出概率得到的分布列，然后求解期望．
（2）首先分布计算当和时，计算得3分的次数，再根据二项分布求概率，比较大小.
【详解】（1）由题意知，则，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，
若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，
设局游戏中，得3分的局数为m，则，即．
因为，故此时获大奖的概率
，
同理当，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，
设局游戏中，得3分的局数为，则，即，
因为，故此时获大奖的概率
，
所以，则，
所以甲选择时，获奖的概率更大．
题型02 独立事件的乘法公式应用
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·河南·开学考试）某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束．已知李明答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立．
(1)求李明没通过面试的概率；
(2)记李明所答题目的数量为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，依据独立重复的计算规则即可求解.
（2）依题意列出分布列，并按定义求期望.
【详解】（1）李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，
故所求概率为.
（2）由题意得的取值为2，3，4，则
，，
．
故所求分布列为：
2 3 4
所以．
2．（2025高三·全国·专题练习）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为，则不需踢第5轮了；
③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．
现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）由题意知，由二项分布求出的分布列与期望；
（2）由题意知由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次，利用二项分布的概率公式求出相应的概率即可.
【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为．
所以X的分布列为，
，
．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
．
（2）设“乙队在第4轮点球结束时以胜出”为事件A，
由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次，
，
即乙队在第4轮点球结束时以胜出的概率为．
3．（24-25高三上·山东临沂·期末）某学校为缓解高三学生的学习压力，组织了一场“投篮换零食”的游戏，参与游戏的每名同学有两次投篮的机会且必须用完.投中一次即可获得一个零食，且每名学生每次投中与否相互独立.已知甲、乙两名同学参与游戏，甲同学每次投中的概率是，乙同学每次投中的概率是．
(1)求甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率；
(2)记甲、乙两名同学投篮结束后获得的零食个数总和是X，求随机变量X的分布列及其数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分别求出甲、乙同学获得一个零食的概率，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解；
（2）由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望.
【详解】（1）设“甲同学获得一个零食”为事件A，“乙同学获得一个零食”为事件B，“甲、乙两名同学恰好各获得一个零食”为事件C．
，
则；
所以甲、乙两名同学投篮结束后，两人恰好各获得一个零食的概率为；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
.
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）投篮测试中，某同学投篮5次，每次投篮命中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立.
(1)当时，随机变量表示该同学投篮命中的次数，求的概率分布与数学期望；
(2)设该同学投篮5次恰好有3次投中的概率为，求的最大值及此时的值.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)最大值为，
【分析】（1）求出的所有可能值，利用二项分布概率公式求出概率，列出分布列并求出期望.
（2）求出的函数关系，利用导数求出最大值.
【详解】（1）的所有可能值为：0，1，2，3，4，5，显然，
，
，，，
，，，
所以的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5
P
.
（2）依题意，，求导得，
当时，；当时，，
函数在单调递增，在单调递减，
所以当时，的最大值为.
5．（2025高三·全国·专题练习）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．
(1)若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；
(2)若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望；
(3)若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)．
【分析】（1）机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，分类讨论可求得机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率．
（2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，利用二项分布的概率公式可求得分布列，进而求得数学期望；
（3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，则某次跳动后距离起点处个单位为事件，分类讨论求得的概率，利用对立事件的概率关系求得的概率.
【详解】（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件，
则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后．
①前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为，（点拨：该情况下，机器狗经过3次跳动后，距离起点处为3个单位，机器狗需连续向起点处跳动3次）；
②每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，（提示：表示从6次跳动中选择3次向前跳，则剩下的3次向后跳，减去的2表示减去①包含的2种情况）；
所以．
（2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，
当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，，
所以，
当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，，
所以，
所以的分布列为
1 3 5
所以．
（3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，
则某次跳动后距离起点处个单位为事件，
则事件包含以下情况：
①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为．
②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，相应概率．
所以，
所以，（技巧：事件比较复杂，包含情况较多，考虑利用正难则反思想求解）
即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为．
题型03 正态分布
【解题规律·提分快招】
一、正态分布 1.定义 随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2.原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为250克，且每罐岩茶的净含量（单位：克）服从正态分布.
(1)求；
(2)若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买7罐，求恰有3罐的净含量不大于250克的概率；
(3)若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买100罐，设这100罐岩茶中净含量在内的罐数为，求的数学期望.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用正态分布求解相对应的概率即可，
（2）利用二项分布求解相对应的概率即可，
（3）利用二项分布的数学期望求解相对应的数学期望即可.
【详解】（1）因为服从正态分布，且，
所以，
.
（2）因为，所以恰有3罐的净含量不大于250克的概率为（或0.2734375）.
（3）依题意可得，
所以
2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）新疆是我国杏产量最大的地区，杏的种植面积近200万亩.杏子品种丰富，如库车小白杏、托克逊杏、木亚格杏等.新疆的杏子以其优良的品质和独特的风味而闻名，尤其是托克逊县，被誉为“中国早熟杏之乡”.已知该地区某种植园成熟的托克逊杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，.从该种植园成熟的托克逊杏中摘取了10个，它们的质量（单位：克）分别为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，且这10个托克逊杏的平均质量恰等于克.
(1)求的值；
(2)求；
(3)甲和乙都从该种植园成熟的托克逊杏中随机摘取1个，若摘取的托克逊杏的质量不大于100克，则不赠送库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于100克且不大于102克，则赠送1个库车小白杏；若摘取的托克逊杏的质量大于102克，则赠送2个库车小白杏.记甲和乙获赠库车小白杏的总个数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)100
(2)0.2
(3)分布列见解析，1.6
【分析】（1）根据平均数的概念计算求解；
（2）利用正态分布的对称性求解；
（3）先找出一个人获赠库车小白杏个数的情况，，，，再求出两个人获赠情况的分布列.
【详解】（1）.
（2）因为，所以，
所以.
（3）设1人获赠库车小白杏的个数为，则，，.
依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3 4
0.25 0.2 0.34 0.12 0.09
所以.
3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
(2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可；
（2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为：
，
即，，所以，
则，
所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为.
（2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个，
直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
P
所以的数学期望.
题型04 条件概率、全概率和贝叶斯公式
【解题规律·提分快招】
一、条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 二、条件概率性质应用 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 三、全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 四、贝叶斯公式及其应用 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，.
【典例训练】
一、解答题
1．（2025高三·全国·专题练习）抽屉里装有5双型号相同的手套，其中2双是非一次性手套，3双是一次性手套，每次使用手套时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性手套或都为非一次性手套），若取出的是一次性手套，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性手套，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．
(1)求在第2次取出的是非一次性手套的条件下，第1次取出的是一次性手套的概率；
(2)记取了3次后，取出一次性手套的次数为X，求X的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用条件概率公式及全概率公式进行计算即可；（2）通过求概率求得分布列，再求得数学期望.
【详解】（1）设“第1次取出的是一次性手套”为事件A，“第2次取出的是非一次性手套”为事件B，
则，，
所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，
第1次取出的是一次性手套的概率为.
（2）由题意知0，1，2，3，
，，
，则．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.366 0.47 0.1
则．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？
说明：函数先减后增.
0.8858 0.8681 0.8508 0.8337
【答案】(1)①0.0688；②0.2878
(2)
【分析】（1）①用全概率公式即可求出概率，②结合①的结果，用条件概率公式即可求解；
（2）设每小组检验次数为X，根据题意求出期望，总化验次数为，根据表格即可求出使得化验次数最少的k.
【详解】（1）设A表示患病，B表示检测结果显示患病，则
，
（2）设总居民人数为M，每小组检验次数为X，X的可能取值为1，
，，则，
总化验次数为，
根据附表计算，时，化验次数最少.
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室．粒子在室不旋转，在室、室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．现有两个粒子从室出发，先后经过1号门、2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)
【分析】（1）利用分类思想来研究这两个室内的粒子旋转状态，从而可求相应概率，从而可得分布列；
（2）利用全概率公式和贝叶斯公式来求相应概率即可.
【详解】（1）由题知的所有可能取值为，时分3类情形，
①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；
②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；
③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，
所以，
同理，
，
所以所求的分布列为
0 1 2
所求数学期望.
（2）设事件“两个粒子通过1号门后处于上旋状态的粒子个数为个”，，
事件“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”，
则，，
，，，
由（1）得．
故．
4．（2024·重庆·三模）重庆一中被评为“全国最美校园书屋”，学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议，重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
(1)设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为，求的分布列与数学期望；
(2)若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)小张同学第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析
【分析】（1）由已知可得到相应的概率和条件概率，再逆用条件概率公式求解分布列，最后用数学期望的定义可以求出期望；
（2）利用条件概率公式，比较此条件下两个事件的发生概率即可.
【详解】（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，则表示第次借阅“文献书籍”，.
则；，.
依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.
；
；
.
随机变量的分布列
X 0 1 2
P
所以.
（2）在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下：
第一次借阅“期刊杂志”的条件概率；
第一次借阅“文献书籍”的条件概率.
而，所以在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下，他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对条件概率公式的运用.
5．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的.
(1)求甲任选一题并答对的概率；
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用全概率公式即可求出题目答对的概率；
（2）由题意可求出的每个值对应的概率，即得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）记“甲任选一道题并答对”为事件，“甲知道答题涉及内容”为事件．
依题意，，，，．
因为事件与互斥，所以
．
（2）依题意，随机变量的可能取值为，
所以，，
，，
，；
所以的分布列：
X 0 1 2 4
P
所以．
6．（2025·山东聊城·模拟预测）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高三、高三年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高三年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高三年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)从高三年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；
(3)若从参与竞赛的学生中随机抽取人，求为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)；
(3)或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在中抽4人，在中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望；
（2）由全概率公式，即可求解；
（3）由题设得，利用二项分布概率公式及不等性质解决最大概率问题.
【详解】（1）由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人，
所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人，
则成绩优秀的学生人数可取，所以
；；.
所以分布列为
0 1 2
则期望.
（2）记事件：成绩优秀的学生，事件：高三年级的学生，
由已知条件可知，，
所以.
（3）记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，
由题意可知，，
所以，令，
则，
令，则，所以时，，
令，则，所以时，，
令，则，所以，
所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大.
题型05 概率与数列
【解题规律·提分快招】
一、马尔科夫链 ①基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件： （1）； （2）. 则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有 5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： ②解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）元旦期间，某商场举行促销活动，消费满500元有一次抽奖机会，抽奖规则如下：有个（，）个编号分别为1、2、3、…、的盒子，1号盒子里有1个白球、2个黑球，其余盒子有1个白球和1个黑球．所有抽奖从1号盒子开始，从1号盒子中任取一球，放入2号盒子中，再从2号盒子取一个球，放入3号盒子……依次进行直至抽奖机会用完，从每个盒子中抽取出白球就获得一张10元优惠券，记从号盒子中取出白球为事件（1、2、3…）
(1)某人购买1000元商品，有两次抽奖机会，求他抽到2张10元优惠券的概率；
(2)求证：为等比数列；
(3)某人购物5000元，求他抽到优惠券的金额的期望（精确到0.1元）．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)元.
【分析】（1）利用条件概率公式，结合古典概率列式计算得解.
（2）利用互斥事件的概率公式、条件概率公式列式，再利用等比数列定义推理得证.
（3）利用（2）的结论求出通项公式，再求出10次抽奖优惠券张数的期望，进而求出金额的期望.
【详解】（1）依题意，他抽到2张10元优惠券的概率是.
（2）依题意，，
则，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）令表示第次抽到优惠券的张数（1、2、3、…、10），，，
表示抽十次抽到优惠券的张数，，
由（2）知，，
因此
优惠券金额的期望为元.
2．（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.
(2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）应用古典概型结合独立事件的乘积公式计算求解；
（2）先应用独立事件乘法公式求概率，再应用错位相减法计算即可.
【详解】（1）设事件，，为分别为第次选择A，B，C套餐，，
如图得，
.
（2）由（1）知：
　①
则　②
②－①得到：
，
　
X 1 2 3 4 ．．． n
P ．．．
　　　③
则　④
③－④得：，
.
3．（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
【答案】(1)分布列见答案，数学期望
(2)证明见答案，.
【分析】（1）由题意掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，的可能取值为2，3，4，根据概率列出分布列即得；
（2）由题意可得，进而根据累加法和等比数列的前项和可得.
【详解】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，
由题意的可能取值为2，3，4，
，，，
故的分布列为：
2 3 4
数学期望.
（2）由题意知，
故，且，，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
∴当时，
，
当时，上式也成立，
综上：.
4．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望；
（2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解；
（3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案
【详解】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分；
既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 ；
（2）由这 人的合计得分为 分，
则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
则 ，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
，
，即
，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行.记甲同学第局赢的概率为.
(1)求乙同学第2局赢的概率；
(2)求；
(3)若存在，使成立，求整数的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可；
（2）由题意得时，，化简变形后可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求出；
（3）由题意得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而可求得答案.
【详解】（1）由题意甲第2局赢的概率为，
所以乙赢的概率为；
（2）由已知时，，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以；
（3），即，令，则，
因为和在上递减，
所以在上递减，
因为，所以时，，则在上递减，
显然，因此要求的最小值，即求的最大值，
又，为奇数时，，
为偶数时，，且在为偶数时，是单调递减的，，
所以是中的最大值，
所以，又在上是减函数，
所以，而，故
所以，
所以满足的整数的最小值为.
6．（2025·吉林长春·二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节．
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束．
①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）．
（参考数据：，．
【答案】(1)
(2)①；②50001元
【分析】（1）由，再根据正态分布的对称性计算即可得解.
（2）①当时，由题意构建递推式，再证明为等比数列，由此得到，累加进而得到，当时，即可求解.
②由题意可得，即可求解.
【详解】（1）由题意知，
则．
（2）①由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为．
，
则，
故为等比数列.
由，，故首项为.
因此，……，
将所有等式相加得，
所以，
当时，
综上.
②
元．
即估计游戏奖励的预算资金为50001元．
题型06 概率中的决策性问题
【解题规律·提分快招】
决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知某公司生产某产品采用两种不同的方案，每种方案均有两道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才为合格品，若某道加工工序不合格，则该产品为不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均为，方案二第一、二道加工工序合格的概率分别为，．该产品只有合格品才能出厂销售．已知每件产品未加工之前的成本为10元．
(1)若分别用方案一与方案二各自生产一件该产品，求生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率．
(2)已知方案一每件产品每道工序的加工成本为20元，售价为120元；方案二每件产品的第一、二道工序的加工成本分别为10元，30元，售价为120元，若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产．
【答案】(1)
(2)该公司应采用方案二进行加工生产．
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可求解两种方案中合格品的概率，即可求解，
（2）分别求解两种方案下的期望，即可比较大小求解.
【详解】（1）采用方案一生产的产品为合格品的概率为；
采用方案二生产的产品为合格品的概率为．
故生产的两件产品中只有一件产品为合格品的概率．
（2）用表示方案一每件产品的利润，则的所有可能取值为，
，
所以的分布列为
70
P
则．
用表示方案二每件产品的利润，则的所有可能取值为，，70，
，
则的分布列为
70
P
则．
因为，所以该公司应采用方案二进行加工生产．
2．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分；在处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立.
(1)设为小王同学在第一轮比赛的得分，求的分布列和期望；
(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米，但总得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意可知的可能取值，并求出对应的概率即可得出分布列和期望值；
（2）求出小王同学选择方法2对应的期望值，并与方法1进行比较即可做出决策.
【详解】（1）易知的可能取值为，
，
，
，
所以分布列为：
4 7 10
所以期望值.
（2）选取方法2参加比赛，则小王同学得分的可能取值为，
，
，
，
，
当时，即，即时，选择方法1；
当时，即，即时，选择方法2；
当时，即，即时，选择两种方法都一样.
3．（24-25高三上·云南德宏·期末）为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项．
（i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
【答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）
【分析】（1）由全概率公式求解即可；
（2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出的可能取值及其概率，即可求出的分布列，再由期望公式求出；
（ⅱ）记分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分”，求出的数学威望，由题意可得，解不等式组即可得出答案.
【详解】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．
，
即学生甲该题得分的概率为．
（2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，
， ，
，
所以的分布列为
则数学期望．
（ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：，
故的取值范围为．
4．（2024·广东深圳·一模）新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；
(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
选项 作出正确判断 判断不了（不选） 作出错误判断
A 0.8 0.1 0.1
B 0.7 0.1 0.2
C 0.6 0.3 0.1
D 0.5 0.3 0.2
若此题的正确选项为AC．求学生甲答此题得6分的概率：
(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为（）．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ．随机选一个选项；Ⅱ．随机选两个选项．
①若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．
②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
【答案】(1)
(2)① ，；②
【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式即可求解；
（2）对于①，结合答案是两个选项或三个选项，利用古典概型即可求解；
对于②，分别计算方案I和方案Ⅱ的数学期望，根据数学期望的大小关系列不等式可得的取值范围.
【详解】（1）设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，
所以；
（2）①记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
.
②对于方案I：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则的所有可能取值为0，2，3，
则，
，
，
所以；
对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：0，4，6，
则，
，
，
所以；
要使唯独选择方案I最好，则
解得：，故P的取值范围为．
5．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游 冰雪运动 冰雪文化的主要举措 重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.
(1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率.
(2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元 60元的2种球组成，或由标有面值30元 50元 70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由.
【答案】(1)
(2)选择方案1，理由见解析
【分析】（1）先求得4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球和顾客获得的消费券的总额为50元的种数，利用古典概型的概率求解；
（2）根据每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案，对于面值由40元 60元组成的情况，分，的两种方案，对于面值由30元 50元 70元组成的情况：分，，三种方案，然后利用离散型随机变量的期望求解.
【详解】（1）解：顾客所获得的消费券的总额为50元的概率为.
（2）根据该冰雪乐园的预算，每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案.
对于面值由40元 60元组成的情况：
如果选择的方案，因为100元是面值之和的最大值，所以期望不可能为100元；
如果选择的方案，因为100元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为100元；
因此可能的方案是，记为方案1.
方案1，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，
，
则.
对于面值由30元 50元 70元组成的情况：
可能的方案是，，分别记为方案2，方案3，方案4.
易知方案2，方案3，方案4每位顾客所获得的消费券的总额的期望依次增大，所以先研究方案3.
方案3，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，，则.
所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合该冰雪乐园的预算.
因为，所以比较方案1，方案3的方差.
，
.
因为，
所以选择方案1，即这4个球的面值为40元 40元 60元 60元.
6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响．
(1)已知，，，
（i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；
（ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率．
(2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)丙先参赛，理由见解析
【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案；
（2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断.
【详解】（1）（i）的可能取值为，
，，
.
所以的分布列为：
所以
（ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功，
所以概率为.
（2）若顺序为“乙甲丙”：
积分的可能取值为,
，，
.
所以.
.
若顺序为“丙甲乙”：
积分的可能取值为,
，，
.
所以
.
，
，
由于，所以，
所以丙先参赛.
【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖.
2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较.
题型07 独立性检验
【解题规律·提分快招】
一、独立性检验的具体步骤 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
【典例训练】
一、解答题
1．（2025高三·全国·专题练习）某机构为了解2024年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数．
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 47
合计
附，其中．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)，17500元．
(2)表格见解析，有关
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解a的值，进而给根据中位数的计算即可求解；
（2）完善二联表，即可计算卡方，进而与临界值比较即可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图得，
解得，
直方图中从左到右6组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，可得网购金额的中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，
故居民网购消费金额的中位数为17500元．
（2）根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，
列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 47 18 65
合计 62 38 100
零假设为：网购迷与性别无关
，
依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
即可以认为网购迷与性别有关．
2．（24-25高三上·青海玉树·阶段练习）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的列联表：
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性市民
女性市民
合计 500
(1)根据以上数据，完成列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
(2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取人，再从这名市民中抽取人进行座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；
参考公式：，其中.
参考数据：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)
【分析】（1）根据条件求出调查的女性市民人数及偏好铅酸电池电动车的女性市民人数，即可求出列联表，再计算，即可求解；
（2）利用分层比，得到男性市民人数及女性市民人数，记事件：有女性市民参加座谈，事件：恰有一名女性市民参加座谈，利用古典概率公式，求出，再利用条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）由题知调查的女性市民人数为人，
又被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，
所以偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为，偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为，
列联表如下图，
偏好石墨烯电池电动车 偏好铅酸电池电动车 合计
男性市民
女性市民
合计
又，
所以依据小概率的独立性检验，能认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关.
（2）因为，所以随机抽取的人中，男性市民人数为人，女性市民人数为人，
记事件：有女性市民参加座谈，事件：恰有一名女性市民参加座谈，
因为，，
所以.
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
(1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据：，其中.
【答案】(1)有关
(2)
(3)，，，
【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案；
（2）由题结合全概率公式可得答案；
（3）由题可得，后由期望与方差性质可得答案.
【详解】（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由给定的列联表，得：.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜，
由题可得，
由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为：
；
（3）依题意，喜欢网上买菜的概率为：.
从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，.
又，所以，.
4．（2025·山东潍坊·模拟预测）截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下：
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员
女性驾驶员 100 400
合计 400 1000
(1)请根据所给数据，完成上面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关；
(2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查．
（ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率；
（ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）完善列联表，求出的观测值并与临界值比对即可.
（2）（ⅰ）利用古典概率及条件概率公式计算得解；（ⅱ）求出的所有可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）列联表为：
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 300 300 600
女性驾驶员 100 300 400
合计 400 600 1000
的观测值为，
所以有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关.
（2）（ⅰ）抽取10名驾驶员中，女性驾驶员有（人），男性驾驶员有6人，
记有女性驾驶员参加问卷调查的事件为，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的事件为，
，，
所以.
（ⅱ）用频率估计概率，女性驾驶员且偏好新能源汽车的概率为，偏好燃油汽车的概率为，
的所有可能值为0，1，2，
被抽取的4名女性驾驶员恰有人参加问卷调查的事件为，则，
参加问卷调查的女性驾驶员中偏好新能源汽车的人数恰好为人的事件为事件，
，，
；
；
，
所以的分布列为：
0 1 2
数学期望.
5．（24-25高三下·云南玉溪·阶段练习）一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为．
(1)请补充完整列联表，并根据小概率值的独立性检验，来推断学生男女性别是否对航空航天感兴趣的情况有差异．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“运输船”和1艘“转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了次，记左边剩余“转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“转移塔”的概率为，恰有2艘“转移塔”的概率为，求
①求的分布列；
②求；
③试判断是否为定值，并加以证明．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，与性别没有关联
(2)①分布列见解析；②；③是定值，证明见解析；
【分析】（1）先计算，再根据独立性检验判断即可；
（2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的定值.
【详解】（1）由题意得：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 35 20 55
女生 15 30 45
合计 50 50 100
则的观测值为，
所以有的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联
（2）（ⅰ）由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：
故的分布列如下表：
0 1 2
P
（ⅱ）由全概率公式可知：
即：，所以，所以，
又，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即．
（ⅲ）可判断为定值，由全概率公式可得：
即：，又，所以，
所以
又，所以，所以
所以
可得的分布列
0 1 2
P
所以
为定值1
【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值.
题型08 线性回归与非线性回归
【解题规律·提分快招】
一、线性回归模型 1.线性回归 线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法． 对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为 其中，，，（，）称为样本点的中心． 2.残差分析 对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． （1）残差图 通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适． （2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适． （3）相关指数 用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：． 越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好． 二、非线性回归模型 解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程． 求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误． 1.建立非线性回归模型的基本步骤： （1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； （3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）； （4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； （5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； （6）消去新元，得到非线性回归方程； （7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·安徽·阶段练习）某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40
体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4
并计算得：
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；
(2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）；
(3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.
(参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：)
【答案】(1)答案见解析
(2)；
(3)答案见解析
【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可；
(2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程；
(3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价.
【详解】（1）由表可知：
所以= ,
因为与的相关系数接近1,
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由题可知： =
，
所以
（3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时，
预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，
或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，
比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.
2．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲 乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：
种植面积亩 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14
模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72
残差 0.38 0.28
模型② 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46
残差 0.83 3.17
注：表中.
(1)将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；
(2)视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程.
参考公式：.
【答案】(1)表格见解析，模型①拟合效果更好.
(2)
【分析】（1）根据回归模型①②分别代入求出相应每亩种植管理成本的估计值，再由实际值与估计值的差求出相应残差，然后分别计算残差平方和，比较大小判断拟合效果即可；
（2）根据残差的绝对值剔除异常数据，由参考公式求解可得经验回归方程.
【详解】（1）当时，
当时，，
完成表格如下：
种植面积/亩 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本/百元 25 24 16 14
模估计值 25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72
①残差 0.38 1.68 .02 0.28
模估计值 26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46
②残差 .84 1.61 0.83 3.17
注：表中.
模型①的残差平方和为5.0994，
模型②的残差平方和为24.4832，
因为，
即模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，所以模型①拟合效果更好.
（2）由题意及（1）可知，模型①中仅第四组数据残差的绝对值超过1.5，
故应剔除第四组数据，剔除后，
则，
所以
，
则，
所以所求经验回归方程为.
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
【答案】(1)模型①；
(2)
【分析】（1）根据残差点的分布情况分析即可.
（2）取对数，将非线性回归转化为线性回归，然后根据所给数据代入公式即可得回归方程.
【详解】（1）模型①更合适．
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
（2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则．
于是， ，
因此关于的线性回归方程为，即，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为．
4．（24-25高三·上海·课堂例题）2020年1月15日，教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.
(1)为了更好地服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据：
6 8 9 10 12
2 3 4 5 6
请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程（精确到0.01）；
(2)现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为、、，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围.
【答案】(1)说明见解析，
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据，求得相关系数，得到与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，进而求得，即可求的回归直线的方程；
（2）通过甲大学的考试科目数，得到，设通过乙大学的考试科目数可能的取值为0，1，2，3，求得相应的概率，求得，根据考生更希望通过乙大学的笔试考试，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）根据表格中的数据，可得
，，
，
，
，
可得相关系数，
故与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，
又由，
可得.
综上回归直线方程.
（2）通过甲大学的考试科目数，则，
设通过乙大学的考试科目数为，则可能的取值为0、1、2、3，
则，
，
，
，
所以，
因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，
所以，即，
又由，解得，
即为该考生更希望通过乙大学的笔试时的范围为.
5．（2025高三·全国·专题练习）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.
月份 1 2 3 4 5
销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2
该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：.
(1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）；
(2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？
【答案】(1)
(2)第9个月的月利润预报值最大.
【分析】（1）将非线性回归方程问题转化线性回归方程问题，根据最小二乘法求解即可.
（2）先求得的表达式，然后利用导数来求得最值问题.
【详解】（1）令，则，
，
，，
所以关于的回归方程为.
（2）由（1）知，
，
令（），
（），
令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
令，得，
所以（）在处取得极大值，也是最大值，
所以，
所以第9个月的月利润预报值最大.
题型09 概率与统计综合
【解题规律·提分快招】
1、概率与统计图表的综合应用题关键点：
（1）从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息；
（2）①进行概率与统计的正确计算；②此类问题中的概率大多是古典概型、条件概率，求解时注意运用对立事件的概率。
2、频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．
（2）频率分布直方图中数字特征的计算
①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；
(2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
(3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值．
（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值；
（2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值.
【详解】（1）由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，
由题可知：，解得，
所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：
．
所以，.
（2）样本中质量指标值在和的芯片数量为，
所取样本的个数为件，
质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、，
所以，，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望．
（3）由（1）可知：，则，，
由题可知：．
所以：，即.
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有篮球”，学校随机调查了名学生，数据如表：
男生 女生 合计
同意
不同意
合计
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）．若在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件是否独立，并说明理由．
(3)经观察，该校学生每分钟跳绳个数，由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时增加个，该校有名学生，预估经过训练后每分钟跳个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中；
若，则，，．
【答案】(1)有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关
(2)独立，理由见解析
(3)约人
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）求出，，即可得到，从而得到，即可判断；
（3）由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数.
【详解】（1）提出零假设：学生对该问题的态度与性别无关．
根据列联表中的数据可求得，．
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．
（2）事件、独立．理由如下：
因为，，
所以，
所以，即事件、独立．
（3）记经过训练后每人每分钟跳绳个数为，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，
即，因为，
所以，
所以（人）．
所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为．
3．（24-25高三下·山东青岛·开学考试）某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况．
星期t 1 2 3 4 5
销售量y（张） 218 224 230 232 236
经计算可得：，，．
(1)已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为．
①求、及；
②求及的最值．
参考公式：，．
【答案】(1)
(2)① ，，；②答案见解析
【分析】（1）将相关数据代入和的公式，即可得经验回归方程；
（2）由题意知，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可.
【详解】（1）由题意，，
则，
.
所以关于的经验回归方程为.
（2）①由题意，可知，
，
，
（求解另一种方法：）
②当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，综上所述，的最大值为，最小值为.
4．（2024·四川德阳·模拟预测）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民
外地区网民 30 45
合计 20 100
(1)补全2×2列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“”的概率取最大值时的值.
附：，其中.
a 0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)列联表见解析；能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关
(2)
【分析】（1）根据数据关系补充列联表，提出零假设，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为的概率，利用作商法判断概率的大小即可得解.
【详解】（1）因为网民人数合计为，外地区网民人数为，所以本地区网民人数为，
在甲直播间购买的外地区网民人数为，外地区网民人数为，
所以在乙直播间购买的外地区网民人数为，
又在乙直播间购买的网民总人数为，
所以在甲直播间购买的外地区网民人数为，
所以在甲直播间购买的本地区网民人数为，
所以列联表如下：
网民类型 在直播间购买大米的情况 合计
在甲直播间购买 在乙直播间购买
本地区网民
外地区网民
合计
提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为，
则，记，，
则，
则问题等价于求当取何值时取最大值，
因为，，
又，
所以当时，；
当时，；
当时，；
所以，
，
所以当时，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的的值为.
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（日） 1 2 3 4 5
（万人） 45 50 60 65 80
(1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为

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