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第一章　专题提升四　带电粒子在复合场中的运动
(分值：100分)
选择题1～7题，每小题10分，共70分。
对点题组练
题组一　带电粒子在组合场中的运动
1.(多选)(2024·四川绵阳模拟)如图所示，以减速渗透薄膜为界的区域Ⅰ和Ⅱ有大小相等、方向相反的匀强磁场。一带电粒子从垂直磁场方向进入磁场，穿过薄膜，在两磁场区域内做圆周运动，图中虚线是部分轨迹，粒子在Ⅱ中运动轨迹半径是 Ⅰ 中运动轨迹半径的2倍。粒子运动过程中，电性及电荷量均不变，不计重力与空气阻力。则粒子(　　)
带负电
在Ⅱ中做圆周运动的速率是在Ⅰ中的2倍
在Ⅱ中做圆周运动的周期是在Ⅰ中的2倍
在Ⅱ中向心加速度的大小是在Ⅰ中的2倍
2.如图所示，虚线为匀强电场和匀强磁场的分界线，电场线与分界线平行。一带电粒子以初速度v0垂直于电场线射入电场，并能进入磁场。已知磁感应强度为B，粒子的比荷为k，不计粒子的重力。则粒子第一次进、出磁场两点的距离为(　　)
题组二　带电粒子在叠加场中的运动
3.(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域(电场强度E和磁感应强度B已知)，小球在此区域的竖直平面内做匀速圆周运动，则(　　)
小球可能带正电
小球做匀速圆周运动的半径为r＝
小球做匀速圆周运动的周期为T＝
若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增大
4.带正电的甲、乙、丙三个粒子(不计重力)分别以速度v甲、v乙、v丙垂直射入电场和磁场相互垂直的复合场中，其轨迹如图所示，则下列说法正确的是(　　)
v甲v甲＝v丙电场力对丙做正功，动能增大
电场力对甲做正功，动能增大
5.(多选)一个带电微粒在如图所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力不可忽略。已知轨迹圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则(　　)
该微粒带正电
该微粒沿逆时针旋转
该微粒沿顺时针旋转
该微粒做圆周运动的速率为
综合提升练
6.(2024·湖北武汉高二期末)速度选择器能把具有某一特定速度的粒子选择出来，也是质谱仪的重要组成部分。如图所示，速度选择器内磁感应强度大小为B1，电场强度大小为E，一个带电粒子沿直线通过了速度选择器，然后从竖直挡板上的小孔O进入边长为L的正方形虚线框MNPQ内，虚线框内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B2，粒子从Q点离开磁场，轨迹如图所示，O点位于正方形MN边的中点，不计重力。则该粒子的比荷为(　　)
7.(2023·新课标卷，18)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(　　)
电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
8.(15分)如图所示，虚线上方有方向竖直向下的匀强电场，虚线上下有相同的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，ab是一根长为l的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端恰在虚线上，将一套在杆上的带正电的电荷量为q、质量为m的小环(重力不计)，从a端由静止释放后，小环先做加速运动，后做匀速运动到达b端。已知小环与绝缘杆间的动摩擦因数μ＝0.3，当小环脱离
杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，其半径为，求：
(1)(5分)小环到达b点的速度vb的大小；
(2)(5分)匀强电场的电场强度E的大小
(3)(5分)带电小环从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与静电力所做的功之比。
培优加强练
9.(15分)如图所示，光滑水平地面上方空间中存在以竖直虚线MN为边界的电场和磁场，电场强度大小为E＝5 N/C、方向水平向右，磁感应强度大小为B＝0.2 T、方向垂直纸面向里。质量m＝0.01 kg、电荷量q＝＋0.2 C的带孔小球，穿在长度为l＝5 m的绝缘且竖直轻杆上，开始时小球静止在轻杆底端，球在MN左侧一定距离处由静止释放，并以v＝5 m/s的速度进入匀强磁场中，之后在外力作用下，光滑轻杆始终保持竖直且在磁场中做匀速直线运动，最终小球从轻杆上端飞出，g取10 m/s2，求：
(1)(5分)释放时小球到边界MN的距离；
(2)(5分)小球在轻杆上的运动时间
(3)(5分)小球运动到轻杆上端时机械能的增加量。
专题提升四　带电粒子在复合场中的运动
1.BD　[粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子速率v＝，粒子做圆周运动的周期T＝＝，向心加速度大小a＝＝。根据粒子在Ⅱ中运动轨迹半径是Ⅰ中运动轨迹半径的2倍可知，粒子在Ⅱ中的运动速率、向心加速度的大小均是在Ⅰ中的2倍，周期不变，B、D正确，C错误；根据边界为减速渗透薄膜可知，粒子从区域Ⅱ向区域Ⅰ运动，根据粒子偏转方向，由左手定则可知，粒子带正电，A错误。]
2.A　[根据题意，设粒子带正电，进入磁场时速度大小为v，方向与水平方向夹角为α，画出粒子的运动轨迹，如图所示，根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，由运动规律有＝sin α，解得v＝，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得R＝＝，由几何关系可得，粒子第一次进、出磁场两点的距离为d＝2Rsin α＝2sin α＝，由于粒子的比荷为k，则粒子第一次进、出磁场两点的距离为d＝，故A正确。]
3.BC　[小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力大小相等、方向相反，则小球受到的电场力竖直向上，小球带负电，故A错误；因为小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有qvB＝m，由动能定理得qU＝mv2，且有mg＝qE，联立可得小球做匀速圆周运动的半径r＝，故B正确；由运动学公式可得T＝，解得T＝，与电压U无关，故C正确，D错误。]
4.C　[对于甲粒子，轨迹向正极板弯曲，则qv甲B>qE，v甲>；对于乙粒子，轨迹不弯曲，则qv乙B＝qE，v乙＝；对于丙粒子，轨迹向负极板弯曲，qv丙Bv乙>v丙，故A、B错误；丙粒子向负极板偏转，电场力做正功，动能增加，故C正确；甲粒子向正极板偏转，所受到的电场力做负功，动能减小，故D错误。]
5.BD　[由题意可知带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力方向竖直向下，所以电场力方向竖直向上，与电场方向相反，故该微粒带负电，A错误；磁场方向垂直纸面向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针，B正确，C错误；由以上分析有mg＝qE，带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的轨迹圆的半径为r＝，联立得v＝，D正确。]
6.C　[设粒子沿直线通过速度选择器的速度为v，由平衡条件知qE＝qvB1，粒子进入匀强磁场做匀速圆周运动，设轨迹半径为R，由几何关系知R2＝L2＋(R－)2，解得R＝，由洛伦兹力提供向心力得qvB2＝m，联立可得＝，故A、B、D错误，C正确。]
7.C　[假设电子打在a点，即其所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，故eE＝evB，由于α粒子的速度v′小于电子的速度v，所以2eE>2ev′B，α粒子经过电、磁叠加场后向右偏转，即其所受合力方向向右，由于α粒子带正电，所以电场方向水平向右，A、B错误；电子所受电场力水平向左，则其所受洛伦兹力水平向右，则磁场方向垂直纸面向里，D错误，C正确；假设α粒子打在a点，同样可以得出C正确。]
8.(1)　(2)　(3)4∶9
解析　(1)小环在虚线下方磁场中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有
qvbB＝m，又r＝
解得vb＝。
(2)小环沿杆向下运动时，受力情况如图所示，受向左的洛伦兹力F、向右的弹力FN、向下的静电力qE、向上的摩擦力Ff。当小环做匀速运动时，水平方向有FN＝F＝qvbB
竖直方向有qE＝Ff＝μFN
解得E＝。
(3)小环从a运动到b的过程中，由动能定理得
W电－Wf＝mv
又W电＝qEl＝
所以Wf＝－mv＝
则有＝。
9.(1)0.125 m　(2)1 s　(3)1 J
解析　(1)设释放时小球到边界MN的距离为L，小球由静止释放到刚进入磁场的过程，由动能定理得qEL＝mv2①
解得L＝0.125 m。
(2)轻杆进入磁场后做匀速直线运动，则小球在竖直方向所受的洛伦兹力恒定，小球在竖直方向做匀加速直线运动，设小球的加速度为a，在轻杆上的运动时间为t，由牛顿第二定律得
qvB－mg＝ma②
由运动学公式得l＝at2③
联立②③解得t＝1 s。
(3)设小球运动到杆顶端时竖直方向的速度为v′
由运动学公式可得v′＝at④
小球机械能的增加量ΔE＝mgl＋mv′2⑤
联立②③④⑤解得ΔE＝1 J。专题提升四　带电粒子在复合场中的运动
学习目标　1.会分析带电粒子在组合场中的运动问题。2.会分析带电粒子在叠加场中的运动问题。
提升1　带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动。
1.在电场中运动
(1)若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动。
(2)若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。
2.在磁场中运动
(1)若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动。
(2)若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。
3.解题方法
角度1　从磁场进入电场
例1 如图所示，直角坐标系的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0沿与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)电场强度E的大小；
(3)粒子在磁场和电场中运动时间的比值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (多选)如图所示，在x轴上方有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在x轴下方的等腰直角三角形CDM区域内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，其中C、D在x轴上，它们到原点O的距离均为a，现将质量为m、电荷量为＋q的粒子从y轴上的P点由静止释放，设P点到O点的距离为h，不计重力作用与空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
A.若粒子垂直于CM射出磁场，则h＝
B.若粒子垂直于CM射出磁场，则h＝
C.若粒子平行于x轴射出磁场，则h＝
D.若粒子平行于x轴射出磁场，则h＝
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
例3 (多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.该微粒一定带负电荷
B.微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的电场强度大小为
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
　　　　
训练 如图所示，在地面附近有范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场。匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、带电荷量为－q(q>0)的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动(重力加速度为g)。
(1)求此区域内电场强度的大小和方向；
(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示。则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到最高点？最高点距地面多高？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(带电粒子在组合场中的运动)(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　)
2.(带电粒子在叠加场中的运动)(多选)(2024·福建龙岩期末)如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B、电场强度为E，质量为m的带电小球在场中恰好处于静止状态。现将匀强磁场方向顺时针旋转90°，同时给小球一个垂直磁场方向向下的速度v，关于小球之后的运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.小球做匀变速直线运动
B.小球做匀速圆周运动
C.小球第一次运动到最低点的时间为
D.小球在运动过程中最高点与最低点的高度差为
3.(带电粒子在组合场中的运动)(多选)在如图所示的坐标系中，y>0的空间中存在匀强电场，场强方向沿y轴负方向；－1.5hA.粒子到达P2点时速度大小为v0
B.电场强度大小为
C.磁感应强度大小为
D.粒子在磁场中运动的时间为
4.(带电粒子在叠加场中的运动)(多选)(2022·广东卷，8)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　)
A.电子从N到P，电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N，洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
专题提升四　带电粒子在复合场中的运动
提升1
例1 (1)　(2)　(3)
解析　(1)带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
r＋rsin 30°＝L，得r＝
又因为qv0B＝m，解得B＝。
(2)设带电粒子在电场中的运动时间为t2，
沿x轴有2L＝v0t2
沿y轴有L＝at
又qE＝ma，联立解得E＝。
(3)带电粒子在磁场中的运动时间
t1＝×＝
在电场中的运动时间t2＝
所以带电粒子在磁场和电场中运动时间的比值为＝。
例2 AD　[粒子在电场中加速，有qEh＝mv，在磁场中做匀速圆周运动，若粒子垂直于CM射出磁场，则轨迹所对的圆心角θ＝45°，半径R＝a，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，得R＝，联立以上各式得h＝，A正确，B错误；若粒子平行于x轴射出磁场，则轨迹所对的圆心角θ′＝90°，半径R′＝，同理可得h＝，C错误，D正确。]
提升2
例3 ACD　[若微粒带正电，静电力向左，洛伦兹力垂直于OA线斜向右下方，则静电力、洛伦兹力和重力不能平衡，故微粒带负电，故A正确；微粒如果做匀变速运动，重力和静电力不变，而洛伦兹力随速度变化而变化，微粒不能沿直线运动，故B错误；微粒受力如图所示，由平衡条件得qvBcos θ＝mg，qE＝mgtan θ，解得B＝，E＝，故C、D正确。]
训练 (1)　方向竖直向下
(2)　H＋
解析　(1)要满足带负电微粒做匀速圆周运动，则qE＝mg，解得E＝，方向竖直向下。
(2)如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，由几何知识得α＝135°，则
t＝T＝T＝
因为T＝，所以t＝
因微粒做匀速圆周运动，则有qvB＝m
则R＝，故最高点距地面的高度为
H1＝R＋Rsin 45°＋H＝H＋。
随堂对点自测
1.A　[由题意知当质子垂直Oyz平面进入磁场后先在MN左侧运动，刚进入时根据左手定则可知质子受到沿y轴正方向的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方向偏移，y轴坐标增大，在MN右侧磁场方向反向，由对称性可知，A正确，B错误；质子的运动轨迹在Ozx平面的投影为一条平行于x轴的直线，C、D错误。]
2.BD　[依题意可知小球受到的电场力与重力平衡，磁场方向顺时针旋转90°后小球在洛伦兹力的作用下将垂直纸面向外做匀速圆周运动，故A错误，B正确；小球重力与电场力平衡，有qE＝mg，所以小球做匀速圆周运动的周期T＝＝，则小球第一次运动到最低点历时t＝T＝，故C错误；带电小球在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，满足qvB＝m，小球运动过程中的最高点与最低点的高度差为h＝2r，解得h＝，故D正确。]
3.BC　[设粒子从P1点到P2点的时间为t0，粒子从P1点到P2点沿水平方向做匀速直线运动，沿竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式可得1.5h＝v0t0，h＝t0，解得vy＝v0，则粒子到达P2点的速度v＝＝v0，A错误；根据动能定理得qEh＝mv2－mv，解得E＝，B正确；由题意可知粒子进入磁场后的运动轨迹如图所示，粒子刚进入磁场时v＝v0，则cos θ＝＝，故粒子刚进入磁场时速度方向与x轴正向夹角为53°，由几何关系可知，轨迹半径R满足Rsin 37°＝1.5h，即R＝2.5h，根据带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得B＝，C正确；根据T＝可得T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，D错误。]
4.BC　[电子所受电场力方向向左，N到P沿电场力方向的位移向右，故电场力做负功，A错误；沿电场线方向电势降低，故B正确；洛伦兹力方向始终和速度方向垂直，洛伦兹力不做功，故C正确；电子从M到P，因为φM＝φP，由W＝qUMP可知，W＝0，结合动能定理可知电子在P点时的速度等于零，故电子在M、P两点均只受电场力，所受合力大小相等，故D错误。](共49张PPT)
专题提升四　带电粒子在复合场中的运动
第一章　磁场对电流的作用
1.会分析带电粒子在组合场中的运动问题。
2.会分析带电粒子在叠加场中的运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　带电粒子在叠加场中的运动
提升1　带电粒子在组合场中的运动
提升1　带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动。
1.在电场中运动
(1)若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动。
(2)若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。
2.在磁场中运动
(1)若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动。
(2)若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。
3.解题方法
角度1　从磁场进入电场
例1 如图所示，直角坐标系的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0沿与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)电场强度E的大小；
(3)粒子在磁场和电场中运动时间的比值。
解析　(1)带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
AD
例2 (多选)如图所示，在x轴上方有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，在x轴下方的等腰直角三角形CDM区域内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，其中C、D在x轴上，它们到原点O的距离均为a，现将质量为m、电荷量为＋q的粒子从y轴上的P点由静止释放，设P点到O点的距离为h，不计重力作用与空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
提升2　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线
ACD
例3 (多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　 　)
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
训练 如图所示，在地面附近有范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场。匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、带电荷量为－q(q>0)的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动(重力加速度为g)。
(1)求此区域内电场强度的大小和方向；
(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示。则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到最高点？最高点距地面多高？
随堂对点自测
2
A
1.(带电粒子在组合场中的运动)(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　)
解析　由题意知当质子垂直Oyz平面进入磁场后先在MN左侧运动，刚进入时根据左手定则可知质子受到沿y轴正方向的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方向偏移，y轴坐标增大，在MN右侧磁场方向反向，由对称性可知，A正确，B错误；质子的运动轨迹在Ozx平面的投影为一条平行于x轴的直线，C、D错误。
BD
2.(带电粒子在叠加场中的运动)(多选)(2024·福建龙岩期末)如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B、电场强度为E，质量为m的带电小球在场中恰好处于静止状态。现将匀强磁场方向顺时针旋转90°，同时给小球一个垂直磁场方向向下的速度v，关于小球之后的运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
BC
3.(带电粒子在组合场中的运动)(多选)在如图所示的坐标系中，y>0的空间中存在匀强电场，场强方向沿y轴负方向；－1.5hBC
4.(带电粒子在叠加场中的运动)(多选)(2022·广东卷，8)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　)
A.电子从N到P，电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N，洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
解析　电子所受电场力方向向左，N到P沿电场力方向的位移向右，故电场力做负功，A错误；沿电场线方向电势降低，故B正确；洛伦兹力方向始终和速度方向垂直，洛伦兹力不做功，故C正确；电子从M到P，因为φM＝φP，由W＝qUMP可知，W＝0，结合动能定理可知电子在P点时的速度等于零，故电子在M、P两点均只受电场力，所受合力大小相等，故D错误。
课后巩固训练
3
BD
题组一　带电粒子在组合场中的运动
1.(多选)(2024·四川绵阳模拟)如图所示，以减速渗透薄膜为界的区域Ⅰ和Ⅱ有大小相等、方向相反的匀强磁场。一带电粒子从垂直磁场方向进入磁场，穿过薄膜，在两磁场区域内做圆周运动，图中虚线是部分轨迹，粒子在Ⅱ中运动轨迹半径是 Ⅰ 中运动轨迹半径的2倍。粒子运动过程中，电性及电荷量均不变，不计重力与空气阻力。则粒子(　　)
对点题组练
A.带负电
B.在Ⅱ中做圆周运动的速率是在Ⅰ中的2倍
C.在Ⅱ中做圆周运动的周期是在Ⅰ中的2倍
D.在Ⅱ中向心加速度的大小是在Ⅰ中的2倍
A
2.如图所示，虚线为匀强电场和匀强磁场的分界线，电场线与分界线平行。一带电粒子以初速度v0垂直于电场线射入电场，并能进入磁场。已知磁感应强度为B，粒子的比荷为k，不计粒子的重力。则粒子第一次进、出磁场两点的距离为(　　)
BC
题组二　带电粒子在叠加场中的运动
3.(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域(电场强度E和磁感应强度B已知)，小球在此区域的竖直平面内做匀速圆周运动，则(　　)
C
4.带正电的甲、乙、丙三个粒子(不计重力)分别以速度v甲、v乙、v丙垂直射入电场和磁场相互垂直的复合场中，其轨迹如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.v甲C.电场力对丙做正功，动能增大 D.电场力对甲做正功，动能增大
BD
5.(多选)一个带电微粒在如图所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力不可忽略。已知轨迹圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则(　　)
C
综合提升练
C
A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
解析　假设电子打在a点，即其所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，故eE＝evB，由于α粒子的速度v′小于电子的速度v，所以2eE>2ev′B，α粒子经过电、磁叠加场后向右偏转，即其所受合力方向向右，由于α粒子带正电，所以电场方向水平向右，A、B错误；电子所受电场力水平向左，则其所受洛伦兹力水平向右，则磁场方向垂直纸面向里，D错误，C正确；假设α粒子打在a点，同样可以得出C正确。
(1)小环到达b点的速度vb的大小；
(2)匀强电场的电场强度E的大小；
(3)带电小环从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与静电力所做的功之比。
解析　(1)小环在虚线下方磁场中做匀速圆周运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有
(2)小环沿杆向下运动时，受力情况如图所示，受向左的洛伦兹力F、向右的弹力FN、向下的静电力qE、向上的摩擦力Ff。当小环做匀速运动时，水平方向有FN＝F＝qvbB
9.如图所示，光滑水平地面上方空间中存在以竖直虚线MN为边界的电场和磁场，电场强度大小为E＝5 N/C、方向水平向右，磁感应强度大小为B＝0.2 T、方向垂直纸面向里。质量m＝0.01 kg、电荷量q＝＋0.2 C的带孔小球，穿在长度为l＝5 m的绝缘且竖直轻杆上，开始时小球静止在轻杆底端，球在MN左侧一定距离处由静止释放，并以v＝5 m/s的速度进入匀强磁场中，之后在外力作用下，光滑轻杆始终保持竖直且在磁场中做匀速直线运动，最终小球从轻杆上端飞出，g取10 m/s2，求：
(1)释放时小球到边界MN的距离；
(2)小球在轻杆上的运动时间；
(3)小球运动到轻杆上端时机械能的增加量。
答案　(1)0.125 m　(2)1 s　(3)1 J
解得L＝0.125 m。
(2)轻杆进入磁场后做匀速直线运动，则小球在竖直方向所受的洛伦兹力恒定，小球在竖直方向做匀加速直线运动，设小球的加速度为a，在轻杆上的运动时间为t，由牛顿第二定律得
qvB－mg＝ma②
联立②③解得t＝1 s。

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