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二次函数的应用---实物运动问题
专题讲练1 二次函数的应用(一)——点坐标问题
考点一 推铅球→与x轴交点问题
【典例1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 则铅球推出的距离为 .
变式.如图，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间满足二次函数关系，已知铅球出手时离地面2m，铅球运动到最高位时离地面高度和水平距离都是6m，则铅球推出的水平距离是 m.
考点二 拱桥问题 点的坐标问题
【典例2】如图，在抛物线形拱桥中，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少
变式.如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)如果水面宽为2 m，则水面下降多少米
考点三 喷水问题 与y轴交点坐标问题
典例3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长应为 m.
变式.(2022·南充)如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m ；喷头高4m时，水柱落点距O点3m .那么喷头高 m时,水柱落点距O 点4m .
专题讲练2 二次函数的应用(二)——实物抛物线运动
考点一 烟花飞行——理解变量实际含义
【典例】(2023·二调)燃放烟花是一种常见的喜庆活动.如图，武小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的规律如下表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5
(1)求第一枚花弹的飞行高度h 与飞行时间t的函数解析式；
(2)当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30 m.小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求.
考点二 跳台滑雪——将实际问题转化为求x、y的问题
变式.(2022·江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点 K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台OA 的高度为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值).设运动员从起跳点 A 起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为
(1)c 的值为 ;
(2)①若运动员落地点恰好到达 K 点，且此时 求基准点 K 的高度h；②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由.
专题讲练3 二次函数的应用(三)——球体抛物线飞行问题
考点一 无人机飞行
【典例】(2023·武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度 y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40
飞行高度y/m 0 22 40 54 64
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5m .若飞机落到MN 内(不包括端点 M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
考点二 小球飞行
变式.(2024·江西)如图，一小球从斜坡点O以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度 y(米)的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7
y 0 3.5 6 8 n 3.5
②小球的落点是A，求点 A 的坐标.
(2)小球飞行高度 y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：
①小球飞行的最大高度为 米；
②求 v的值.
专题讲练4 二次函数的应用(四)———足球抛物线运动
考点一 抛沙包问题
【典例】小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数字题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小红站在点 D(6，0)处，在点A(6，1.5)处将沙包(看作点)抛出，其运动的路线为抛物线 (a 为常数，a≠0)的一部分，小琪恰好在点B(0，c)处接住沙包，然后跳起在点 C 处将沙包回传，其运动的路线为抛物线 (n为常数)的一部分.
(1)求a,c 的值;
(2)若小红在与点A 的竖直距离不超过 的范围内可以直接接到回传的沙包，当n=3时，小红能否接住沙包 请说明理由.
(3)若小红可以接到回传的沙包的范围是与AD 的水平距离不超过1m，与点A 的竖直距离不超过 的矩形，请直接写出n 的取值范围.
方法：(1)函数问题转化为方程问题；(2)将实际问题转化为求点的坐标问题；
(3)实际问题与函数问题相互转化是难点.
考点二 足球抛物线运动
变式1.已知足球球门高2.44米，宽7.32米(如图1)，在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A 距离地面0.4米，即AB=0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离 BC 为6米时，球恰好到达最高点D，CD=4.4米.以直线BC为x轴，以直线AB 为y轴建立平面直角坐标系(如图2).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离.
考点三 手榴弹抛物线飞行
变式2.某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹(模拟手榴弹)进行一次试投，如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA 的坡度为1：10，山坡上A 处的水平距离OB 为30米.
(1)求这条抛物线的解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)A处有一棵树AC，AC=4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树 请说明理由；
(3)求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA 的最大高度.
专题讲练5 二次函数的应用(五)——双层喷泉抛物线问题
考点一 双层抛物线形喷泉问题
【典例】(2024·江夏模拟)图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为4m的圆内，喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉C 的喷水口设在圆心O处，落地点与圆心O的水平距离为2m，水流的最高点距离地面1m；上层喷泉C 的喷水口设在圆心O的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点，以圆心为原点，过圆心的一条水平线为x轴，中心线l为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设水流的高度为y(单位：m)，水流距离中心线的水平距离为x(单位：m).
(1)求图3中下层喷泉所对应抛物线C 的函数解析式；(不必写x的取值范围)
(2)当图3中上层喷泉所对应抛物线C 的函数解析式为 时，视觉效果最佳.
①试推算b，c应满足的数量关系；
②结合实际环境，要求上层喷泉C 的水流最大高度不低于2.8m，且不高于3.45m，求出b的取值范围.
考点二 单层抛物线喷泉
变式.(2024·二中广雅)某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同.如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，OA 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径CD=8m，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 m处到达最高
(1)求图1中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1中的线段OD 上的点B 处竖立一座雕像，雕像高 若想雕像不碰到水柱，请求出线段OB 的取值范围；
(3)当圆形水池的直径为12m时，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线(如图2)，若右侧抛物线顶点始终在直线 上，当喷出的抛物线水柱最大高度为 时，水柱会喷到圆形水池之外吗 请说明理由.
专题讲练6 二次函数的应用(六)——抛物线型运动
考点一 抛物线斜坡与无人机抛物线运动
典例.如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式 无人机从西侧距坡底O点10米处的点 B 起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线 当无人机飞越坡底上空时(即点 D)，与地面的距离OD 为20米.
(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由.
考点二 海豚抛物线跳水
变式1.在进行跳水训练时，海豚身体(看成一点)在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系.海豚离水面的高度y(单位：m)与距离起跳点O的水平距离x(单位：m)之间具有函数关系 海豚在跳起过程中碰到(不改变海豚的运动路径)饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m 的小球.
(1)求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少米
(2)当海豚离水面的高度是 时，距起跳点O 的水平距离是多少米
(3)在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m，高 的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱(不碰到)，求点 D 横坐标n的取值范围.
考点三 飞盘抛物线运行
变式2.【生活情景】某人在山坡进行飞盘投掷运动.以飞盘未飞出前的位置O为原点，水平方向为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的飞盘看作一个点，其飞行路线可以近似的看作抛物线 的一部分，山坡上有一处平台，其竖直截面为四边形ABCD，平台宽BC=2米，BC与x轴平行，点B 与点O的水平距离为14米，垂直距离为4米.
【建立模型】
(1)若飞盘在空中飞行的最大高度为5米，
①求抛物线的解析式；
②飞盘能飞越这个平台吗 请说明理由.
【解决问题】(2)若要使飞盘恰好落在平台的顶部BC上(包括端点B，C)，求a 的取值范围.
专题讲练7 二次函数的应用(七)——两条抛物线问题
考点一 连续抛物线抛球
【典例】某数学小组在学习竖直上抛运动时，设计了如下的问题：如图1，在同一水平面上选取A，B两处位置，安装1m 高的小球发射器.实验开始时，先把A 处的小球竖直向上发射，小球离地面的高度y(m)与时间x(s)的函数图象是图2中的抛物线C ，已知小球发射3s 后到达最高点，此时距离地面的高度是 10 m.
(1)求抛物线C 的函数解析式；
(2)A处小球发射4s后，B处的小球也以相同的方式向上发射，其小球离地面的高度y(m)与时间x(s)的函数图象是图2中的抛物线C ，且C 和C 的形状相同，则经过几秒，两个小球距离地面的高度相等 请求出这个高度；
(3)在(2)的条件下，当这两个小球之间的竖直距离为4m时，直接写出x的值.
考点二 过山车在两条抛物线上运动
变式.(2024·武汉模拟)如图1，悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一.如图2，A→B→C→E→F 为该过山车的一部分轨道，轨道A→B→C 和C→E→F 可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点.建立平面直角坐标系，点A 在y轴上，B，E两点在x轴上，其中 米，OB=13米(轨道厚度忽略不计).
(1)求抛物线A→B→C的函数表达式；
(2)已知在A→B→C轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线C→E→F 最低点E 的坐标为(33,0),求点 D 的坐标;
(3)现需要对轨道下坡段A→B 进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架GP，GM,HQ,HN,且要求 .已知这种材料的价格是5 000元/米，请通过计算说明：当GP 多长时，造价最低 并求最低造价为多少元
第二节 实物运动问题
专题讲练1 二次函数的应用(一)——点坐标问题【典例1】10m
解:令y=0,则 故推出距离为10m.
变式.
【典例2】解：以顶点为原点建立平面直角坐标系， x ,当 y=-3,x=± 故水面宽度增加
变式.解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，2)，可设抛物线的解析式为 点(4，0)在抛物线上，可得 解得
(2)1m.
典例3.
解： 将(3,0)代入得 令
变式.8
解： 过(2.5,0),
2.5a+b+1=0,
过(3,0),
9a+3b+4=0,
过(4,0),h=8.
专题讲练2 二次函数的应用(二)——实物抛物线运动
【典例】解：(1)依题意，设第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为 将(0.5,9.5),(1,16)分别代入 得 解得
∴所求的函数解析式为
当t=4时，h取最大值，此时，第一枚花弹到达最高点，第二枚花弹飞行时间为2s，∵两枚花弹的飞行路径相同，∴将t=2代入h=- 得，h=26，∴当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹达到的高度为26m；
(3)由题意知，第二枚花弹飞行高度h'与第一枚花弹飞行时间t 的函数关系式为 根据 得 解得t=5，此时 >30，∴花弹的爆炸高度符合安全要求.
变式.解:(1)66;
∴基准点K的高度h 为21m;
(3)他的落地点能超过 K 点，理由如下：由题意可得
当x=75时,y=36>21,故他的落地点能超过K点.
专题讲练3 二次函数的应用(三)———球体抛物线飞行问题
【典例】解：探究发现：
(1)依题意，得 解得t =0(舍),t =24.当t=24时,x=120;
(2)设发射平台相对于安全线的高度为 n m，飞机相对于安全线的飞行高度 12t+n,
∵125答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m 且小于26 m.
变式.解：(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为(4,8),
解得 .二次函数解析式 .为
由对称性知m=3,n=6,
②由题易得
专题讲练4 二次函数的应用(四)——足球抛物线运动
【典例】解:(1)由点A(6,1.5)在抛物线C 上得 2.5=1.5,解得
令x=0,则
(2)设小红在点 D'(6，y)处接到回传的沙包，根据题意得1.5-0.5≤y≤1.5+0.5,即1≤y≤2,
由(1)可知
当x=6,n=3时,
∴小红不能接住沙包.
(3)∵小红可以接到回传的沙包的范围是与 AD的水平距离不超过1m ，与点A 的竖直距离不超过 m的矩形,A(6,1.5),
∴6-1≤x≤6+1,1.5-0.5≤y≤1.5+0.5,即5≤x≤7,1≤y≤2;
由题意得小红能接到沙包的最低点为(5，1)，最高点为(7,2),
∴当经过(5,1)时, 解得
当经过(7,2)时, 解得n
∴n的取值范围是
变式1.解:(1)∵顶点的坐标是(6,4.4),
∵抛物线过点(0,0.4),
∴36a+4.4=0.4,
∴该抛物线的解析式 4.4;
(2)当y=2.44时, 解得 (不合题意，舍去)，∴该足球运动的水平距离为10.2米.
变式2.解:(
把(0,0)代入,0=400a+10,
(2)BC=3+4.4=7.4(m),当x=30时,y=7.5>7.4,能越过;
(3)OA 的解析式为 作直线MN∥y轴交抛物线于点M，交OA 于点N，
当m=18时,MN最大高度为8.1m.
专题讲练5 二次函数的应用(五)——双层喷泉抛物线问题
【典例】解:(1)由题意可知,C 的顶点为(1,1),
设下层喷泉所对应抛物线C 的函数解析式为
将(0，0)代入解析式得： 解得a=-1,
∴下层喷泉所对应抛物线C 的函数解析式为
(2)①∵上层喷泉所对应抛物线C 经过下层喷泉所对应抛物线C 的顶点，
∴-5+b+c=1,
整理得:c=6-b,
∴b，c 应满足的数量关系是c=6-b(形式不唯一)；
②由①得,
抛物线C 的最大高度
∵抛物线C 的对称轴 介于0和1之间，
即
∴0令h=2.8,即
解得 (舍去),
令h=3.45,即
解得 (舍去),
∴b的取值范围为3≤b≤4.
变式.解：(1)由题意得，抛物线的顶点为
∴可设抛物线为
又∵抛物线过(4,0),
∴右边抛物线的解析式为
(2)由题意,
∴当 时
(舍去),
即当 时，雕像不碰到水柱，
∴线段OB 的取值范围为
(3)水柱会喷到圆形水池之外，理由：
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∵水柱最大高度为 m，右侧抛物线顶点始终在直线 上，
解得x=3,
∴水柱达到最大高度时抛物线的对称轴为直线x=3,
∵抛物线过点A(0,2),
∴点A 关于直线x=3的对称点为(6，2)在抛物线上，
∴当x=6时,y=2>0,
∵水池的半径为6m，
∴水柱会喷到圆形水池之外.
专题讲练6 二次函数的应用(六)——抛物线型运动
典例.解:(1)由题意可知,点B(-10,0),D(0,20),
代入
得
∴无人机飞行轨迹的函数解析式为
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，x=30-10=20,∵无人机与山坡的竖直距离d= +20,∴当x=20时. 20=13,
答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离 d 为13米；
(3)安全，理由如下：由(2)得 时，d有最小值 ∴无人机此次飞行是安全的.
变式1.解：(1)由抛物线 过点(3,4.5),得4.5
海豚此次训练中离水面的最大高度是6m；
(2)依题意得： 解得
答：海豚距起跳点O的水平距离是8m或4m；
(3)若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点 F 或点E在抛物线上，
令y=4,则 解得
当点F 在抛物线上时，点D的横坐标n为12- 2
当点E 在抛物线上时，点D 的横坐标n为6
∴n的取值范围是
变式2.解：(1)①∵飞盘在空中飞行的最大高度为5米，∴飞盘飞行的函数关系式为. +5,把(0,0)代入解析式,得100a+5=0,解得
∴抛物线的解析式为 ②飞盘不能飞越这个平台.理由如下：∵平台宽 BC=2米,点 B 与点O 的水平距离为 14米,∴把.x=16代入 得 飞盘不能飞越这个平台；
(2)由题可知B(14,4),C(16,4),
抛物线.
∴把(0,0),B(14,4)代入,
得 解得
把(0,0),C(16,4)代入解析式,
得 解得
∴a的取值范围为
专题讲练7 二次函数的应用(七)——两条抛物线问题
【典例】解:(1)由题意,得抛物线C 的顶点(3,10),
∴可设抛物线的解析式为
∵OD=1,∴把点D(0,1)代入.
+10中,得a=-1,
∴抛物线C 的函数解析式为.
(2)由题意，可知抛物线C 的解析式为y=-(x
当两个小球距离地面的高度相等时，
,解得x=5,
把x=5代入 中,得y=6,
∴经过5s，两个小球距离地面的高度相等，这个高度为6m；
(3)x的值为 或
提示：
∴|-8x+40|=4,∴-8x+40=±4,
或
变式.解:(1)由图象可设抛物线解析式为y=a(x-13) ,把A(0,16.9)代入,得:169a=16.9,∴a=0.1,∴y=0.1(x-13) ;
(2)∵抛物线C→E→F 最低点E 的坐标为(33,0)，形状与抛物线A→B→C的形状相同，
∴抛物线C→E→F 的解析式为y=0.1(x-33) ，联立方程组
∵C,D为对称点,∴D(3,10);
(3)设GP=OM=m,则ON=MN+OM=OM+2OM=3OM=3m,
∵1>0,
∴当m=3.2时,GP+GM+HQ+HN 最小,最小值为23.56,
23.56×5000=117 800(元),
答：当GP=3.2米时，造价最低，最低造价为117 800元.

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