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二次函数的应用—其他抛物线问题
专题讲练1 二次函数的应用(一)——刹车问题 扫码查看
题型一 最大距离，即车停下来问题，即最大距离问题
【典例】(教材P56T5)汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是
(1)汽车刹车后向前行驶了多长时间
(2)汽车刹车后到停下，向前行驶的距离是多少
【方法】(1)停止即滑行最大距离；
(2)配方法或公式法求最值.
题型二时间段内运动距离问题
变式1.机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是 在飞机着陆滑行中，求最后4s滑行的距离.
题型三 最近距离问题 差函数的最值
变式2.(2021·临沂)公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)、速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.
(1)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少
(2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少
专题讲练2 二次函数的应用(二)——运动与二次函数
考点一 理解变量的含义将实际问题转化为方程与函数问题
【典例】(2022·武汉)在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A 处开始减速，此时白球在黑球前面70 cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理得下表.
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度 v/ cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t 之间成二次函数关系.
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当黑球减速后运动距离为64 cm时，求它此时的运动速度；
(3)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球 请说明理由.
考点二 注意隐最值的理解与运用
变式.一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离 (单位：m)和滑行时间t (单位：s)满足二次函数关系式，并测得相关数据：
滑行时间t /s 0 1 2 3 4
滑行距离y /s 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上的滑行距离. (单位：m)和在缓冲带上的滑行时间 (单位:s)满足: 滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了23s.
(1)求y 和 满足的二次函数解析式；
(2)求滑坡AB 的长度.
专题讲练3 二次函数的应用(三)——拱桥问题
考点一 建模分析
【典例】如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m，则水面CD的宽是10 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6m 的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6m的长方体货物(货物与货船同宽).问：此船能否顺利通过这座拱桥
考点二 注意距离与坐标
变式.如图1展示的是一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图2所示.大棚横截面最高点到地面的距离为2米，两端触地点A，B相距5米.
(1)以点 A 为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为 y轴正方向建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式(不需要求自变量的取值范围)；
(2)一位身高1.60米的菜农，若要在大棚内站直行走，求该菜农在横截面内横向的活动范围为多少米
(3)如图3，为了使大棚更牢固，在此横截面内从A 点起，沿地面每隔1米竖立一根钢杆连接到大棚外边缘上，则在此横截面内所有钢杆的长度和为 米(直接写出答案即可).
专题讲练4 二次函数的应用(四)——面积问题(1)
考点一 注意自变量的取值范围，结合图象求最值
【典例】某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，求面积最小值；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.
【思考】若平行于墙的一边长不超过 a m，求面积的最大值.
考点二 实际问题 设未知数 函数问题 方程问题，逐步转化
变式.(2021·武珞路)两段相互垂直的墙AB 和AC 的长分别为12m和3m ，用一段长为23 m的篱笆围成一个矩形菜园(篱笆全部使用完)，如图所示，矩形菜园的一边AD 由墙AC 和一节篱笆CD 构成，一边AF 靠在墙AB 上，一边EF 上有一个2m的门.假设篱笆CD 的长为x m，矩形菜园的面积为 回答下面的问题：
(1)①用含x 的式子表示篱笆DE 的长为 m，x的取值范围是 ；②菜园的面积能不能等于 90 m 若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由.
(2)求菜园面积S 的最大值.
专题讲练5 二次函数的应用(五)——面积问题(2)
考点一 图形面积与最值，注意自变量取值范围
【典例】某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽2 0 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m. A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是200元、300元、400元.
(1)设育苗区的边长为 xm，用含x的代数式表示下列各量：
花卉 A的种植面积是 m ，花卉B的种植面积是 m ，花卉C的种植面积是 m .
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等
(3)若花卉 A与B的种植面积之和不超过560m ,求A,B,C三种花卉的总产值之和的最大值.
考点二 面积与费用，注意取整分析
变式.如图，学校计划建造一块边长为40m的正方形花坛ABCD，分别取四边中点E，F，G，H构成四边形 EFGH，四边形 EFGH 部分种植甲种花，在正方形ABCD 四个角落构造4个全等的矩形区域种植乙种花，剩余部分种草坪.每一个小矩形的面积为 ，已知种植甲种花50元/m ，乙种花80元 草坪10元 ，种植总费用为y 元.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当种植总费用为74880元时，求一个矩形的面积为多少
(3)为了缩减开支，甲区域改用单价为40元， 的花，乙区域用单价为a 元 且a 为10的倍数)的花，草坪单价不变，最后种植费只用了55 000元，求a 的最小值.
第三节 其他抛物线问题
专题讲练1 二次函数的应用(一)——刹车问题
【典例】
解：
变式1.解：
当t=20时, ymax=600,
当t=16时,y =-24+600,
∴最后4s滑行的距离为24m.
变式2.解:(1)甲车v=-t+16,
甲车
当v=9时,t=7;
当t=7时,s=87.5;
(2)设两车距离为ωm，
当
专题讲练2 二次函数的应用(二)——运动与二次函数
【典例】解：
(2)令y=64,即 解得t =8,t =32,当t=8时,v=6;当t=32时,v=-6(舍),
∴它此时的运动速度为6 cm/s；
(3)不会,理由:
设黑白两球的距离为 W cm，根据题意可知， ∴当t=16时,W的值最小，为6，∴黑白两球的最小距离为6 cm，大于0，∴黑球不会碰到白球.
变式.解：
∴下滑时间为t =10,y =270,故AB 的长为270 m.
专题讲练3 二次函数的应用(三)——拱桥问题
【典例】解：(1)设抛物线解析式为 点B的纵坐标为n,
则点B(10,n),点D(5,n+3),
则 解得
(2)当x=3时, 当x=10时,y=-4, ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥.
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥.
变式.解：(1)设抛物线的解析式为.
则 解得
∴抛物线的解析式为
(2)由
解得
∴该菜农在大棚内站直行走的横向活动的范围是 米；
(3)∵抛物线的对称轴为x=2.5,
∴当x=1或x=4时,
当x=2或x=3时,
∴所有钢杆的长度和为1.28×2+1.92×2=6.4(米).
专题讲练4 二次函数的应用(四)——面积问题(1)
【典例】解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米，且30-2x≤18,
∴x≥6,x(30-2x)=72,即 0.解得x =3(舍),x =12,∴x=12;
(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11,面积 ≤x≤11),
x=11时,S有最小值, =88;
(3)令x(30-2x)=100,得 解得x =5,x =10.∴5≤x≤10,又30-2x≤18,∴x≥6,∴x的取值范围是6≤x≤10.
【思考】
解:当a<15时, 当15≤a≤18, Smax
变式.解:(1)①∵AC=3,CD=x,∴EF=AC+CD=3+x,
∴DE=23-CD-EF+2=23-x-(3+x)
+2=23-x-3-x+2=22-2x,
∵0<22-2x≤12,∴5≤x<11,
故答案为22-2x,5≤x<11;
②菜园的面积能等于90m ，根据题意，
得(3+x)(22-2x)=90,整理得:
解得：
∵5≤x<11,∴x=6.
答：当x=6m时，菜园的面积为90m ;
(2)由题意，得 ∴当x>4时,S随x的增大而减小,∵5≤x<11,∴当x=5时，S有最大值，最大值为
专题讲练5 二次函数的应用(五)——面积问题(2)
【典例】解:((1)(20-x)(40-x) x(30-x) x(20-x)
(2)依题意得200(20-x)(40-x)=300x(30-x)，化简得 解得 (舍),x =10,
∴育苗区边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
(3)由题意得(20-x)(40-x)+x(30-x)≤560,且20-x>0,
解得8≤x<20，设三种花卉总产值为W元，则W=200(20-x)(40-x)+300x(30-x)
+400x(20-x)
∵--500<0,∴当x≥5时,y随x的增大而减小，
∴当x=8时，y取最大值，最大值为168000,
∴A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值为168000元.
变式.解:(1)∵E,F,G,H 分别为正方形ABCD 各边的中点，∴四边形 EFGH 为正方形且S正方形EFGH = S主方形ABCD=800,∴y=800×50+4x·80+(800-4x)×10=280x+48000;
当y=74880时,解得x=96,∴一个矩形的面积为96m ;
(3)由题意得800×40+4ax+(800-4x)×10=55 000,
设矩形的一条边为t，则另一条边为20-t，
∵-1<0,∴当t=10时, xmax=100,∴a≥47.5,
又∵a≤80,且a 为10的整数倍,∴a 的最小值为50.

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