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三角形
专题讲练1 三角形(一)——全等简单证明
考点一 由全等证线段相等
【典例1】(2017·武汉)如图,点C、F、E、B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE，写出CD与AB 之间的关系，并证明你的结论.
变式1.如图,A、D、B、E四点顺次在同一条直线上,AC=DF,BC=EF,∠C=∠F,求证:AD=BE.
变式2.(2018·武汉四调)如图,点B、E、C、F 在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.
考点二 由全等证角相等
【典例2】如图,线段AB、CD 相交于点E,AE=BE,CE=DE,求证:AD∥CB.
变式1.如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF 于点F,AC=DF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)求证:AB∥DE.
变式2.如图,点D在AB上,点E 在AC上,AB=AC,AD=AE.求证:∠B=∠C.
C
专题讲练2 三角形(二)——三角形角度计算
考点一 多个等腰三角形设未知数列方程求角度
【典例1】(2019·武汉四调)如图,D为△ABC中BC 边上一点,AB=CB,AC=AD,∠BAD=27°,则∠C= .
变式.如图,D为△ABC中AC边上一点,AB=AC,BC=BD=AD,则∠C= .
考点二 结合全等与对称求角度
【典例2】(2023·重庆)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于( )
A.2α C.45°-α D.90°-α
变式1.如图，在菱形ABCD中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F，垂足为点 E，连接DF,且∠CDF=24°,则∠DAB 的度数为 .
变式2.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE,若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,则∠AED 的度数是 .
变式3.(2023·常德)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F 分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED 的度数为( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
专题讲练3 三角形(三)——尺规作图
考点一 利用尺规作图作等角→原理“SSS”与等腰
【典例】(2024·武汉)小美同学按如下步骤作四边形 ABCD：
①画∠MAN;
②以点A 为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交 AM，AN 于点B,D;
③分别以点 B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；
④连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD 的大小是( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
变式1.(2024·湖南)如图,在锐角三角形ABC 中,AD 是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，在∠ABC 内，两弧交于点 P，作射线 BP,交AD 于点M,过点M作MN⊥AB 于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= .
变式2.(2024·苏州)如图,△ABC中,AB=AC,分别以B,C为圆心,大于 长为半径画弧,两弧交于点 D,连接BD,CD,AD,AD与BC 交于点E.
(1)求证:△ABD≌△ACD;
(2)BD=2,∠BDC=120°,则BC 的长为 .
考点二 利用尺规作图作角平分线→原理“SSS”
变式3.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为∠AOB 的平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
专题讲练4 三角形(四)——全等小综合〈翻折问题〉
考点一 图形翻折抓重合
【典例】如图,在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,点E,F 分别是AB,BC 上的一点,连接EF,将△ABC沿EF 翻折,使得点 B 落在AC上的点D 处,若AD=2CD,则 BE 的长为
变式1.如图,把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD 沿PQ,MN 折叠.顶点A,B,C,D的对应点分别为A',B',C',D',点 B'与D'重合,点A'恰与BC,MD'的交点重合.若 则 PM 的长为 .
考点二 利用翻折构等腰
变式2.(2024·洪山)如图所示,∠B=90°,点 D 在线段BC 上,点 E 在线段AD上,DE=DC=4,∠BAD=∠ACE,若AE=10,则线段 BD 的长为( )
A.4 B.5
变式3.(2022·二中)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点 E 为AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠,点A 落在点F 处,G、H 分别为BC、CD上两点,将△CGH 沿GH 折叠,使点C落在BF上的点M处,且GH∥BF,则DH= .
专题讲练1 三角形(一)——全等简单证明
【典例1】解:证△BAE≌△CDF,可得AB=CD,AB∥CD.
变式1.解:证△ACB≌△DFE,∴AB=DE,∴AD=BE.
变式2.解:由BE=CF 可得BC=EF,又AB=DE,AC=DF,故△ABC≌△DEF(SSS),则∠B=∠DEF,∴AB∥DE.
【典例2】解:证△ADE≌△BCE,∴∠D=∠C,∴AD∥CB.
变式1.解:(1)略.
(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE.
变式2.解:证△ABE≌△ACD,∴∠B=∠C.
专题讲练2 三角形(二)——三角形角度计算
【典例1】69° 变式.72°
【典例2】A
解:延长CB到点M,使BM=DF,连接AM,
∴△ABM≌△ADF,
∴△AEM≌△AEF,
∴∠AEM=∠AEF=90°-α,
变式1.104° 变式2.85° 变式3. C
专题讲练3 三角形(三)——尺规作图
【典例】C 变式1.6
变式2.解:(1)证明:由作图知:BD=CD,
在△ABD 和△ACD 中
∴△ABD≌△ACD(SSS)
(2)2
变式3. D
专题讲练4 三角形(四)——全等小综合<翻折问题>
【典例】
解:过点E 作EH⊥AC 于点H,
设BE=ED=x,则AE=1-x,
∵在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,
在△DEH 中,
变式1.2.5cm
解:延长PA'交C'N 于点E,
设BQ=4x,则CN=3x,
而
∴x=0.5,
∴PM=2.5cm.
变式2. B
解:将△ABD 沿AB 翻折得△ABM,
设∠BAD=α,∠DCE=β,
∴∠ADB=2β,∴∠EAC=β-α,
∴∠MAC=∠MCA,∴AM=CM,
设BD=x,2x+4=14,∴x=5,
∴BD=5.
变式3.2.5
解:延长 BF 交 CD 于 P,连接EP,CM,易证△PED≌△PEF,设PD=PF=x,则( ∴x=1,∴PD=PF=1,
又

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