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反比例函数
专题讲练1 反比例函数图象及性质
考点一 结合k 的符号，确定图象的增减性
【典例1】(2020·武汉)若点A(a-1,y ),B(a+1,y )在反比例函数 的图象上，且y >y ,则a 的取值范围是( )
A. a<-1 B.-11 D. a<-1或a>1
变式1.对于函数 下列判断正确的是( )
A.图象经过点(-1,3) B.图象在第二、四象限
C.不论x为何值时，总有y>0 D.图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小
变式2.在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k 的值可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
变式3.(2019·武汉)已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，A(x ，y )、B(x ,y )两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA.若△ACO的面积为3,则k=-6;②若. 则 ③若 则y + .其中真命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
变式4.点 A(2，1)在反比例函数 的图象上，当1【典例2】直线 y= kx(k>0)与双曲线 交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x ,y )、B(x ,y ),则 的值为( )
A.-8 B.4 C.-4 D.0
变式.如图，一次函数y=x-2的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，与x轴交于点C，若 则k 的值为
专题讲练2 反比例函数的增减性
考点一 知k 的符号，确定增减性
【典例1】(2021·武汉)已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数 (m是常数)的图象上，且y 【典例2】(2021·武汉四调)若点 A(-2,y ),B(-1,y ),C(3,y )在反比例函数 (k是常数)的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是( )
A. y >y >y
变式1.(2022·武汉)若点 A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数 的图象上，且. x ，则下列结论正确的是( )
变式2.若点A(x ,-3),B(x ,-2),C(x ,1)都在反比例函数 的图象上，则x ，x ,x 的大小关系是( )
A. x 变式3.点A(m,y ),B(m-1,y )分别在反比例函数 图象的两支上，若 则m的取值范围为( )
A. m<0 B. m>1
考点二 由增减性确定k 的符号
【典例3】若点 A(x ,-2),B(x ,m),C(x ,3)都在反比例函数 的图象上，且x > 则m的取值范围是是( )
A. m>3或m<-2 B.3C.3变式1.已知点A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数 的图象上，当 时，y >y ,则m的范围为( )
变式2.点A(x ,y ),B(x ,y )为反比例函数 图象上两点，当 时,y >y ，则m的取值范围是( )
A. m≥5 B. m>5 C. m<5 D. m≤5
变式3.己知反比例函数 (k为常数)的图象上有三点A(x ,-1),B(x ,m),C(x ,2),若 ，则m的取值范围是( )
m>2 B. m<-1 C. m>2或m<-1 D.-1专题讲练3 图象理解——反比例函数与二次函数
考点一 画图象，由交点个数确定方程根的个数
【典例1】(2022·武汉)著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”请运用这句话中提到的思想方法判断方程 的根的情况是( )
A.有三个实数根 B.有两个实数根 C.有一个实数根 D.无实数根
变式1.方程 的根可视为函数y=x+3的图象与函数 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程 的实数根x所在的范围是( )
变式2.用数形结合等思想方法确定二次函数 的图象与反比例函数 的图象的交点的横坐标x 所在的范围是( )
变式3.方程 的根可视为直线y=x+2与双曲线 交点的横坐标，根据此法可推断方程 的实根x 所在的范围是()
A.0变式4.若一次函数y=kx+b和反比例函数 的图象交于点A(-3,y ),B(1,y )，则不等式 的解集是( )
A. x>1或x<-3 B.0C.-31 D.-3考点二 由交点坐标适合两个函数求值
【典例2】直线y=-2x+6与双曲线 交于A，B两点，A，B 的纵坐标分别为m，n，则m+n的值为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
变式1.若函数 与.y=-2x-5的图象的交点坐标为(a，b)，则 的值是 .
变式2.(2021·四调)在平面直角坐标系中，函数 与y=x+1的图象交于点 P(a,b),则代数式 的值是( )
C.
专题讲练4 利用反比例函数图象解不等式
考点一 根据直线与双曲线交点横坐标看图解不等式
【典例】一次函数y=x+5的图象与反比例函数 在第二象限的图象交于A(-1，n)和 B 两点.
(1)求反比例函数的解析式，并求 B 点坐标；
(2)在第二象限内，当一次函数y=x+5的值小于反比例函数 (k≠0)的值时，直接写出自变量x的取值范围.
变式1.如图，在平面直角坐标系中，双曲线 和直线y= kx+b交于A,B两点,点A 的坐标为(-3,2),BC⊥y轴于点C,且OC=6BC.
(1)求双曲线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式 的解集.
考点二 以形助数利用直线与双曲线解分式不等式
变式2.如图，直线 与双曲线 交于A,B 两点.
(1)求点A,B 的坐标;
(2)点 是双曲线 上任意两点，试判断y 和y 的大小关系；
(3)直接写出不等式 的解集 .
(4)直接写出不等式 的解集 .
专题讲练5 求反比例函数解析式
考点一 设一个点的坐标，再表示另一个点，乘积不变列方程
【典例1】如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x轴负半轴上，点B 在第二象限内，反比例函数 的图象经过△ABO的顶点B 和边AB 的中点C，如果△ABO 的面积为6，求k 的值.
变式.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点 E，反比例函数 的图象经过点C,E.若点 A(3,0),求k 的值.
考点二 线段坐标化，坐标方程化
【典例2】(2020·苏州)如图,□OABC的顶点A 在x轴的正半轴上,点 D(3,2)在对角线OB上，反比例函数 的图象经过C、D 两点.已知 OABC的面积是
(1)求k 的值;
(2)求点B 的坐标.
变式.如图，直线AB 分别交双曲线 及 的第一象限的图象于A、B两点，直线CD 分别交双曲线 及 的第一象限的图象于D、C两点,AB∥CD∥y轴,AB=2CD,且四边形ABCD 的面积为 求 及k 的值.
专题讲练 6 反比例函数与平行四边形
考点一 设交点坐标，乘积不变列方程
【典例1】(2024·鸡西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数 的图象上，顶点 A 在反比例函数 的图象上，顶点 D 在x轴的负半轴上.若平行四边形OBAD 的面积是5，求k 的值.
变式.(2024·玉林)如图，点A 在双曲线 上，点B 在直线l:y= mx--2b(m>0,b>0)上,A与B关于x轴对称,直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB 是菱形时，有以下结论：①A(b， b);②当b=2时,k=4 ④S菱形AOCB=2b ,则所有正确结论的序号是
考点二 结合几何图形特征设坐标列方程求k的值
【典例2】如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,BC=2AB,A,B 两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D 两点在反比例函数 的图象上，则k= .
变式.(2024·安徽)如图，平行四边形OABC 的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，双曲线 经过C点， 的图象经过B 点,且OC=AC,求k的值.
专题讲练7 反比例函数与二次方程相结合
考点一 反比例函数与方程、勾股定理相结合
【典例1】(2023·衡阳)如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A.
(1)求点 A 的坐标;
(2)分别以点O、A为圆心，大于OA 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 B 和点C,作直线 BC,交x轴于点D.求线段OD 的长.
变式.(2024·邵阳)如图,矩形OABC 的顶点 B 和正方形ADEF 的顶点 E 都在反比例函数y= 的图象上，点B 的坐标为(2，4)，则点 E 的坐标为( )
A.(4,4) B.(2,2) C.(2,4) D.(4,2)
考点二 理解“k”与三角形面积的关系
【典例2】(2024·孝感)如图,双曲线 经过矩形OABC 的顶点B，双曲线 交AB，BC于点E，F，且与矩形的对角线OB 交于点D,连接EF,若OD:OB=2:3,则△BEF 的面积为 .
变式.(2024·宜宾)如图，△OMN 是边长为10的等边三角形，反比例函数 的图象与边MN、OM分别交于点 A、B(点 B 不与点 M 重合).若AB⊥OM 于点 B,求k 的值.
反比例函数
专题讲练1 反比例函数图象及性质
【典例1】B 变式1. D 变式2. D 变式3. D
变式 【典例2】C 变式.3
专题讲练2 反比例函数的增减性
【典例1】-1变式3. D 【典例3】C 变式1. D 变式2. C 变式3. C
专题讲练3 图象理解——反比例函数与二次函数
【典例1】C 变式1. B 变式2. D 变式3. A 变式4. A
【典例2】B 变式 变式2. B
专题讲练4 利用反比例函数图象解不等式
【典例】解：
(2)x<-4或-1变式1.解：
(2)x>1或-3变式2.解：
(2)若 则y >y ;若.x <0y ;若( 则y >y .
(3)-32.
(4)x>3或x<-1.
专题讲练5 求反比例函数解析式
【典例1】解:作 BM⊥x轴于M,CN⊥x轴于N,设B(m,n),则CN= n,C(2m, n),A(3m,0), ×(-3m)n=6, mn=-4,故k=-4.
变式.解:作EM⊥x轴于M,CF⊥y轴于F,设E(m,n),则C(π/2,2n),∴ m/ =3,易知△AOB≌△BFC,
∴C(1,4)∴k=4.
【典例2】解:(1)k=6;
(2)设C(a, ),∵OB 的解析式为 解得：a=2(负值已舍去)，
变式.解:设B(m, /m),则. 设C(n, /n),!则 2CD,
专题讲练6 反比例函数与平行四边形
【典例1】解：设
方法一：
方法二：连接OA，设AB 与y轴交于点E，则S△BOE=1.5,S△AOE=1,故k=-2.
变式.②③
【典例2】-12
解:由平移的性质可设D(a,b),C(a+1,b+2),
∴ab=k①,(a+1)(b+2)=k②,又.
,解①②③得,a=-3,b=4,
∴k=-12.
变式.解:作CE⊥x轴于E点,则OE=AE,设OE=m,C(m, ),A(2m,0),∴B(3m, ),∴k=3.
专题讲练7 反比例函数与二次方程相结合
【典例1】解：(1)由题意得
(2)连接AD,设D(m,0),BC 为OA 的垂直平分线，
变式. D
解:k=8,设正方形ADEF 的边长为x,E(2+x,x),∴x(2+x)=8, 解得x=2(负值已舍去),∴E(4,2).
【典例
解:过点 D 作DM⊥OA 于点M,
∴k=4,
设
则
变式.解:作BC⊥x轴于C,AD⊥x轴于D,设OC=b,BC
= b,OB=2b,BM=10-2b,
∴AM=20-4b,AN=4b-10,∴DN=2b-5,∴
3或5
(舍去),.

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