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二次函数图象及性质
专题讲练1 二次函数的顶点坐标、对称轴 扫码查看
考点一 抛物线的顶点坐标
【典例1】二次函数 的图象的顶点坐标是( )
A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4)
【典例2】将函数 的图象向右平移a(a>0)个单位长度，得到函数. 的图象，则a 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1.二次函数 的顶点坐标为 .
变式2.将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的函数关系式是( )
变式3.把抛物线 向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为( )
变式4.二次函数 的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点二 抛物线的对称轴
【典例3】二次函数 过点A(0,1),A,B 关于对称轴对称,则点 B 坐标为
变式1.二次函数 的对称轴、顶点坐标分别是( )
A.直线x=3,(3,4) B.直线x=-3,(-3,4)
C.直线x=3,(3,-4) D.直线x=-3,(3,4)
变式2.若抛物线 的对称轴是直线x=-1，则b的值为( )
A.-2 B.—4 C.2 D.4
变式3.已知抛物线 与x轴的一个交点(-3，0)，则另一个交点坐标为 .
变式4.抛物线 经过点A(-5,4),且对称轴是直线x=-2,则a+b+c= .
变式5.(2024·天津)在平面直角坐标系中， 过下面四点中三个点，A(0，1)，B(2,1),C(4,1),D(3,2),则a+b+c的最大值为( )
A.-5 B. C.2 D.5
专题讲练2 二次函数图象增减性(一)——明对称轴
模型一 模型二
在对称轴同侧，若 则 在对称轴两侧，若 则
考点一 点在对称轴同侧，由增减性确定 y的大小
【典例1】若a<-1,点(a-1,y ),(a,y ),(a+1,y )都在抛物线 上,则( )
变式1.若函数 (m是常数)的图象上有两点 ,当3< 时，下列判断正确的是( )
D.无法比较y ,y 大小
变式2.点A(3,y ),B(0,y ),C(-1,y )在二次函数 的图象上，则. 的大小关系是( )
A. y 考点二 点在对称轴两侧，由开口方向及与对称轴远近确定函数值大小
【典例2】已知函数 (c为常数)的图象上有两点A(x ,y ),B(x ,y ),若x <1D. y ,y 的大小不确定
变式1.二次函数 的图象经过点 和点 B(2,y ),则下列关系式正确的是( )
变式2.已知二次函数 的自变量x ,x ,x 对应的函数值分别为y ,y ,y ,当 时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是( )
A. y 专题讲练3 二次函数图象增减性(二)——隐对称轴
考点· 知对称轴和y的大小，确定x 的大小关系
【典例】(2023·福建)已知抛物线 经过A(2n+3,y ),B(n—1,y )两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则n 的取值范围是 .
【方法】结合开口方向.
变式1.(2021·福建)二次函数 的图象过A(-3,y ),B(-1,y ),C(2,y ),D(4,y )四个点,下列说法一定正确的是( )
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
考点二 由对称点的大小确定对称轴，再根据点与对称轴远近确定y的大小关系
变式2.(2024·龙岩)已知点. 均在抛物线 上，若 则( )
A.当 时， B.当a>-1时,
C.当a<-1时, D.当a<-1时,
变式3.(2019·福建)若二次函数 的图象经过A(m,n),B(0,y ), 则 的大小关系是( )
专题讲练4 二次函数图象增减性(三)——作差法比较函数值大小
考点一 过两点代值作差法
【典例1】(2022·武汉)抛物线 过A(-1,0),B(m,0)两点,a<0,1变式1.(2021·武汉)已知抛物线 的对称轴为x=2，且过 B(x ,y )两点,且 比较y 与y 的大小.
变式2.(2021·武汉元调)已知点A(x ,y )与点 B(x ,y )在二次函数 (m为常数)的图象上.若 比较 y 与y 的大小.
考点二 结合顶点坐标与对称性求横坐标之和
【典例2】抛物线 与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，垂直于 y轴的直线与抛物线交于P(x ,y ),Q(x ,y )与BC 交于 且 求 的取值范围.
变式.(2023·十堰)已知点A(x ,y )在直线y=3x+19上,点. 在抛物线 上，若 则 的取值范围是( )
专题讲练5 抛物线对称性(一)——明对称轴
模型一 ①A,B 为对称点. ②1-(-1)=xB-1,∴xB=3. 若AB∥x轴,则 ①A,B关于直线x=a 对称. ②a-xA=xB-a或 x+2xB=a. 模型二 若A(x ,m),B(x ,m).则①A,B关于直线x=a对称.②x1+2x=a. 若AB∥x轴,则 ①xB=2a. ②yB=c.
考点- 直接运用对称轴
【典例1】已知抛物线 与x轴的一个交点为(-1，0)，则另一个交点坐标为 .
【方法】知对称轴解析式，两个对称点.知一个点坐标用 可求另一点坐标.
变式.抛物线 经过点A(-5,3),且对称轴是直线x=-2,则a+b+c= .
考点： 观察图表，用对称轴
【典例2】已知二次函数 的y与x的部分对应值如下表：
x -1 0 1 3
y -3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程 有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式.(2024·南通)已知二次函数 中，x与y满足下表.
x -1 0 1 2 3
y y1 -3 y —3 y
若y ，y 中有仅有两个是负数，求a 的取值范围.
专题讲练6 抛物线对称性(二)——隐对称轴
考点一 抛物线上的纵坐标相等的点为对称点
【典例】已知A(m,n),B(m+8,n)是抛物线 上两点,则n= .
【方法】(1)纵坐标相等的点为对称点；
(2)结合 求对称轴.
变式1.已知二次函数 的图象过(0,-2),对称轴为直线x=1,A(x ,m),B(x ，m)为抛物线上两点，则当 时,y= .
变式2.(2023·福建)已知二次函数y=ax + bx+c(a≠0),x ,x ,x ,x ,x 为实数，当x=x 及 时(其中 函数值均为5，当x= 时，函数值为p，当 时,函数值为q,则p-q= .
变式3.(武汉元调)已知二次函数 的图象上有两点A(x ,2023)和B(x ,2023),则当 时，二次函数的值是( )
A.2023 B.2022 C.2024 D.2025
考点二 抛物线顶点在x轴上，即抛物线与x轴有唯一交点
变式4.已知抛物线 与x轴有唯一公共点,且过(a,m),(a+n,m),则m、n的关系是 .
变式5.对于二次函数 若x=4与x=2022时的函数值相等,当x=2026时,则y= .
专题讲练7 抛物线对称性(三)
考点一 在图象上纵坐标相等点为对称点
【典例1】已知二次函数 的图象经过(5-m,1),(5+m,1)两点,则a的值为 .
变式1.已知二次函数 的图象经过点A(m,n),B(m+2,n),则n的值为 .
变式2.已知二次函数 的图象经过P (t+2020,y ),P (t+2022,y ),若 求t 的值为 .
变式3.已知二次函数 的图象与y=p恰好有三个交点分别为A，B,C(A、B分别在C的左右侧),若AB=3,求b 的值为 .
考点二 结合抛物线对称性求方程整数解
【典例2】已知抛物线 的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为(2，0).若关于x的一元二次方程 有整数根，则p的值有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
变式1.已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(2，0)，若关于x 的一元二次方程 有整数根，则p 的值有( )个.
A.1012 B.1013 C.1014 D.1015
变式2.已知二次函数 中的x与y的部分对应值如下表：
x -1 m m+2
y n -3 -3
(1)若m>0,n=0,当 时，y随x 的增大而减小，求m 的取值范围为 .
(2)若m=0,n>0,当方程 有四个根，求这四个根的和为 .
二次函数图象及性质
专题讲练1 二次函数的顶点坐标、对称轴
【典例1】A 【典例2】B 变式1.(1,3) 变式2. B
变式3. D 变式4. B 【典例3】(-4,1) 变式1. A
变式2. D 变式3.(7,0) 变式4.4
变式5. C
解:当x=1时,y=a+b+c,故过哪三点时,x=1时最大,由对称性知过A，C，D三点.
专题讲练2 二次函数图象增减性(一)——明对称轴
【典例1】C
解：抛物线 的对称轴为y轴，且开口向上，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，a<-1，
∴a-1变式1. B 变式2. B
【典例2】C
解：抛物线的对称轴为x=1,x ,x 在对称轴两侧，且x -1>1-x ,故 B 点离对称轴远,
变式1. D
变式2. D
解：抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，x 离对称轴最远，x 比x 离对称轴远，
专题讲练3 二次函数图象增减性(二)——隐对称轴
【典例】-1解：对称轴为x=1，
∴2n+3-1<1-(n-1) n<0,
∴-1变式1. C
解:对称轴x=1,
当y y <0时,y <0,y >0,
变式2. D
解：对称轴为x=1.
①当a>-1时,
不知a的符号，故A，B选项都错.
②当a<-1时,开口向下,
点B 离对称轴远,y >y .
变式3. D
解：对称轴 根据与对称轴远近，y >y >y .
专题讲练4 二次函数图象增减性(三)——作差法比较函数值大小
【典例1】解：∵对称轴
变式1.解
又
变式2.解：
-1
【典例2】解：由题易得 =3,
∵B(3,0),C(0,3),抛物线顶点(2,-1),
∴直线BC:y=-x+3,当y=-1时,x=4,故
变式. A
解：由 解得 或
∴直线y=3x+19与抛物线的交点的横坐标为-5，4.
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(-2，-5).把y=-5代入y=3x+19,解得x=-8,
若 则
专题讲练5 抛物线对称性(一)——明对称轴
【典例1】(5,0)
解：对称轴为x=2，由对称性知x =5.
变式.3
解:∵对称轴x=-2,
∴当x=1时,y=a+b+c=3.
【典例2】B
解:①画图知a<0 对;
②对称轴 错；
③对;
④由对称性知x=-1与x=4对称,
当x=4时,y=-3,
故与x轴交点x<4 错.
变式.解：易知对称轴为x=1，
y =-a-3,∴3a-3<0,
-a-3≥0,a≤-3.
专题讲练6 抛物线对称性(二)——隐对称轴
【典例】2010
解:对称轴为x=m+4,
当x=m时,y=n,
n=2026-16=2010.
变式1.-2
解：对称轴为
当x=2时,y=-2.
变式2.0
解：对称轴
而 是对称点，
∴p-q=0.
变式3. C
解：对称轴为
代入得
=2024.
变式
解：易知对称轴
当x=a时,y=m,
故
变式5.-3
解:易知对称轴x=1013,
∴x=0与x=2026关于x=1013对称,故y=-3.
专题讲练7 抛物线对称性(三)
【典例1】-202
解：
∴a=-202
变式1.4042
解：
变式2.-2020
解：
变式3.-3030.
解：如图
∵b<0,∴b=-3030
【典例2】B
解：由对称知另一个交点为(-4，0)，∴y=a(x-2)(x+4),-4变式1. C
解:对称轴x=-1012,∴2-(-1012)=1014
变式2.解：对称轴
(1)如图,
(2)∵m=0,∴对称轴为直线x=1
根据对称性知这四个根的和为4

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