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二次函数与方程、不等式
专题讲练1 二次函数与方程、不等式(一)
考点一 二次函数与方程
【典例1】如图，抛物线 与直线y= bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程 的解是 .
变式1.(2019·武汉)抛物线 经过A(-3,0)、B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程 的解是 .
变式2.(2019 武汉四调)抛物线 经过(-1,0)、(5,0)两点,则关于x的一元二次方程 的解是 .
变式3.抛物线 的图象与x轴只有一个公共点，则b的值为( )
A.2 B.-2 C.±2 D.0
考点二 二次函数与不等式
【典例2】二次函数 ,当y<0时,x 的取值范围为 ;当y>0时,x的取值范围为 .
变式1.二次函数 ，若y≥2，则x的取值范围为 .
变式2.如图是二次函数. 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是( )
A.-15 C. x<-1且x>5 D. x<-1或x>5
变式3.二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实根，则m的最大值 .
变式4.一元二次方程 有一个根为x=3，且 过(2,-3),则不等式 的解为 .
变式5.(2019·潍坊)抛物线. 的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程 (t为实数)在-1A.2≤t<11 B. t≥2 C.6专题讲练2 二次函数与方程、不等式(二)——求字母的范围
模型 (1)过点(-1,0) 代入y=ax + bx+c, 则有a-b+c=0; (2)x=2时,y<0, 则有4a+2b+c<0. 归纳 (1)(代值法)过点(m,n),则有am + bm+c=n; (2)(看图法)当x=2时,y<0; (3)(顶点法)当x=m时,y=am + bm+c, ∵顶点坐标((1,a+b+c)即y最小值为y=a+b+c, ∴am + bm+c≥a+b+c.
考点一 注意三大信息：①交点信息(代值)；②顶点信息(最值)；③对称轴信息
【典例1】已知抛物线 与x轴交于点A(-1,0),对称轴为x=1.
(1)a-b+c 0;
(2)4a+2b+c 0; (5)b+2a 0;
(3)9a+3b+c 0; (6)3a+c 0.
考点： 结合韦达定理，求交点横坐标和与积
思考：若上题中抛物线(同典例1)与直线y=2x+2交点横坐标为x ,x ,则
方法：(1)(代值法)与x轴的交点信息；(2)(看图法)根据交点对应y的值列式；
(3)(顶点信息)顶点纵坐标最大或最小；(4)(对称轴信息)根据对称轴求a，b关系.
变式.抛物线 与x轴交于点(3,0),对称轴为x=1.
(1)a-b+c 0; (2)4a+2b+c 0;
; (4)3a+c 0.
思考：若上题中抛物线(同变式1)与y=-3有交点，则a 的取值范围为 .
【典例2】抛物线 过(-1,0)与(0,-1),且对称轴不在y轴左侧,求a+b+c的范围.
思考：若 过(1,0),(0,-2),且对称轴在y轴左侧，则t=a-b-2的范围为 .
专题讲练3 二次函数与方程、不等式(三)——区间最值(1)〈定轴问题〉
考点一 定轴定区间，注意增减性与顶点坐标
【典例1】二次函数 在-3≤x≤2的范围内有最小值-5，则c 的值是( )
A.-6 B.-2 C.2 D.3
方法：①利用解析式求对称轴；②判断对称轴是否在区间内；③确定x=2时，y的最小值为-5；④将(2,-5)代入解析式求c 的值.
变式1.已知 若2≤x≤4,求函数 y的最值.
变式2.已知函数 ,若-4≤x≤2,求该函数y 的取值范围.
考点二 定轴动区间，注意分区间讨论
【典例2】已知二次函数 在0≤x≤a时,y的最大值为15,求a 的值.
变式.已知a≤x≤a+1时,函数. 的最小值为1，求a的值.
专题讲练4 二次函数与方程、不等式(四)——区间最值(2)<动轴问题>
根据与对称轴远近确定函数y的大小.
则 则 则
类型一 动轴、定区间，注意对称轴与区间位置关系，知抛物线最值与函数值分两种情形
【典例1】已知二次函数 h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h 的值为( )
A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3
变式.二次函数 中,当0≤x≤3时,y的最小值为-2,求t 的值.
考点二 动轴定区间最值为参数求范围
【典例2】已知关于x的二次函数 当1≤x≤3日时，函数有最小值2a，求a的值.
变式.二次函数 当自变量x在--1≤x≤1的范围内有最小值n，则n的最大值为 .
第二节 二次函数与方程、不等式
专题讲练1 二次函数与方程、不等式(一)
【典例
解：∵抛物线 与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),
∴方程组 的解为
即关于x的方程 的解为
所以方程 的解是
变式
解：由题意知方程 的两根分别为-3、4，∵ ,设此方程的根为x'，故 即 或
变式2.-2或4
解： 经过(-1,0)、(5,0),y=a[x-(h- ，则顶点为(h-1，k)，故此图为原图象向左平移1个单位长度,即过(-2,0)和(4,0),∴此方程的两根为--2或4.
变式3. C
【典例2】-13或x<-1
变式1.1≤x≤3 变式2. D 变式3.3 变式4.-1≤x≤2变式5. A
专题讲练2 二次函数与方程、不等式(二)
——求字母的范围
【典例1】解:(1)当x=-1时,y=0;(2)当x=2时,y>0;
(3)当x=3时,y=0;
(4)顶点(1,a+b+c),当x=m时,( +c≤a+b+c,即(
(5)对称轴
思考:-1
解
变式.解:(1)当x=-1时,y=0;(2)当x=2时,y<0;
(3)顶点(1,a+b+c),当x=m时, ≥a+b+c,即
(4)对称轴为
思考：
解：
即 即-3≥-4a,
【典例2】解:
当x=1时,y=2a-2,
∵a>0,∴y>-2,即-2∵对称轴
即
∴a+b+c=2a-2≤0.
故-2思考:-4专题讲练3二次函数与方程、不等式(三)
———区间最值(1)<定轴问题>
【典例1】D
解：对称轴
将(2,-5)代入,∴-2 -2×2+c=-5,c=-5+8=3
变式1.解:x=2, ymin=-3,x=4, ymax=5.
变式2.解：
当x=±1时,, ymin=-4;
当x=-4时,, ymax=5;
∴-4≤y≤5.
【典例2】解:①0x=0, ymax=2-3=-1≠15(舍);
②0<2-a<1时,
x=0, ymax=-1≠15(舍);
③2(舍)
综上a=4.
变式.解:∵x=1,ymin=0≠1,∴a与a+1a
在对称轴同侧
①a∴(a+1-1) =1,a=±1,∵a<0, ∴a=-1;
②1∴ 0(舍),a =2,综上a=-1或2.
专题讲练4 二次函数与方程、不等式(四)
——区间最值(2)<动轴问题>
【典例1】B
解：
当x=h时，y有最小值为1，
故1与3在对称轴同侧，
①若在对称轴左侧，
x=3时, l或5,
又∵h>3,∴h=5;
②若在对称轴右侧，
x=1时, 或-1,
又∵h<1,∴h=-1.
综上h=5或-1.
变式.解:①0<3(舍);
②t<0<3,∴x=0,
(舍);
③0≤t≤3,∴x=t,
(舍),
综上，
【典例2】解:①1<32a,a=1;
a =-3,∵1变式.
解：抛物线 的对称轴为直线x=h，开口向上,当h≤-1时,y随x的增大而增大,此时n=1+3h≤-2,n的最大值为-2;
当--1此时 的最大值为 ;当h≥1时,y随x的增大而减小,此时n=-h+1≤0,n的最大值为0.
综上，可得n的最大值为

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