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二次函数图象信息
专题讲练1 图象信息(一)——代值法
考点 抛物线过两点代入抛物线解析式联立
【典例1】(2024·海淀期末)如图所示为抛物线 的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( )
A. a+b=-1 B. a-b=-1 C. b<2a D. ac<0
变式1.如图,在正方形ABCD中,点A,C的坐标分别是(1,2),(-1,-2),点O,B 在抛物线 上,则b+c的值是( )
B. D.
变式2.(2024·安徽)已知点A(x ,y )在抛物线 上，点 t>0)在 上,h=3t,求h的值.
考点二 代值后再配方
【典例2】(2024·福建)已知二次函数 的图象经过 B(3a，y )两点，则下列判断正确的是( )
A.可以找到一个实数a，使得y >a B.无论实数a 取什么值，都有
C.可以找到一个实数a，使得. D.无论实数a 取什么值，都有
变式1.二次函数 的图象的顶点在第一象限，且经过(0，1)、(-1，0)两点，若s=a+b+c,则s的取值范围( )
A.0变式2.(2024·大连)如图,菱形OABC 边长为2,点C 在y轴负半轴上,抛物线 过点 B,若∠AOC=60°,则a= .
专题讲练2 图象信息(二)———多结论问题(1)
题型- 结合图象并注意顶点、对称轴的运用求解
【典例1】如图，抛物线 与y轴的交点在(0，-2)的下方，对称轴是直线x=1，下列四个结论：(①a+b+3c<0;②b -4ac<8a;③at -b≥a-bt;④3b-2c<0.其中正确的是 .(填序号)
【方法】(1)与x轴交点信息，代值；
(2)顶点纵坐标信息，最大或最小；
(3)注意等式与不等式相结合，将等式代入不等式得新的不等关系.
变式.抛物线 (a,b,c是常数)的顶点在第二象限，且a+b+c=0.下列四个结论:①b<0;②a-b+c>0;③a-b-c>0;④若 则当x<--1时，y随x的增大而增大.其中正确的结论是 (填序号).
考点二 注意代值法的理解(过两点代入相减)
【典例2】(2022·武汉)已知抛物线 (a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且10;②若 则3a+2c<0;③若点 在抛物线上， 且 则 ④当a≤--1时，关于x的一元二次方程 必有两个不相等的实数根.其中正确的是 (填写序号).
专题讲练3 图象信息(三)——多结论问题(2)
考点一 数形结合，二次函数与方程、方程组
【典例】(2024·武汉)已知抛物线 与x轴交于点(m,0),(2,0),其中00;②2b+3c<0;③不等式 的解集为0【方法】(1)开口方向与坐标轴交点信息确定a，b，c符号；
(2)与x轴交点信息，代值；
(3)将方程解转化为直线与抛物线交点.
考点二 绝对值函数，注意两种情形画图理解
变式1.(2023·武汉)抛物线 (a,b,c是常数,c<0)经过(1,1),(m,0),(n,0)三点，且n≥3.下列四个结论：
①b<0;②4ac-b <4a;③当n=3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t>1；④若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
其中正确的是 (填序号).
变式2.(2023·武汉四调)函数 (b为常数)有下列结论：
①无论b为何值,该函数图象过定点(0,-4);②若b=-2,则当x<1时,y随x增大而减小；③该函数图象关于y轴对称；④当b>0时，该函数的最小值是-4.
其中正确的结论是 (填序号).
专题讲练4 图象信息(四)——多结论问题(3)
考点一 数形结合与换元法运用
【典例】(2024·武汉)抛物线 (a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0①b>0;②若0其中正确的是 .
考点二 注意图象的增减性
变式.(2023·永春月考)已知抛物线 经过 ，顶点是 且 ，下列四个结论：①abc<0;②4a+2b+c<0;③ax + bx>0的解集是 或x>0;④点 在抛物线上，当t<-2时， 其中正确的是 (填序号).
专题讲练5 图象信息(五)——多结论问题(4)
考点一 注意数形结合与特殊点的函数值
【典例】(2024·武汉)已知抛物线 (a,b,c是常数,0①b>0；②关于x 的一元二次方程 一定有一个根是小于1的正数；
③当x<1时，y随x的增大而减小；④分式 的值小于3.
其中正确的结论是 (填序号).
考点二 注意函数的对称性，并注意顶点、交点、对称轴三大信息
变式.(2023·江夏月考)二次函数 (a,b,c为常数，a≠0)的图象开口向下，与x轴交于(1,0)和(m,0),且 .有下列结论:①abc>0;②2a+c<0;③若方程 有两个不相等的实数根，则 ④当 时，若方程 有四个根，则这四个根的和为 其中，正确结论的 .
专题讲练6 图象信息(六)——二次函数中新定义
考点一 待定系数法与判别式问题
【典例】(2023·南安模拟)定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“关联函数”，这对对称的点称为“关联点”，例如：点P(-3，9)在函数y 上,点Q(3,-9)在函数y=-2x-3上,点 P 与点Q 关于原点对称,此时函数 y 和y=-2x-3互为“关联函数”，点M 与点N 则为一对“关联点”，已知函数y= 和y=4x+n-2022互为“关联函数”,则n不可能是( )
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
考点二 不经过某点问题
变式1.(2023·洪山月考)若对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点 则符合条件的点 P( )
A.有且只有 1个 B.有且只有2个
C.有且只有3个 D.有无穷多个
变式2.(2023·岳阳)若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的二次函数 (s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是( )
A. s<-1 B. s<0 C.0二次函数图象信息
专题讲练1 图象信息(一)——代值法
【典例1】B
解:由图知A(-1,0),C(0,1)代入 中得
∴a-b=-1.故选B.
变式1. D
解:过点 B 作MN⊥x轴,作AM⊥MN于点M,
CN⊥MN 于点N,∴△AMB≌△BNC,
设
变式2.解：
【典例2】C
解 故答案为C.
变式1. B
解：易知 则s=2b,
又x=-b0,a<0,∴0变式2.-1
专题讲练2 图象信息(二)——多结论问题(1)
【典例1】①③④
解:①∵x=1时,y=a+b+c<0,c<0,
∴a+b+3c<0,①对;
②顶点的纵坐标小于-2，
②错;
③x=1,y最小,③对;
④∵x=-1时y>0,
∴3b-2c<0,④对.
变式.①②
解:①过(1,0), 故a<0 b<0;
②由图象知x=-1,y>0;
③由a-b-c=2a-(a+b+c)=2a<0;
【典例2】①③④
解：
=0;
③代入相减易知；
④顶点纵坐标 又 故y>1.
专题讲练3 图象信息(三)——多结论问题(2)
【典例】②③④
解:(1)b<0,c>0, bc<0 ①错;
(3)由图象知③对；
有实根，
即 有交点，
即
变式1.②③④
解：①画出草图，开口向下，顶点在第一象限，
③t-1=3a+b,又
变式2.①③④
解:①x=0,y=-4,过点(0,-4);
②b = - 2 时,
两段抛物线的对称轴x=1,x=-1;
③对;④b>0,函数图象为
专题讲练4 图象信息(四)——多结论问题(3)
【典例】②③④
解：①对称轴 故①错误；
②令x-1=t,则-11,故②正确;
过(-1,1),c=b+2,顶点纵坐标y 故③正确；
变式.①③④
解:∵抛物线经过(-3,0),顶点是(-1,n),且n<0,
∴顶点为最低点，即抛物线开口向上，a>0，
由抛物线的对称性可得抛物线经过(1，0)，
∴--3∴x=0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，即c<0，
∴abc<0,①正确.
当x>1时,y>0,
∴x=2时,y=4a+2b+c>0,②错误.
∵b=2a,
∴抛物线 与x轴交点坐标为(0,0),(-2,0),
∵a>0，抛物线开口向上，
∴x<-2或x>0时,y>0,③正确.
当t<-2时,t-2<-4,t+1<-1,
∵x<-1时,y随x增大而减小,
∴y >y ,④正确.
故答案为:①③④.
专题讲练5 图象信息(五)——多结论问题(4)
【典例】②③④
解：①根据题意画图知，对称轴为x=- ①错误；
②与x轴交点01,故②正确；
③a+b+c=m<0,∴-b=a+c-m,∴对称轴x=- 1时，y随x的增大而减小；
当x=-2时,y=4a-2b+c>0,b-a<0,
故
变式.①②③
解:①∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵(m,0),(1,0),在y轴左右两侧,
∴抛物线与y轴交点在x轴上方，即c>0，
∴abc>0,①正确.
∴b>a,
∵抛物线经过(1,0),
∴a+b+c=0,
∴a+c=-b
∴2a+c=a-b<0,②正确.
③∵抛物线开口向下，∴抛物线与直线y=1有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，
即
∴方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根时 ③正确.
∴抛物线对称轴为直线
方程 的根为函数 与直线y=1的交点横坐标，
由函数的对称性可得
∴④错误.所以，正确的结论是①②③.
专题讲练6 图象信息(六)——二次函数中新定义
【典例】D
解：设 则点 N 为
把N的坐标代入y=4x+n-2022中,得:
化简得：
∵△≥0,
∴n≤2023.
∴n 不可能是2024.
故选 D.
变式1. C
解：∵对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点P(x ,2x -6),
∴x =3或x =1或x =-2,
∴点 P 的坐标为(3,0)或(1,-4)或(-2,-10),
故选:C.
变式2. D
解：将(k，2k)代入二次函数，得 整理得
是关于k的一元二次方程，总有两个不同的实根，
令
即△=16s(s+1)<0,解得-1故选:D.