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二次函数与实际问题---利润问题
专题讲练1 二次函数的应用(一)——利润问题(1)
【典例】某商场购进一批商品，商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，那么每天少卖2件，设每件商品涨价x元，每天获利y元.
(1)涨价后，每件盈利 元，每天可销售 件；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每天获利2250元
(3)当售价定为多少元时，每天获利最大 并求出最大利润.
考点二 结合图象解一元二次不等式
探究1：若(3)中添加条件“若为了吸引客户做促销活动，规定售价最高不能超过70元”，那么当售价定为多少元时，每天获利最大
探究2：要使每天的利润不低于2400元，求售价的取值范围.
考点二 结合对称轴分类讨论
探究3：若设商品的售价为x元，每天获利y元.若售价不超过a元，求y的最大值.
考点三 结合对称轴利用增减性，结合区间最值求参数范围
探究4：由于劳动成本提高，该商品的进价提高了m元/件，且物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，若每天获得的最大利润是1800元，求m的值.
探究5：若每天销量不低于20a，最大利润为2400元，求a 的值.
专题讲练2 二次函数的应用(二)——利润问题(2)<单月利润与总利润>
考点一 理解单月利润与总利润
【典例】某品牌商品进价为20元/kg，设第x天的销售单价y元/kg对应的销量为 m kg，市场调查反映y与x满足一次函数关系,且当x=30时,y=29;当x=40时,y=24,其中m=2x+80.第x天的销售价格上涨a元(0变式1.某公司向市场投入一款电子产品，前期研发投入为10万元，总利润y(万元)与月份x之间的函数关系式为 (总利润=月销售累积利润-前期投入).
(1)投入市场后多长时间内总利润y是随月份x增加而增长的
(2)求最快要几个月总利润能达到81万
(3)当月销售利润不超过3万时应考虑推出替代产品，问该公司何时推出替代产品最好
考点二 理解“第”与“最”在函数中的实际意义
变式2.水果店以一定的价格购进某种水果若干千克，通过销售统计发现：商品从开始销售至销售的第x天的总销量y(千克)与x的关系为二次函数，销售情况记录如下表：
x 1 2 3
y 39 76 111
(1)求y与x的函数关系式；
(2)这批水果多少天才能销售完；
(3)水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种水果，试问再过多少天库存量为216千克
专题讲练3 二次函数的应用(三)——利润问题(3)〈非顶点处求最值〉
考点一 非顶点处求最值注意增减性
【典例】(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为 y元.
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅
考点二 非顶点处求最值注意对称性
变式.(2024·滨州)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x 是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出的电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为ω(单位：元)，求ω与x之间的函数关系式；
(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大 最大利润是多少
专题讲练4 二次函数的应用(四)——利润问题(4)〈结合图象解不等式〉
考点· 分段函数注意将最值进行比较求最值
【典例】武汉市某公司积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式为
(1)若公司销售该产品获得的年利润为vω(万元)，请直接写出年利润w(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
(2)当该产品的售价x(元/件)定为多少时，公司销售该产品获得的年利润最大 最大年利润是多少
(3)若公司销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.
考点二 注意对称轴与增减性
变式.某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元.试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售.设每天销售量为y件，销售单价为x元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)当销售单价是多少元时，网店每天获利不少于3840元
(3)网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元(0专题讲练5 二次函数的应用(五)——利润问题(5)〈区间最值〉
考点一 结合对称轴对自变量区间讨论求最值
【典例】(2021·武汉)在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费十其他成本)；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是ω元，求ω关于x的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)若每盒产品的售价不超过a 元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润.
考点二 注意参数范围与对称轴大小
变式.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为边长为 x cm的正方形(x>10)，每张薄板的成本价与正方形的面积成正比例，每张薄板的出厂价y(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例.在销售过程中得到了表格中的数据.
薄板的边长x(cm) 20 30
出厂价y(元/张) 50 70
(1)求一张薄板的出厂价y与边长x之间的函数关系式；
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元(利润=出厂价-成本价).
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②若每张薄板的边长不超过a cm(a是不大于50的常数)，求每张薄板的最大利润.
专题讲练6 二次函数的应用(六)——利润问题(6)<和差函数>
考点一 注意两个函数x 的含义不同转换变量
【典例】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车越来越畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中 A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同.
(1)求A，B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA(台)与售价xA(万元/台)满足函数关系 B 型汽车的每周销售量yB(台)与售价xB(万元/台)满足函数关系yB=-xB+14.若A 型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为 W 万元.
①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润时，求B 型汽车的最低售价
②求当 B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大 最大利润是多少万元
考点二 注意前面铺垫作用
变式.某公司以6万元/吨的价格收购20 吨某种农产品后，分成A，B两类(A类直接销售，B类深加工后再销售)，并全部售出.
A类农产品的销售价格y(单位：万元/吨)与销售数量x(单位：吨)之间的函数关系是y=-x+16.
B类农产品深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：吨)之间的函数关系是s=10+t,销售价格为10万元/吨.
(1)设其中A 类农产品有x吨，用含x的代数式表示下列各量.
①B类农产品有 吨；
②A 类农产品所获得总利润为 万元；
③B 类农产品所获得总利润为 万元.
(2)若B 类农产品的总利润比A类农产品的总利润多10万元，则A 类农产品有多少吨
(3)直接写出两类农产品利润和的最大值.
二次函数与实际问题
第一节 利润问题
专题讲练1 二次函数的应用(一)——利润问题(1)
【典例】解:(1)(20+x) (100-2x)件;
(2)y=(20+x)(100-2x)=-2(x-15) +2450,
故售价定为65元或85元；
(3)当x=15时, ymax=2450.
∴当售价定为75元时，最大利润为2450元.
探究1
解： ,又60+x≤70,∴x≤10,∴当x=10时, ymax=2400,此时售价定为70元.
探究2
解：当y=2400时, ∴售价的取值范围为大于等于70元小于等于80元.
探究3
解：由题知
对称轴 当a≥75时，ymax=2450;
当60探究4
解： (2000-100m),对称轴 又x≤5,∴y随x增大而增大，
故x=5时, ymax=1800,∴(25-m)(100-10)=1800,m=5.
探究5
解:100-2x≥20a,x≤50-10a,又. 2450,∴对称轴x=15,
①当50-10a>15时,最大值为2450,不符合题意,舍去；
②当50-10a<15时,即x=50-10a,y最大值=2400,角解得a=3或4,∵a>3.5,∴a=4.
专题讲练2 二次函数的应用(二)——利润问题(2)<单月利润与总利润>
【典例】解：由题易得y与x的函数解析式为 44，设利润为W元，则
+2a)x+80a+1920,∴对称轴x=a+4,∵0=2704,a=8(负值已舍去);②当a+4≥13即9≤a≤10 时,,. (舍去);综上,a=8.
变式1.解:( -1<0，所以前10个月总利润y是随月份x增加而增长的；
(2)当 y=81时, 解得:x =7,x =13,所以最快要7个月;
(3)根据题意得( +20(x-1)-10]≤3,解得:x≥9,所以第9个月推出替代产品最好.
变式2.解：(1)设y与x的函数关系式为 与x的函数关系式为
(2)由(1)得 400,当x=20时,y最大=400,∴20天才能销售完；
=16,x =4(舍),16-6=10,∴再过10天库存量为216千克.
专题讲练3 二次函数的应用(三)——利润问题(3)<非顶点处求最值>
【典例】解：
∵200-x≥180,∴x≤20,
∴x=20,y最大值=12240;
(舍),x =10,
(辆).
∴这天售出了64辆轮椅.
变式.解:(1)设y与x函数关系式为y= kx+b,
∴y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数);
∵x为整数,∴x=40或41,
wmax=4560.
专题讲练4 二次函数的应用(四)
——利润问题(4)<结合图象解不等式>
【典例】解：
(2)①40≤x<60时,
时, wmax=800;
②60≤x≤70时,
时, wmax=600;
∴当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品获得的年利润最大，最大利润为800万元.
(3)①当40≤x<60时,令ω=750,则 200x-4200=750,解得. 当45≤x≤55时,w≥750;
②当60≤x≤70时,w最大值600,不可能取750，综上所述：要使公司销售该产品的年利润不少于750万元，则售价的取值范围是45≤x≤55.
变式.解:(1)y=600-10x(30≤x≤38);
(2)(600-10x)(x-20)≥3840,解得36≤x≤44,∵30≤x≤38,∴36≤x≤38,
∴当销售单价满足36≤x≤38时，网店每天获利不少于3840元；
(3)设利润为W元，则
W=(600-10x)(x-20-a)=-10x +800x+10ax-12000-600a,对称轴 40,x≤38,W随x增大而增大,∴x=38时,W=3300,∴(600-380)(18-a)=3300,a=3.
专题讲练5 二次函数的应用(五)
——利润问题(5)<区间最值>
【典例】解：(1)设B原料单价为 m元，则A 原料单价为1.5m元，依题意，得 解得m=3，经检验，m=3是原方程的根，每盒产品的成本为:4.5×2+4×3+9=30(元);
(2)ω=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x +1400x-33000;
(3)当a≥70时,每天的最大利润为16000元;当60变式.解:(1)设y= kx+b,则 解得 ∴y=2x+10;
(2)①设一张薄板的利润为 W 元，它的成本价为nx 元，由题意得： nx ,
则26=2×40+10-1600n,解得
②当25≤a≤50时,
当10专题讲练6 二次函数的应用(六)
——利润问题(6)<和差函数>
【典例】解：(1)设B 型汽车的进货单价为a 万元，则 经检验a=8是原方程的解；
∴A 型汽车的进货单价为10万元，B型汽车的进货单价为8万元；
∴xB≥10.25,∴B 型汽车的最低售价为10.25万元;
当xB=12时, ∴当B 型汽车售价为12万元时，总利润最大为23万元.
变式.解：(1)①20-x ( ③-3x+50
解得：.
(3)62.25万元

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