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第四节 圆与相似
专题讲练1 圆与相似(一)——常规相似
考点一 “X型”相似
【典例】如图,在 Rt△ABC 中,. 延长CA 到点D,以AD为直径作⊙O,交 BA 的延长线于点E,延长BC 到点F,使BF=EF.
(1)求证:EF 是⊙O 的切线;
(2)若OC=9,AC=4,AE=8,求BF 的长.
考点二 子母型相似
变式1.如图,AB 为⊙O 的弦,D,C为 的三等分点， 交DC 的延长线于E.
(1)求证:
(2)若 求CE 的长.
变式2.如图,AB 是⊙O的直径,C为半圆的中点,弦CD 交AB 于E, 于F.
(1)若 求 的度数；
(2)若 求⊙O的半径.
专题讲练2 圆与相似(二)——切割型相似
考点一 切线、穿心 子母型相似
【典例】如图,△ABC中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点 D作FG⊥AC于点F,交AB 的延长线于点G.
(1)求证:FG是⊙O的切线;
(2)若tanC=2,求 的值.
变式1.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E，AE 交⊙O于点D,直线EC交AB 的延长线于点P,连AC,PB:PC=1:2.
(1)求证:AC 平分
(2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由.
考点二 切线线相似与勾股相结合
变式2.如图,AB 是⊙O的直径,点C 在AB 的延长线上,AD 平分 交⊙O于点D，且 垂足为点 E.
(1)求证:直线CE 是⊙O 的切线;
(2)若 求弦AD 的长.
专题讲练3 圆与相似(三)——构造“A”型相似
考点一 结合切线长定理用“A型”相似
【典例】(2024·江岸)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC 于点D,过点D 作⊙O的切线,交AB 于点E,延长BA 交⊙O 于点F.
(1)求证:DE⊥AB;
(2)若 求⊙O的直径.
变式1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D，AD 交⊙O 于E.延长DC,AB 交于点F,若 求 tan∠CAF 的值.
考点二 结合斜边上的中线用“X型”相似
变式2.(2023·随州)如图,AB 为⊙O的直径,C 为 的中点， 于D，DC 的延长线交直线AB 于点F.若 求 DE 的长.
专题讲练4 圆与相似(四)——双垂相似
考点一 “X型”相似
【典例1】(2024·北京)如图,AB 是⊙O的直径,点C,D 在⊙O 上,OD 平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC;
(2)延长DO交⊙O 于点E,连接CE 交OB 于点F,过点 B 作⊙O 的切线交DE 的延长线于点 P.若 求⊙O半径的长.
变式.如图,在半径为5的⊙O中,AB 是⊙O 的直径,CD 是过⊙O上一点C 的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,E是BC 的中点,OE=3.
(1)求证:CD 是⊙O的切线;
(2)求AD的长.
考点二 注意 AA 相等 相似 比例式 等积式
【典例2】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O 的弦,P 是⊙O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求证:PB 是⊙O 的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2,求BC的长.
变式.如图，AB 是⊙O的直径，点 E 是⊙O上一动点，且不与A，B 重合，∠EAB 的平分线交⊙O于C,CD⊥AE 交AE 的延长线于D.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)求证:
专题讲练5 圆与相似(五)——“X”型相似
考点一 等腰与“X”型相似
【典例】(2017·武汉)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB 于点D.
(1)求证:AO平分∠BAC;
(2)若 求AC 和CD的长.
变式1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,过点A 作⊙O的切线,交CO的延长于点D,若⊙O 的半径为5,BC=6,求AD 的长.
考点二 “X”型相似与中位线定理相结合
变式2.如图,CD为⊙O的直径,AB,AC为弦,且 ,AB交CD于E.
(1)求证:
(2)若 ,求AC 的长.
第四节 圆与相似
专题讲练1 圆与相似(一)——常规相似
【典例】解:(1)连接OE,证明略;
(2)连接DE,由△AED∽△ACB, =AB,AB=5,作 FM⊥BE于M,
变式1.解:(1)证( ∴∠ACD=∠A=∠E;
(2)由(1)知∠D=∠E,
∴BD=BE=5,
又△BDC∽△EDB,
变式2.解:(1)连接AC,
(2)连接AD,CO,易知△ACE∽△DCA,AC =5×8,
又
专题讲练2 圆与相似(二)——切割型相似
【典例】解:(1)连接OD,证OD∥AC.
(2)连接AD,
:AD=1:2,∴△GDB∽△GAD,
设
%
变式1.解:(1)连OC,证OC∥AE;
(2)线段PB,AB之间的数量关系为AB=3PB.理由：
连接BC,易证△PCB∽△PAC,
∵PB:PC=1:2,∴PC=2PB,
∴PA=4PB,∴AB=3PB.
变式2.解:(1)连接OD,证OD∥AE 即可;
(2)连接BD,易证△CDB∽△CAD,∴CD =CB·CA,
∴(3 ) =3·CA,∴CA=6,∴AB=3,
设BD= x,AD=2x,在Rt△ABD中,
专题讲练3 圆与相似(三)——构造“A”型相似
【典例】(1)证明:连接OD,AD,
∴BD=CD,∴OD∥AB,
∴DE⊥AB;
(2)连接CF,设⊙O的半径为R,
在△ACF 中,
∴R=5,AC=10.
变式1.解:连接OC,设OA=OB=OC=R,AD=2a,BF=3a,
变式2.解:连接CO,BE,CO交BE 于H,则CO⊥BE, ∴OH=1,CH=DE=2.
专题讲练4 圆与相似(四)——双垂相似
【典例1】(1)证明:连接AC与OD交于点 H,
∵OA=OC,∠AOD=∠COD,
∴OH⊥AC,而BC⊥AC,
∴OD∥BC;
(2)设OH=x,∴BC=2x,
又
又
变式.解:(1)略;
(2)由
【典例2】解:(1)连接OB,证∠PBA+∠OBA=90°;
(2)OB=2,AC=4,△ABC∽△PBO,∴BCB=
变式.解:(1)略;
(2)连接BC,证△ADC∽△ACB.
专题讲练5 圆与相似(五)——“X”型相似
【典例】解:(1)连 BO,AB=AC,BO=CO,∴AO是BC的中垂线,∴AO平分∠BAC;
(2)延长AO交BC 于E,延长CD 交⊙O于F,连BF,BC=6,∴CE=3,又 sin∠COE= sin 又 BF∥AE,
变式1.解:连接AO,延长AO交BC于E,∵AB=AC,AE⊥BC,∴BE=CE=3,∵OC=5,∴OE=4,
易证△AOD∽△EOC,∴AD=OEA= ,∴AD
变式2.解:(1)连接BC,证∠ABC=∠ADC=∠ACB.
(2)连接DB,AO,延长AO交BC 于M,证AO⊥BC,DB⊥BC,∴AO∥BD,∴DE=DB,

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