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第六节 圆最值与多解
专题讲练1 圆与最值(一)
1.如图,在⊙O中,点A 为圆上一定点,点 B 为圆上一动点,连AB,AC⊥AB,∠CBA=30°,⊙O半径为 ，求OC 的取值范围.
2.如图,已知点 A 为⊙O上一定点,点 B 为圆上一动点,连AB,AC⊥AB,∠CBA=30°,⊙O半径为 ，则OC 的最小值为 .
3.如图,AB 是⊙O 的弦,且∠AOB=120°,C 为⊙O 上一动点,D,E 分别是AC,OB 的中点,连 DE,当∠CDE= 时,线段 DE 最长.
4.如图,A(2,0),B(0,2),⊙B 半径为1,点C在⊙B上,M为AC的中点,求OM 最大值.
5.如图,在等腰Rt△ABC 中, 点 P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC的中点.当点 P 沿半圆从点A 运动至点B 时，BM 最大值为 .
6.(2024·武汉)如图,AB是⊙O 的直径,AB=4,C是上半圆 的中点，D是下半圆AB 上一个动点，过点A 作CD 的垂线，垂足为E，则点 D 从点A 运动到点B 的过程中，点E 运动的路径长是( )
A.π B. C.2π
B
专题讲练2 圆与最值(二)
考点一 遇垂直相等作垂直相等构手拉手全等
【典例】如图，点C 是半圆 上一动点，以 BC 为边作正方形 BCDE(使 在正方形内)，连OE.若OE 取最大值时，∠OEB 的度数为 .
【方法】(1)知垂直相等作垂直相等，构手拉手全等(本质是旋转90°)；
(2)由全等得定长得点在圆上运动；
(3)三点共线时(或穿心)最大或最小.
考点二 遇等边作等边构手拉手全等
变式1.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(3,0),⊙O 经过点A,D 是⊙O上的一动点，将线段 BD 绕点 B 顺时针旋转90°得到线段 BC，连接AC，则AC的最大值为 .
变式2.如图,AB 为⊙O的直径,AB=8,点C为OB 的中点,点 P 在 上运动，以PC为边向外作等边△PCQ,求OQ 最小值.
考点三 遇等腰作等腰构手拉手全等
变式3.如图，P是半径为6的⊙O上一动点，A是⊙O内的一定点，且OA=4.以AP 为腰作等腰△APQ(点A,P,Q按顺时针排列),且∠PAQ=120°,M是AQ的中点,则OM的最大值为 .
专题讲练3 圆中多解问题(一)——点的位置未定
考点一 动点在优弧或劣弧上方分类讨论
【典例】如图,在⊙O中,半径OA 与弦BD 垂直,∠AOB=80°,点C 在劣弧 上,求∠ACD的大小.
【方法】(1)点在弧分两段讨论；
(2)先特殊后一般；
(3)注意圆内接四边形对角互补.
变式1.如图,AB 是⊙O 的直径,弦DE∥AB,∠DEB=110°.
(1)求∠EDB 的度数;
(2)过点O作AD的平行线交⊙O 于点C，直接写出∠ADC 的度数.
考点二 外心在三角形内或外分类讨论
变式2.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,OB,OC 交⊙O于E,F.
(1)∠BOC= ;
(2)若点 P 在⊙O上,不与E,F 重合,则∠EPF= .
变式3.如图,PA,PB与⊙O相切于A,B,连PC交 于点E,∠APB=64°,点C为⊙O上异于A,B的点.
(1)若点C 在优弧 上,求∠BCE 的度数;
(2)若点C在劣弧 上,求∠BCE 的度数.
变式4.点O,I分别是△ABC 的外心和内心,∠BOC=140°,则∠BIC 的大小为 .
专题讲练4 圆中多解问题(二)——切线位置未定
考点一 左相切或右相切分类讨论
【典例】如图,直线AB,CD 相交于点O,∠AOD=30°,半径为1 cm的⊙P 的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P 以1cm/s的速度由A 向B 的方向移动，那么⊙P 与直线CD 相切时用的时间是 .
【方法】直线与圆相切问题转化为圆心到直线距离等于圆的半径，即过P作PE⊥CD于E，则PE=1，同时注意圆心的位置.
变式1.如图,直角梯形ABCD,( ，以CD为直径的⊙O 以2单位/s向左运动，多少时间后⊙O与AB 相切 .
考点二 与一边相切或与另一边相切分类讨论
变式2.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P 是BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心,PM长为半径作⊙P,当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,求 BP 的长.
C
第六节 圆最值与多解
专题讲练1 圆与最值(一)
1.解:连OA,OM,AM,
则
故C点在圆周角为60°，弦为 的圆上运动，
圆心为O',O'C=1,
2.1
解:延长BC交⊙O于点M,连接AM,
∴AM= ,∠ACM=120°,
点C在圆周角为120°，半径为1的圆上运动，
∴OC过圆心最小,OC=1.
3.105°
解:连接OC,取AO中点P 连接PD,PE,则 PD,PE均为中位线，
当D,P,E三点共线的时候DE最长,此时DE∥AB∥CO,
∴∠CDE=∠CAB=105°.
4.解:连AB,取中点 N,
则
∴OM最大值为
解：点P 在圆上动，故M 点也在圆上动，取AB的中点O,连接OP,OC,取OC 的中点N,连接MN,则
6. B
解：连接AC 易知. ,取AC的中点O',连接O'E,则
∴点E 在半圆上运动的路径长 π.
专题讲练2 圆与最值(二)
【典例】22.5°
解:连OC,作BM⊥OB,
且BM=OB,连OM,EM,
则△BEM≌△BCO,EM=OC=R,
当O,M,E 三点共线时,OE 最大,此时∠OEB=22.5°.
变式1.6
解:作BE⊥OB 且BE=BO,连接CE,OD,AE.
△BCE≌△BDO,CE=OD=1,点C在以E为圆心1为半径⊙E 上运动，
当AC过圆心时最大，
变式2.解:以OC 为边作正三角形△OCM,连接PO,QM,则△PCO≌△QCM,MQ=PO=4,当O，M，Q三点共线，OQ 最大或最小，OQ≥2,最小值为2.
变式
解:把OA 绕A 点顺时针旋转120°至 AN,连接OP,QN,△APO≌△AQN,
QN=OP=6,
取AN的中点O ,连接MQ ,OO
当O ,O,M三点共线时,
OM 最大,
专题讲练3 圆中多解问题(一)——点的位置未定
【典例】解:①当 C 点在AB上时, 40°;
②当C点在AD上时， 140°.
变式1.解:(1)∠EDB=20°.
(2)∠ADC=35°或125°.
变式2.(1)130°
(2)115°或65°
变式3.解：
(2)29°或151°.
变式4.125°或 145°
专题讲练4 圆中多解问题(二)——切线位置未定【典例】4s或8s
解:①当⊙P 在CD 左侧时记点P 为P ,⊙P 与CD 相切于点E,连P E,则P E⊥CD,
∴⊙P 移动时间为(6-2)÷1=4(s);
②当⊙P 在CD 右侧时记点P 为P ,⊙P 与CD 相切于点F,连P F,
则 P F⊥CD,∴P O=2,
∴⊙P 移动时间为(6+2)÷1=8(s).
综上⊙P 与直线CD 相切时用的时间是4s或8s.变式1.3s或6s
解：设运动时间为 ts，当⊙O与AB 相切且圆心O在AB右侧时,设⊙O与AD,BC分别切于点E,F,DE=CF=2t,
则AE=8-2t,BF=10-2t,
由切线长定理得AE=AG,BF=BG,
∴BF+AE=AB,
8-2t+10-2t=6,t=3;
当⊙O与AB 相切且圆心O在AB 左侧时，同理可得t=6.
综上,3s或6s后⊙O与AB 相切.
变式2.解:①当⊙P与CD 相切时,则 PC=PM,
设PC=r,则BP=8-r,
②当⊙P 与AD 相切时,则 PM=8,
综上,BP=3或4

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