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四边形
专题讲练1 四边形(一)——平行四边形性质与判定
考点一 平行四边形的判定
【典例1】(2024·武汉)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别在边BC,AD 上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF，请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由)
考点二 菱形的判定
变式.如图,在平行四边形ABCD 中,点 E,F 分别在BC,AD 上,AC与EF 相交于点O,且AO=CO.
(1)求证:△AOF≌△COE;
(2)连接AE，CF，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形.(不需要说明理由)
考点三 矩形的判定
【典例2】如图,E,F 是平行四边形ABCD 的对角线AC上两点,AF=CE.
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)连接BF，DE 和BD，请添加一个条件： 使得四边形BEDF 为矩形.
变式.如图,AB∥DE,AB=DE,点C,F在AD上,且AC=FD,连接EC,BF.
(1)求证:△ABF≌△DEC;
(2)连接EF,BC,请添加一个条件,使四边形 BCEF 是矩形.(不需要说明理由)
专题讲练2 四边形(二)——四边形与勾股定理<45°角问题>
考点一 利用45°角构全等，结合勾股定理计算
【典例1】(2023·丽水)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠C=45°,△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,点E在CD上,AD=1,求CE的长.
C
变式.(2022·七一)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠DAC=2∠ACB,∠DCF=45°,DF⊥AC交AC 于点E,BF=2,AC=13,则AB= .
考点二 结合半角模型、勾股列方程计算
【典例2】(2024·外校)如图,在四边形 ABCD 中,∠BAD=90°,∠BCD=45°,∠ADB= 则△ABD 的周长= .
变式.如图，在直角梯形 ACME 中， ,B 为CM 的中点, 交AB 于点F,则 EF 的长为( )
A.4 B.5 D.5.5
专题讲练3 四边形(三)——赵爽弦图(1)
考点一 弦图与乘法公式、勾股定理
【典例1】(2023·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成(如图所示)，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c.
(1)若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 ;
(2)若大正方形的面积为10，小正方形的面积为2，求(a+b) 的值.
变式1.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则ab的值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
变式2.大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，变称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形 EFGH,连接EG,点O 是EG 的中点,记正方形ABCD 的面积为S ,正方形EFGH 的面积为S ,若 ，则 的值是 .
考点二 拼成赵爽弦图
【典例2】已知有5个边长为1的正方形，排列如图所示，请把它分割后拼成一个大正方形.
变式1.若有10个边长为1的正方形，排列如图所示，把它分割后拼成一个大正方形.
变式2.(2024·洪山)如图，有5块正方形连在一起的钢板余料，要求分割成若干小块后能拼接成与原图形面积相等的正方形，试给出两种分割方法.
专题讲练4 四边形(四)——赵爽弦图(2)
考点一 结合弦图作垂线构手拉手全等
【典例】如图，四个全等的直角三角形拼成内外两个正方形，若AE=3BE，直线EG 交AD 于点M,交BC 于点N,求 的值.
变式1.(2024·西安)如图，正方形ABCD 由四个全等的直角三角形拼接而成，连接 HF 交DE于点M,若 求 的值.
考点二 弦图与相似，三角函数
变式2.(2024·硚口模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别在AB,BC边(含端点)上运动,满足 ,正方形EFGH 的边 HG 所在直线交AD 于I,交 BC 于J,记四边形AEHI 的面积为 的面积为 为α，用含α的三角函数的式子表示 的值是 .
专题讲练5 四边形(五)——赵爽弦图(3)
考点一 赵爽弦图与相似
【典例】(2024·江汉模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连接CF,过点G作GM⊥CF于点M,过点B 作BJ⊥GM于点J,过点A作AK⊥BJ于点K,交CF 于点L,得正方形 JKLM.若 则CE 的长是
考点二 越爽弦图与方程组
变式1.(2024·江岸模拟)在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点 M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上,若AB=7,BC=8,则小正方形的边长为 .
变式2.(2024·湖北模拟)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边长为b，若( 大正方形的面积为20，现用一个半径为r的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则r的最小值是( )
B.
专题讲练6 四边形(六)——赵爽弦图(4)
考点一 三角函数+勾股定理+赵爽弦图
【典例1】(2023·杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形 EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1:n,tanα=tan β,则n=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
变式.(2023·乐山)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则 sinθ=( )
A. B. C.4 D.
考点二 三角函数+全等+相似
【典例2】如图，用4个全等的直角三角形拼成内外两个正方形，直线EG交AB 于点M，交CD于点N,BM=3AM,则 tanθ的值为 .
变式.如图，用8个全等的Rt△ABC(AC>BC)分别拼成如图1和图2中的两个正方形，中间的两个小正方形的面积分别记为S 和S ，且 ,则 tanA 的值为 .
专题讲练7 四边形(七)——最值问题
考点一 取中点求最值
【典例1】(2021·武汉四调)如图,已知正方形ABCD 边长为1,P 为正方形ABCD 的边BC上一动点,AE、AD 关于AP 对称,连接CE,点G为EC的中点,若P 点从B 点运动至C点，则G点运动的路径长为 .
变式.如图正方形 ABCD,点E 在直线BC上,连接AE,DE求 的最小值.
考点二拼接求和求最值
【典例2】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E 是边AB 上一点,过C作CF⊥DE交AD 于F,连接CE,则CE+CF的最小值为 .
变式.(2021中考改)如图,∠ACB=90°,AC=BC=1,点D 在AB上,点E 在AC上,BD=AE,求CD+BE 最小值.
考点三 “将军饮马”图求最值
【典例3】如图,菱形ABCD中,AD=4,∠A=60°,E为AD的中点,F为AB 上一动点,将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得EG,连接BG,CG,则BG+CG 最小值为( )
A.3 C.4
变式.(2022·山东)如图,正方形 ABCD的边长为3,点 E,F 分别是BC,CD边上的动点,并且满足BE=CF,则AE+AF 的最小值为( )
A.6 B.3
专题讲练8 四边形(八)——菱形〈角度计算〉
考点一 从正方形到菱形
【典例】(2023·武汉)问题提出:如图1,E 是菱形ABCD 边BC 上一点,△AEF 是等腰三角形,AE=EF,∠AEF=∠ABC=α(α≥90°),AF 交CD 于点G,探究∠GCF 与α的数量关系.
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图2，当 时，直接写出∠GCF 的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF 与α的数量关系.
考点二 从菱形到等腰三角形
变式.(2022·福建)已知
(1)如图1,CB 平分 求证：四边形ABDC 是菱形；
(2)如图2,将(1)中的 绕点C 逆时针旋转(旋转角小于 BC,DE 的延长线相交于点F，用等式表示. 与 之间的数量关系，并证明；
(3)如图3,将(1)中的 绕点C 顺时针旋转(旋转角小于 若 求 的度数.
四边形
专题讲练1 四边形(一)——平行四边形性质与判定
【典例1】(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,∠B=∠D,
又∵AF=CE,∴DF=BE,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)添加与线段有关的条件:AB∥EF(或 AF=BE).
变式.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠FAO=∠ECO.
又∵OA=OC,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA);
(2)EF⊥AC或AF=AE或AC平分∠FAE等(答案不唯一).
【典例2】(1)证明:∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE,
又∵AF=CE,∴△ADF≌△CBE(SAS).
(2)BD=EF
变式.(1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
∵AC=DF,∴AC-CF=DF-CF,
即AF=DC,
在△ABF与△DEC中,
∴△ABF≌△DEC(SAS);
(2)添加∠FBC=90°,四边形BCEF 是矩形.
专题讲练2 四边形(二)——四边形与勾股定理<45°角问题>
【典例1】解:作 BN⊥AD,EM⊥AD,交直线AD 于N,M,延长ME交BC 于点F,
△ABN≌△EAM,BN=AM,AN=EM,设DM=a,
∴BN=a+1,∴a+1=a+EF EF=1,∴
变式.5
解:作CG⊥BC 交AD 的延长线于G,作AM⊥CG交CG于M,则CM=MG,易证△DCF≌△DCG(AAS),∴CG=CF=2AB,设. x=5(负值舍),∴AB=5.
【典例2】6
解：过点 C 向△ABD 三边所在直线作垂线交直线AB，AD,BD 垂足分别为点E,F,M,易知CE=CM=CF,由全等知BE=BM,DM=DF,
∴△ABD周长=2AE=6.
变式. B
解:过点A 作AN⊥AE 交直线MC 于点N,过点A 作AG⊥EM 交直线ME 于点G,连接BE,
△ACN≌△AGE,CN=EG,AE=AN,
∴△AEB≌△ANB,
∴BE=BN=BC+EG,
设EG=x,BE=3+x,
∴x=2,∴EF=BE=5.
专题讲练3 四边形(三)——赵爽弦图(1)
【典例1】解：(1)由题意得
(2)由题意得
变式1. B
解：
变式2.
解：设
【典例2】略 变式1.略 变式2.略
专题讲练4 四边形(四)——赵爽弦图(2)
【典例】解:过点C作CH⊥CG,交MN 延长线于点H,连接BH,
∴△CBH≌△CDG,
∴BH⊥CH,BH∥CG,
变式1.解：延长DE 交CB 的延长线于点N，
△ADE∽△BNE,
设AH=1,AE=2,
又∵△DHM∽△NFM,
变式
解:延长AD,EH 交于点P,
∵四边形ABCD,EFGH 是正方形,
∴△AEP∽△BFE,
即EP=2EF,
∴EH=HP=EF=FG,
∴△IPH≌△JFG(ASA),
设EF=a,EP=2a,
∴AP=2acosα,
∵△AEP∽△HIP,
专题讲练5 四边形(五)——赵爽弦图(3)
【典例】
解:设CF交AB 于点P,过C作CN⊥AB 于点N,设正方形 JKLM 边长为m,
∴△AFL≌△FGM(AAS),∴AL=FM,
设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m,
在Rt△AFL 中,
解得x=m或x=-2m(舍去),
∴AL=FM=m,FL=2m,
∴AP=BP,即P为AB中点,
∵△CPN∽△FPA,
故答案为：
变式1.
解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，
设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y,
∵AB=7,BC=8,
解得
∴小正方形的边长为：
故答案为：
变式2. B
解：
∴D为AC中点，故圆心O在AC，AB 垂直平分线交点,取AB的中点M,作OM⊥AB 交BD 于点O,连接CO,
∵△OBM∽△ABD,
专题讲练6 四边形(六)——赵爽弦图(4)
【典例1】C
解：设
变式. A
解：设直角三角形短直角边为x，长直角边为 或x=-4(舍),
【典例2】
解:过点A 作AK⊥AE 交直线MN 于点K,
∴AK∥BG,∴△MAK∽△MBG,
又∵△AED≌△CGB≌△BFA,
∴AK=AE=BF,BG=AF,
变式.
解:设AC=1,BC=x,
则
或 (舍),
专题讲练7 四边形(七)——最值问题
【典例
解:连接AC,取AC中点O,连接OG,则 点G运动路径是以 为半径，圆心角为90°的弧长，路径长为
变式.解:作DH⊥DE 交AB 于H,取DH 的中点O,连接AO,EO,易证△DCE≌△DAH,∴DE=DH=2OA=2OD,∵∠ODE=90°,∴OE= DE,∵ 的最小值为
【典例2】
解:延长DA 到点H,使AH=DA,连接EH,易证△CDF≌△DAE≌△HAE,∴CF=DE=EH,则当C,E,H三点共线时，( 为最小值.
变式.解:作 AM⊥AB 且AM=AC,连 EM,△BCD≌△AME EM=CD,
∴BE+CD=BE+EM,当 B、E、M 三点共线时最小，为
【典例3】B
解:取AB 的中点O,连接EO,GO,
△AEF≌△OEG,∴∠EOG=60°,
延长OG 交CD 于点M,连接EB,EC,
则M为CD中点,∴BG=EG,当C,G,E三点共线时,BG + CG 的 值 最 小, 在 Rt△EBC 中, CE = ∴最小值为2
变式. C
解:作A点关于BC的对称点A',连接DE,DA',EA',AE
又∵△ADF≌△DCE,AF=DE,
∴A',E,D 共线时,AE+AF 最小,最小值为A'D的长，
在Rt△ADA'中, AF 的最小值为3
专题讲练8 四边形(八)——菱形<角度计算>
【典例】解:(1)取BM=BE,连接EM,△AME≌△ECF,∴
(2)在AB 上取点M,使 BM=BE,连接EM,△AME≌△ECF ∠ECF=∠AME=90°
变式.证明:(1)△ABC≌△DBC,
∴BD=AB=CD=AC,
∴四边形 ABDC 为菱形;
(2)∠ACE+∠EFC=180°,理由如下:
∵∠ACF=∠FEC,
∴∠ACE=∠FCE+∠FEC.
在△CEF 中,∠F+∠FEC+∠FCE=180°,
∴∠F+∠ACE=180°;
(3)截取法:在AD 上取点M,使AM=CB,连接BM,
∴△ABM≌△CDB,∴BM=BD.
设∠BAD=α,∠CDB=β,
∴∠BMD=∠BDM=α+β.
又∵CA=CD,∴∠CAD=2β+α,
在△ACD 中,
∴α+β=30°,∴∠ADB=30°.

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