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相似三角形
第一节 突破几何综合第①问
专题讲练1 相似形(一)——简单证明(1)
考点- “A”型相似
【典例1】(2023·武汉)如图,D,E,F是△ABC三边上的点,ED∥BC,∠ABC=∠EDF.
(1)求证:∠A=∠CDF;
(2)若D 是AC 的中点.直接写出 的值.
考点二 “X”型相似
【典例2】如图,已知AC和BD 相交于点E,CE·AE=BE·DE,求证:△ABE∽△DCE.
考点三 射影定理
变式1.如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高.
求证：①
考点四 双垂直相似
变式2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与 BE 相交于点 F.求证:△ACD∽△BFD.
C
考点五 连环相似
变式3.如图,△ABC中,CD是边AB 上的高,且
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB 的大小.
专题讲练2 相似形(二)——简单证明(2)
考点一 “X型”相似
【典例】在平行四边形ABCD中，E为BC 边上的一点，连接AE.
(1)若AB=AE,求证:∠DAE=∠ADC;
(2)若点 E 为BC的中点,连接BD,交AE 于点F,求EF:FA 的值.
D
考点二 “A型”相似
变式1.如图,△ABC中,∠ACB 的平分线CD交AB 于D,过B 作BE∥CD 交AC 的延长线于点E.求证：
考点三 双垂型相似
变式2.如图,正方形ABCD 中,E是AB的中点,FC=3BF.
(1)求证:△BEF∽△ADE;
(2)求证:△DAE∽△DEF.
考点四 一线三等角
变式3.如图，△ACB 为等腰直角三角形，点O为斜边AB 的中点，点E，F 分别在AC，BC上，
(1)求证:△AOE∽△BFO.
(2)若AB=4,求AE·BF 的值.
专题讲练3 相似形(三)——简单证明(3)
考点一 利用平行线构“X”型相似
【典例】如图,在 ABCD中,点E 为AB的中点,点F 在AD上,CF与DE 相交G,求证:
考点二 双垂直型相似
变式1.如图,在 ABCD中,CE⊥AB于E,CF⊥AD 于F,求证:
变式2.(2013·武汉)如图,在 ABCD中,E、F分别是AB、AD 边上的点,DE 与CF 交于点G.若四边形ABCD 是矩形,且DE⊥CF,求证:
考点三 利用平行线垂线构造相似
变式3.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 P、Q分别在AB、CB 上,( 8,PB=2.5,求CQ的长.
第二节 相似形小综合突破——第②问及选填
专题讲练1 相似形小综合(一)——作垂线构相似
考点一 作垂线构“X”型相似
【典例】如图,在△ABC 中,D、E 分别在AC、AB 上,∠1=∠2,ED 的延长线交直线BC于F点，若点C为BF 的中点，求证： 的值.
变式1.(2009·武汉四调)如图,已知等腰Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC 边上一点,BC=2DC,CE⊥AD 于点E,延长BE交AC于点F.求 的值.
考点二 作垂线构“双垂”相似
变式2.在等腰Rt△ABC中∠ABC=90°,点E为AB 的中点,BF⊥CE 交AC 于点F,交CE于点G，求 的值.
变式3.如图,∠ACB=90°,AC=2BC,点 E 为AC 的中点,CD⊥BE交AB 于D点,求 的值.
专题讲练 2 相似形小综合(二)——作平行线构相似
考点一 作平行线构“X”相似与全等
【典例】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D 在BC上,CE⊥AD 于点E,连BE 交AC 于F. 若 求 的值.
考点二 作平行线构“X”型相似
变式1.如图,在△ABC 中,D为BC 的中点,点 E 在AC 上,( ,AD 与 BE 相交于F点.求 的值.
变式2.如图,在△ABC中, 点E 在AC上,点 D 在BC上,连接BE,AD 相交于点O,O为AD的中点,CE=2AE,求 的值.
专题讲练3 相似形小综合(三)——选填部分(1)
考点一 正方形与相似
【典例】(2024·烟台)如图,在正方形ABCD 中,点 E,F 分别为对角线BD,AC 的三等分点,连接AE 并延长交CD 于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为( )
D. a/
变式1.如图,已知正方形ABCD,AEFG,BEHI,CFJK,则
变式2.(2022·温州改编)如图，在正方形ABCD 中，点O为对角线AC的中点，E、F 分别为AB、AD上两点,BE=DF,OE⊥CF 于P点,求 的值.
考点二 正方形与全等相似
变式3.(2023·金华)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以其三边为边在AB 的同侧作三个正方形,点 F 在GH 上,CG 与EF 交于点P,CM 与BE 交于点Q.若 HF=FG,则Sm20形PCOEEF的值是( )
A.
专题讲练4 相似形小综合(四)——选填部分(2)
考点一 “X”型相似
【典例1】(2022·台湾)如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D 点在AB 上,E 点在BC 上.以 DE 为折线将B点在往右折后,BD、BE 分别与AC 相交于F 点、G点,如图2所示.若AD=10,AF=16,DF=14,BF=8,则CG 的长度为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
变式.(2023·武汉)如图,DE 平分等边△ABC的面积,折叠△BDE 得到△FDE,AC 分别与DF,EF 相交于G,H 两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH 的长是
考点二 一线三等角型相似
【典例2】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 则BD的长为 .
变式1.(2020·武汉五调)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D是AC的中点,点E 在BC上,分别连接BD、AE 交于点F.若∠BFE=45°,则CE= .
变式2.如图,在 Rt△ABC 中, D;是BC 上一点， 则CD= .
第一节 突破几何综合第①问
专题讲练1 相似形(一)——简单证明(1)
【典例1】(1)证明:∵ED∥BC,∴∠B=∠AED=∠EDF,∴DF∥AB,∴∠A=∠CDF;
(2)解:△CDF∽△∠CAB,
【典例2】证明： △DCE.
变式1.证明:△ACD∽△ABC∽△CBD.
变式2.证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠ADC=
∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.
变式3.(1)证明:证略;
(2)解:∠ACB=90°.
专题讲练2 相似形(二)——简单证明(2)
【典例】(1)证明:略;(2)解:
变式1.证明：:∠E=∠EBC BC=CE,∵CD∥BE,∴
变式2.证明:(1)设BF=x,则 FC=3x,∴AB=BC=AD=4x,AE=BE=2x,
又∵∠A=∠B=90°,∴△BEF∽△ADE;
(2)由(1)得 ∠A=90°,∴△DAE∽△DEF.
变式3.(1)证明:略;
(2)解:
专题讲练3 相似形(三)——简单证明(3)
【典例】证明:延长 DE 交直线 BC 于 M,证△ADE≌△BME,△DFG∽△MCG.
变式1.证明:证△CBE∽△CDF 即可.
变式2.证明:证△CDF∽△DAE.
变式3.解:过 P 作PM⊥BC 于M,易知△BPM∽△BAC,BM=2,PM=1.5,又△CPM≌△AQC,∴CQ=1.5.
第二节 相似形小综合突破——第②问及选填
专题讲练1 相似形小综合(一)——作垂线构相似
【典例】解:过B点作BM∥AC交直线FD 于M点,易知BE=BM,△FCD∽△FBM,∴CDE=
变式1.解:∵CE⊥AD,∴△CDE∽△ACE→DE=CE=
作DM∥AC交BF 于M点,△BDM∽△BCF,
变式2.解:过点A 作AM⊥AB交BF 的延长线于点M,过F点作FN∥CE交AB于点N,
∵△BAM≌△CBE,∴AM=BE= AB,
∵△AMF∽△CBF,△ANF∽△AEC,
变式3.解:过 A 点作AM⊥AC交CD 的延长线于M,易证△BCE∽△CAM,∴AM=2CE=2BC.
∵△AMD∽△BCD,∴AD=△MC=2.
专题讲练2 相似形小综合(二)——作平行线构相似
【典例】解:过B 作BG∥AC交直线CE于G,易证△BCG≌△CAD,∴BG=CD,又∵△BEG∽△FEC,
变式1.解:作EM∥BC交AD于M点, 又∵△EMF∽△BDF,
变式2.解:作AM∥BC交BO的延长线于M,易证△AOM≌△DOB,AM=BD,
又∵△AEM∽△CEB,.
专题讲练3 相似形小综合(三)——选填部分(1)
【典例】B
解:△ABE∽△GDE,
∴△DEG≌△CFG,
变式1.2
解:连接AC,AF,则AF= AE,AC= AB.又∵∠CAF=45°-∠EAC=∠BAE,∴△CAF∽△BAE,∴CF:BE=AF:AE= .故所求面积的比值为2.
变式2.解:作OM⊥AB 于M 点,易知∠CEB=∠CFD=∠AEP,∴△OME∽△CBE,∴OMBC=0E= 连接EF 交AC 于N 点,又△OEN∽△FCN
设ON=1 EN=2 CN=4,OC=3,又△POC
变式3. B
解：作EL⊥PC 于L,∵PE= BE,∴△BPE≌△AQB,
专题讲练4 相似形小综合(四)——选填部分(2)
【典例1】C
解:由△ADF∽△BGF,FG=7,∴CG=AC-AG=9.
变式.
解： 设 HG=x,∵△ADG∽
【典例
解：连接AC，则 +100=125=AD ,
∴AC⊥CD.
作DE⊥BC 于点E,则△ABC∽△CED,
∴CE=2AB=6,DE=2BC=8,
变式
解:取CE 中点G,连DG,过G作GM⊥DG交BD于M,过M作MN⊥BC 于N,则△CDG≌△NGM,∴CG=MN=x,GN=CD=3,由△BMN∽△BDC,则
变式
解:作DM⊥AD交AB 于点M,则. 作MH⊥BC 交BC 于点 H,则△ACD∽△DHM,
设MH=a,则
解得a= ,∴CD=

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