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第一节 圆选填部分
专题讲练1 圆的角度计算
考点一 结合圆周角进行角度计算
【典例1】(2024·河南)如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,AB=AC,BD⊥AC交AC 于点E,交⊙O于点D,若∠BCD=3∠D,则∠A= .
变式1.如图,AB 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径,若∠BAD=50°,则∠ACD= .
变式2.(2023·杭州)如图,直径AB⊥弦CD 于E点,CF⊥AD 于F 点,交AB 于G 点,连接OF,若OF=FG,求∠CAD 的度数.
变式3.(2021武汉元调)已知O,I分别是△ABC的外心和内心,∠BOC=140°,则∠BIC 的大小为 .
考点二 结合切线性质进行角度计算
【典例2】(2022·武汉元调)如图,PM,PN分别与⊙O相切于A,B 两点,C为⊙O上异于A,B 的一点,连接AC,BC.若∠P=58°,则∠ACB 的大小是 .
变式1.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,OB,OC 交⊙O于E,F,点 P在⊙O上(不与E,F 重合),则∠EPF= .
变式2.(2023·湖北)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC 分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE 于点F,则∠AFD= .
专题讲练2 圆的长度计算
考点一 垂径定理、勾股定理列方程计算
【典例1】如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF 的长度是 cm.
变式.如图，O为等边△ABC 的边AB 上的一点，以点O为圆心，OB 为半径的圆与OC 交于点D,与BC 交于点E.若CD=2,CE=3,则OB 的长为 .
考点二 定角定弦化斜三角形
【典例2】如图,已知⊙O的半径为2,△ABC 内接于⊙O,∠ACB=135°,则AB= .
变式.如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC 的长为
考点二 弧长与面积
【典例3】(2023·临沂)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,BD 是⊙O 的直径,AB=AC,AE∥BC,E 为BD 的延长线与AE 的交点.若∠ABC=75°,BC=2,则 的长为 .
变式1.一个扇形的弧长为20πcm，面积为 这个扇形的半径为 .
变式2.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线长与底面圆半径的比为 .
变式3.如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°,OA=24,则 的长为( )
A.30π B.25π C.20π D.10π
专题讲练3 求阴影部分面积(不含切线)
考点一 化不规则图形为规则图形，注意特殊角的运用
【典例1】(2023·武汉模拟)如图,在⊙O中, ⊙O|的半径为4，AB的的长为π，则AB,BC,CD,AD|围成图形的面积为( )
A.4π C.2π+6
变式.(2023·湖北)如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为( )
考点二 分割图形将图形面积转化为常规图形面积的和或差
【典例2】如图,在扇形AOB 中,∠AOB=90°,点C 为OA 的中点,CE⊥OA 交 于点E，以点O为圆心，OC 的长为半径作CD交OB 于点D，若OA=4，则图中阴影部分的面积为( )
变式1.如图,∠AOB=90°,∠B=30°,以点O为圆心,OA 为半径作弧交AB点C,交OB 于点D.若OA=3，则阴影部分的面积为( )
变式2.如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD=4，BC=2，则图中阴影部分的面积是( )
A.2π-1 C.5π-4 D.5π-8
专题讲练4 正多边形与圆
考点一 中心角问题
【典例1】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C 为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 12段圆弧时，“蚊香”的长度为( )
A.36π B.52π C.72π D.80π
变式.(2024·江夏模拟)如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上.若两个小正六边形的边长均为2，则大正六边形的边长是( )
考点二 圆与切线
【典例2】如图，一张半径为1 cm的圆形纸片在边长为6cm的正方形内任意移动，且至少与正方形的一边相切，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )
A.(36-π) cm
变式.(2024·硚口)如图是一台圆形扫地机器人示意图，其两侧安装可以转动的毛边刷，毛边刷伸出5cm，扫地机器人可以在矩形场地内任意移动，为了将场地边角清扫干净，则该扫地机器人的最大直径(结果取整数)是( )
A.20cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm
第一节 圆选填部分
专题讲练1 圆的角度计算
【典例1】40°
解:设∠A=α,则∠D=α,
变式1.40°
变式2.解:连接BC,易知OF∥BC,延长 FO 交AC 于M点,∴OM⊥AC,∴AM=CM AF=FC ∠CAD=45°.
变式3.125°或 145°
【典例2】61°或 119°
变式1.65°或 115°
变式2.35°
解:连接OB,设∠DAF=α,∠OBA=β,则 OB⊥DE,∠FOB=α+β,2α+2β=110°,
∴∠FOB=55°,∴∠AFD=35°.
专题讲练2 圆的长度计算
【典例1】
变式.5
解:过点O作OF⊥BE 于点F,则
设BF=FE=x,则OB=OD=2x,
∴OF= x,OC=2x+2,CF=x+3,
∴在Rt△COF 中,
∴2x=5,即OB=5.
【典例2】2
变式. 2
【典例
解:∠BAC=30°,连接OC 则∠BOC=60°,∠COD=120°,
变式1.24 cm
变式2.2
变式3. C
专题讲练3 求阴影部分面积(不含切线)
【典例1】A
解：证
变式. D
解：易知
【典例2】B
变式1. B
变式2. B
专题讲练4 正多边形与圆
【典例1】B
提示：由题意每段圆弧的中心角都是120°，每段圆弧的半径依次增加1，所以为
变式. A
解：如图，由正六边形的性质可知，在小正六边形中,MP=2,则 MF=NC=4,
在大正六边形中， 设DE=x,则DN= x,BD=2DN
由于
解得 舍去)或 即
故选:A.
【典例2】D
解：小正方形OACB的面积是1，中间小正方形的面积为4，当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是π/4，则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 故选 D.
变式. C
解：当圆与矩形的两边相切时，设圆的半径为r cm，
根据题意得：
解得
∴该扫地机器人的最大直径为
故选 C.

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