资源简介 初三数学“与圆相关的最值问题”题型精练一.选择题(共14小题)1.如图,AB是O的直径,AB=8,点M在O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为( )A.4 B.5 C.6 D.72.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为( )A.4 B. C. D.23.如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )A. B. C. D.4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是以A为圆心,以2为半径为圆上一动点,连接CE,点P为CE的中点,连接BP,若AC=a,BD=b,则BP的最大值为( )A.+1 B.+1 C. D.+15.如图,边长为4的正方形ABCD内接于点O,点E是上的一动点(不与A,B重合),点F是上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有以下结论:①=;②△OGH是等腰三角形;③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;④△GBH周长的最小值为4+.其中正确的是( )A.①③④ B.①②③ C.①② D.③④6.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,2),⊙O的半径为1,点C为⊙O上一动点,过点B作BP⊥直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为( )A. B. C.2 D.7.如图,已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是( )A.10+1 B.10 C.10.5 D.11.58.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ的最小值为( )A.﹣1 B.2 C.2 D.39.如图,已知A、B两点的坐标分别为(﹣2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,﹣1),半径为1,E是⊙C上的一动点,则△ABE面积的最大值为( )A.2+ B.3+ C.3+ D.4+10.如图,是半径为1的圆弧,∠AOC等于45°,D是上的一动点,则四边形AODC的面积s的取值范围是( )A. B. C. D.11.如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,且与y轴交于点B,过点B作直线BC平行于x轴,点M(a,1)在直线BC上,若在⊙O上存在点N,使得∠OMN=45°,则a的取值范围是( )A.﹣1≤a≤1 B.﹣ C. D.12.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C为半圆AB上一动点,以BC为边向⊙O外作正△BCD(点D在直线AB的上方),连接OD,则线段OD的长( )A.随点C的运动而变化,最大值为4B.随点C的运动而变化,最大值为4C.随点C的运动而变化,最小值为2D.随点C的运动而变化,但无最值13.如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为,以AB为直径作⊙M,点C是优弧上的一个动点,连结AC、BC分别交⊙M于点D、E,则线段CD的最大值为( )A. B.2 C. D.14.如图,正方形ABCD的边长为2cm,以B为圆心,BC长为半径画弧交对角线BD于E点,连接CE,P是CE上任意一点,PM⊥BC,PN⊥BD,垂足分别为M、N,则PM+PN的值为( )A.cm B.1cm C.cm D.2cm二.填空题(共11小题)15.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、点B(0,1+t)、C(0,1﹣t)(t>0),点P在以D(3,3)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则t的最小值是 .16.如图,⊙O是以原点为圆心,2为半径的圆,点P是直线y=﹣x+4上的一点,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为 .17.我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+3与轴、轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是 .18.如图,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=4,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .19.如图,正方形ABCD中,AB=3cm,以B为圆心,1cm长为半径画⊙B,点P在⊙B上移动,连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′,连接BP′.在点P移动的过程中,BP′长度的最小值为 cm.20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则AD+BD的最小值是 .21.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,M点是BC的中点,A为圆心,AB为半径的圆交AD于点E.点P在上运动,则PM+DP的最小值为 .22.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,2),⊙O的半径为1,点C为⊙O上一动点,过点B作BP⊥直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为 cm.23.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为 .24.如图,已知⊙O经过点A(2,0)、C(0,2).直线y=kx(k≠0)与⊙O分别交于点B、D,则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为 .25.如图,正方形ABCD,以B为圆心,BC长为半径画弧,点E在圆弧上,EH⊥BC于点H,P是△EHB的内心,AB=2,则AP的最小值为 .三.解答题(共1小题)26.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+的最小值和PD﹣的最大值;(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .答案与解析一.选择题(共14小题)1.如图,AB是O的直径,AB=8,点M在O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为( )A.4 B.5 C.6 D.7【分析】如图,作点M关于A的对称点K,连接AK,OK,PK,OM,ON,NK.证明△ONK是等边三角形,再利用两点之间线段最短即可解决问题.【解答】解:如图,作点M关于A的对称点K,连接AK,OK,PK,OM,ON,NK.则∠MAB=∠KAB=20°,∵OA=OM=OK,∴∠AMO﹣∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°,∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°,∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°,∵=,∴∠MON=∠NOB=20°,∴∠KON=60°,∵ON=OK,∴△NKO是等边三角形,∴NK=ON=4,∵M,K关于AB对称,∴PM=PK,∴PM+PM=PK+PM≥NK=4,∴PM+PN的最小值为4,∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=5,故选:B.【点评】本题考查圆周角定理,最短问题,等边三角形的判定,轴对称变换等知识,解题的关键是学会利用轴对称变换解决最短问题,属于中考选择题中的压轴题.2.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为( )A.4 B. C. D.2【分析】分别作∠A与∠B角平分线,交点为P.由三线合一可知AP与BP为CD、CE垂直平分线;再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上,则交点P与圆心O重合,即圆心O是一个定点;连OC,若半径OC最短,则OC⊥AB,由△AOB为底边4,底角30°的等腰三角形,可求得OC=.【解答】解:如图,分别作∠A与∠B角平分线,交点为P.∵△ACD和△BCE都是等边三角形,∴AP与BP为CD、CE垂直平分线.又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上,则交点P与圆心O重合,即圆心O是一个定点.连接OC.若半径OC最短,则OC⊥AB.又∵∠OAC=∠OBC=30°,AB=4,∴OA=OB,∴AC=BC=2,∴在直角△AOC中,OC=AC tan∠OAC=2×tan30°=.故选:B.【点评】本题考查了圆的综合题.需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质,三角形的外接圆圆心为三角形的垂心,点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点.难度不大,注意数形结合数学思想的应用.3.如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )A. B. C. D.【分析】连接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂径定理得到O为AB的中点,由G的坐标确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AG与OG的长,利用勾股定理求出AO的长,进而确定出AB的长,由CG+GO求出OC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CO⊥AE,此时F与O重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACO中,利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长.【解答】解:连接AC,AG,∵GO⊥AB,∴O为AB的中点,即AO=BO=AB,∵G(0,1),即OG=1,∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:AO==,∴AB=2AO=2,又CO=CG+GO=2+1=3,∴在Rt△AOC中,根据勾股定理得:AC==2,∵CF⊥AE,∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,当E位于点B时,CO⊥AE,此时F与O重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在Rt△ACO中,tan∠ACO==,∴∠ACO=30°,∴度数为60°,∵直径AC=2,∴的长为=π,则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长π.故选:B.【点评】此题属于圆综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,勾股定理,锐角三角函数定义,弧长公式,以及圆周角定理,其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长是解本题的关键.4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是以A为圆心,以2为半径为圆上一动点,连接CE,点P为CE的中点,连接BP,若AC=a,BD=b,则BP的最大值为( )A.+1 B.+1 C. D.+1【分析】连接OP,根据平行四边形对角线互相平分知AO=CO=AC=a、BO=DO=BD=b,由点P为CE中点得知随着点E的运点,点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆,据此解答可得.【解答】解:如图,连接OP,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=AC=a,BO=DO=BD=b,∵点P为CE中点,∴OP∥AE,且OP=AE=1,∴随着点E的运点,点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆,则当⊙O与OD交于点P时,BP最大,为BO+OP=+1,故选:B.【点评】本题主要考查圆的综合问题,掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键.5.如图,边长为4的正方形ABCD内接于点O,点E是上的一动点(不与A,B重合),点F是上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有以下结论:①=;②△OGH是等腰三角形;③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;④△GBH周长的最小值为4+.其中正确的是( )A.①③④ B.①②③ C.①② D.③④【分析】如图所示,连接OC、OB、CF、BE.①正确.先证明=,由=即可证明结论;②正确.只要证明△BOG≌△COH即可解决问题;③错误.只要证明S四边形OGBH=S△BOC=S正方形ABCD=定值即可;④错误.当OH⊥BC时,OH的值最小,即△OHG的周长最小,此时OG=OH=2,GH=2,推出△OGH的周长的最小值为4+2;【解答】解:如图所示,连接OC、OB、CF、BE.∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,∴∠BOE=∠COF,∴=,∵=,∴=,故①正确,在△BOG与△COH中,,∴△BOG≌△COH,∴OG=OH,∵∠HOG=90°∴△OGH是等腰直角三角形,②正确,∴S△OBG=S△OCH,∴S四边形OGBH=S△BOC=S正方形ABCD=定值,故③错误,∵△BGH的周长=GH+BG+BH=GH+BH+HC=GH+BC,∴当OH⊥BC时,OH的值最小,GH的值最小,此时OG=OH=2,GH=2,∴△BGH的周长的最小值为4+2,故④错误.∴①②正确,故选:C.【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四边形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线.构造全等三角形解决问题,学会利用垂线段最短,解决最值问题,属于中考常考题型.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,2),⊙O的半径为1,点C为⊙O上一动点,过点B作BP⊥直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为( )A. B. C.2 D.【分析】当AC与⊙O相切于点C时,P点纵坐标的最大值,如图,直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH⊥x轴于H,PM⊥x轴于M,DN⊥PM于N,由切线性质得OC⊥AC,在△AOC中判断∠OAC=30°,∠AOC=60°,再在Rt△AOD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=OA=,则在Rt△BDP中,由于∠BDP=∠ADO=60°,则可计算出DP=BD=1﹣,然后在Rt△DPN中计算出PN=DP=﹣,最后计算PN+MN,从而可得到P点纵坐标的最大值.【解答】解:当AC与⊙O相切于点C时,P点纵坐标的最大值,如图,直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH⊥x轴于H,PM⊥x轴于M,DN⊥PM于N,∵AC为切线,∴OC⊥AC,在△AOC中,∵OA=2,OC=1,∴∠OAC=30°,∠AOC=60°,在Rt△AOD中,∵∠DAO=30°,∴OD=OA=,在Rt△BDP中,∵∠BDP=∠ADO=60°,∴DP=BD=(2﹣)=1﹣,在Rt△DPN中,∵∠PDN=30°,∴PN=DP=﹣,而MN=OD=,∴PM=PN+MN=1﹣+=,即P点纵坐标的最大值为.故选:B.【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的性质和含30度的直角三角形三边的关系;理解坐标与图形性质,题目比较好,有一定的难度.7.如图,已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是( )A.10+1 B.10 C.10.5 D.11.5【分析】求出A、B的坐标,根据勾股定理求出AB,求出点C到AB的距离,即可求出圆C上点到AB的最大距离,根据面积公式求出即可.【解答】解:∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,﹣3),3x﹣4y﹣12=0,即OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,过C作CM⊥AB于M,连接AC,则由三角形面积公式得:×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB,∴5×CM=4×1+3×4,∴CM=,∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=,∴△PAB面积的最大值是×5×=.故选:C.【点评】本题考查了三角形的面积,点到直线的距离公式的应用,解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离,属于中档题目.8.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ的最小值为( )A.﹣1 B.2 C.2 D.3【分析】首先连接OP、OQ,根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2,可得当OP⊥AB时,即线段PQ最短,然后由勾股定理即可求得答案.【解答】解:连接OP、OQ.∵PQ是⊙O的切线,∴OQ⊥PQ;根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2,∴当PO⊥AB时,线段PQ最短,∵在Rt△AOB中,OA=OB=3,∴AB=OA=6,∴OP==3,∴PQ==2.故选:C.【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意得到当PO⊥AB时,线段PQ最短是关键.9.如图,已知A、B两点的坐标分别为(﹣2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,﹣1),半径为1,E是⊙C上的一动点,则△ABE面积的最大值为( )A.2+ B.3+ C.3+ D.4+【分析】方法一、先判断出点E的位置,点E在过点C垂直于AB的直线和圆C在点C下方的交点,然后求出直线AB解析式,进而得出CD解析式,即可得出点D坐标,再求出CD,进而得出DE,再用三角形的面积公式即可得出结论.方法二,先求出OA,OB,根据勾股定理得出AB,利用面积相等求出OF,再利用三角形的中位线求出CD,进而得出DE,再用三角形的面积公式即可得出结论.【解答】解:方法一、如图,过点C作CD⊥AB,延长DC交⊙C于E,此时△ABE面积的最大值(AB是定值,只要圆上一点E到直线AB的距离最大),设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),∵A(﹣2,0),B(0,1),∴,∴,∴直线AB的解析式为y=x+1①,∵CD⊥AB,C(0,﹣1),∴直线CD的解析式为y=﹣2x﹣1②,联立①②得,D(﹣,),∵C(0,﹣1),∴CD==,∵⊙C的半径为1,∴DE=CD+CE=+1,∵A(﹣2,0),B(0,1),∴AB=,∴S△ABE面积的最大值=AB DE=(+1)×=2+,故选A.方法二、如图1,过点C作CD⊥AB,延长DC交⊙C于E,此时△ABE面积的最大值(AB是定值,只要圆上一点E到直线AB的距离最大,而过圆心时,和圆相交两个点,一个是最大的,一个是最小的),过点O作OF⊥AB于F,∵A、B两点的坐标分别为(﹣2,0)、(0,1)∴OA=2,OB=1,在Rt△AOB中,根据勾股定理得,AB=,∴S△AOB=OA OB=AB OF,∴OF==,∵点C(0,﹣1),∴OC=1,∴OB=OC,∴CD=2OF=,∵⊙C的半径为1,∴DE=CD+CE=+1,∵A(﹣2,0),B(0,1),∴AB=,∴S△ABE面积的最大值=AB DE=(+1)×=2+,故选:A.【点评】此题是圆的综合题,主要考查了圆的性质,待定系数法,求两条直线的交点的方法,三角形的面积公式,解本题的关键是判断出点E的位置,是一道中等难度的试题.10.如图,是半径为1的圆弧,∠AOC等于45°,D是上的一动点,则四边形AODC的面积s的取值范围是( )A. B. C. D.【分析】根据题意首先得出△AOC的面积,进而得出四边形最小值,要使四边形AODC面积最大,则要使△COD面积最大.以CO为底DE为高.要使△COD面积最大,则DE最长,进而得出答案.【解答】解:如图,过点C作CF垂直AO于点F,过点D作DE垂直CO于点E,∵CO=AO=1,∠COA=45°,∴CF=FO=,∴S△AOC==,则面积最小的四边形面积为D无限接近点C,所以最小面积无限接近但是不能取到,∵△AOC面积确定,∴要使四边形AODC面积最大,则要使△COD面积最大.以CO为底DE为高.要使△COD面积最大,则DE最长.当∠COD=90°时DE最长为半径,S四边形AODC=S△AOC+S△COE=+×1×1=.故选:B.【点评】此题主要考查了圆的综合,正确得出四边形的最大值是解题关键.11.如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,且与y轴交于点B,过点B作直线BC平行于x轴,点M(a,1)在直线BC上,若在⊙O上存在点N,使得∠OMN=45°,则a的取值范围是( )A.﹣1≤a≤1 B.﹣ C. D.【分析】由题意得出∠OBM=90°,当BM=OB=1时,△OBM是等腰直角三角形,则∠OMN=45°,此时a=±1;当BM>OB时,∠OMN<45°,即可得出结论.【解答】解:∵点M(a,1)在直线BC上,∴OB=1,∵BC∥x轴,∴BC⊥y轴,∴∠OBM=90°,当BM=OB=1时,△OBM是等腰直角三角形,则∠OMN=45°,此时a=±1;当BM>OB时,∠OMN<45°,∴a的取值范围是﹣1≤a≤1;故选:A.【点评】本题是圆的综合题目,考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识;熟练掌握元的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键.12.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C为半圆AB上一动点,以BC为边向⊙O外作正△BCD(点D在直线AB的上方),连接OD,则线段OD的长( )A.随点C的运动而变化,最大值为4B.随点C的运动而变化,最大值为4C.随点C的运动而变化,最小值为2D.随点C的运动而变化,但无最值【分析】方法一、先利用SSS判断出△OCD≌△OBD,进而得出点C在运动过程中,∠BDO始终是30°,再构造出直角三角形ODF,即可判断出点F和点B重合时,OF最大,即可得出OD的最大值.方法二、先判断出△COH是等边三角形,得出HC=OC,∠OCH=60°,进而判断出△OCD≌△HCB,即可得出OD=BH,由圆中最大的弦是直径即可得出结论.【解答】解:如图,连接OC,∵△BCD是等边三角形,∴∠BDC=60°,CD=BD,在△OCD和△OBD中,,∴△OCD≌△OBD(SSS),∴∠BDO=∠CDO=∠BDC=30°,过点O作OF⊥BD于F,在Rt△ODF中,∠BDO=30°,∴OD=2OF,当点C在运动的过程中,OD要最大,即OF最大,而OF最大=OB,∴OD最大=2OF最大=2OB=AB=4.故选B.方法二、如图2,连接OC,将△OCD绕点C顺时针旋转60°,则点D落在点B处,OD和⊙O相交于H,连接OH,CH,同方法一,得出∠ODC=30°,∴∠CBH=30°,∴∠COH=60°,∴△COH是等边三角形,∴HC=OC,∠OCH=60°,∵△BCD是等边三角形,∴CD=BC,∠BCD=60°,∴∠OCD=∠HCB,在△OCD和△HCB中,,∴△OCD≌△HCB(SAS),∴OD=BH,∵BH是⊙O的弦,∴BH最大=AB=4,即:OD最大=4,故选:B.【点评】此题是圆的综合题,主要考查了等边三角形的性质和判定,全等三角形的判断和性质,含30°的直角三角形的性质,解本题的关键是构造出直角三角形ODF,判断出OF最大等于OB.13.如图,⊙O的半径为2,弦AB的长为,以AB为直径作⊙M,点C是优弧上的一个动点,连结AC、BC分别交⊙M于点D、E,则线段CD的最大值为( )A. B.2 C. D.【分析】如图1,连OM,OB,OA,BD.根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,可求出∠BOM的度数,∠C=∠BOM=60°.由“直径所对的圆周角是直角和30度角所对的直角边”可以求得CD=BC.当BC取最大值时,CD最大.【解答】解:如图:连接OM,OB,OA,BD.则在Rt△OMB中,∵OB=2,MB=,∴OM=1.∵OB=2,∴∠OBM=30°.∴∠MOB=60°.连接OA.则∠AOB=120°.∴∠C=∠AOB=60°.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°,∴∠CBD=30°,∴CD=BC,∴当BC取最大值时,CD最大.如图2,当BC是直径时,BC最大,此时点A、D重合.即BC=4.∴CD最大=2.故选:B.【点评】本题综合考查了相交两圆的性质,垂径定理,圆周角定理以及含30度角的直角三角形.根据题意推知点A与点D重合时,CD可以取得最大值是解题的难点.14.如图,正方形ABCD的边长为2cm,以B为圆心,BC长为半径画弧交对角线BD于E点,连接CE,P是CE上任意一点,PM⊥BC,PN⊥BD,垂足分别为M、N,则PM+PN的值为( )A.cm B.1cm C.cm D.2cm【分析】连接BP,做EH⊥BC于H点,根据题意可得BE=BC=2,EH∥DC,即可推出EH的长度,结合图形可知S△EBP+S△BPC=S△BEC,写出表达式,即可得PM+PN.【解答】解:连接BP,作EH⊥BC于H点,∵正方形ABCD的边长为2cm,BE=CE,∴BE=CE=DC=2,DB=2,∵EH∥DC,∴△BHE∽△BCD,∴BE:BD=EH:CD,∴EH=,∵S△EBP+S△BPC=S△BEC,∴,∴PM+PN=.故选:A.【点评】本题主要考查正方形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质,解题的关键△BHE∽△BCD、求出EH的长度.二.填空题(共11小题)15.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、点B(0,1+t)、C(0,1﹣t)(t>0),点P在以D(3,3)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则t的最小值是 ﹣1 .【分析】先求出AB,AC进而得出AC=AB,结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半,即AP=t,即可得出t最小时,点P在AD上,用两点间的距离公式即可得出结论.【解答】解:如图,连接AP,∵点A(0,1)、点B(0,1+t)、C(0,1﹣t)(t>0),∴AB=(1+t)﹣1=t,AC=1﹣(1﹣t)=t,∴AB=AC,∵∠BPC=90°,∴AP=BC=AB=t,要t最小,就是点A到⊙D上的一点的距离最小,∴点P在AD上,∵A(0,1),D(3,3),∴AD==,∴t的最小值是AP=AD﹣PD=﹣1,故答案为﹣1.【点评】此题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质,平面坐标系内,两点间的距离公式,极值的确定;判断出点A是BC的中点是解本题的关键.是一道基础题.16.如图,⊙O是以原点为圆心,2为半径的圆,点P是直线y=﹣x+4上的一点,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为 2 .【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征确定B(0,4),A(4,0),则可判断△OAB为等腰直角三角形,所以AB=OA=4,OH=AB=2,再根据切线的性质,由PQ为⊙O的切线得到OQ⊥PQ,根据勾股定理得到PQ==,所以当OP最小时,PQ最小,根据垂线段最短得到OP=OH时,OP最小,即可计算出切线长PQ的最小值=2.【解答】解:连结OP,OQ,作OH⊥AB于H,如图,当x=0时,y=﹣x+4=4,则B(0,4);当y=0时,﹣x+4=0,解得x=4,则A(4,0),∵OA=OB,∴△OAB为等腰直角三角形,∴AB=OA=4,∵OH⊥AB,∴OH=AB=2,∵PQ为⊙O的切线,∴OQ⊥PQ,在Rt△POQ中,PQ==,∴当OP最小时,PQ最小,而OP=OH时,OP最小,∴切线长PQ的最小值==2,故答案为:2.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了一次函数图象上点的坐标特征.17.我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+3与轴、轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是 4 .【分析】根据直线的解析式求得OB=3,进而求得OA=9,根据切线的性质求得PM⊥AB,根据∠OAB=30°,求得PM=PA,然后根据“整圆”的定义,即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标,从而求得点P个数.【解答】解:∵直线l:y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B,∴B(0,3),∴OB=3,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,∴OA=OB=×3=9,∵⊙P与l相切,设切点为M,连接PM,则PM⊥AB,∴PM=PA,设P(x,0),∴PA=9﹣x,∴⊙P的半径PM=PA=﹣x,∵x为整数,PM为整数,∴x可以取1,3,5,7,4个数,∴使得⊙P成为整圆的点P个数是4.故答案为4【点评】本题考查了切线的性质,含30°角的直角三角形的性质等,熟练掌握性质定理是解题的关键.18.如图,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=4,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 2 .【分析】由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF=2EH=20E sin∠EOH=20E sin60°,当半径OE最短时,EF最短,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,在Rt△ADB中,解直角三角形求直径AD,由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,在Rt△EOH中,解直角三角形求EH,由垂径定理可知EF=2EH,即可求出答案.【解答】解:由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,如图,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF,垂足为H,∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=4∴AD=BD=4,即此时圆的直径为4,由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,∴在Rt△EOH中,EH=OE sin∠EOH=2×=,由垂径定理可知EF=2EH=2,故答案为:2.【点评】本题考查了垂径定理,圆周角定理,解直角三角形的综合运用.关键是根据运动变化,找出满足条件的最小圆,再解直角三角形.19.如图,正方形ABCD中,AB=3cm,以B为圆心,1cm长为半径画⊙B,点P在⊙B上移动,连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′,连接BP′.在点P移动的过程中,BP′长度的最小值为 (3﹣1) cm.【分析】通过画图发现,点P′的运动路线为以D为圆心,以1为半径的圆,可知:当P′在对角线BD上时,BP′最小,先证明△PAB≌△P′AD,则P′D=PB=1,再利用勾股定理求对角线BD的长,则得出BP′的长.【解答】解:如图,当P′在对角线BD上时,BP′最小,连接BP,由旋转得:AP=AP′,∠PAP′=90°,∴∠PAB+∠BAP′=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BAP′+∠DAP′=90°,∴∠PAB=∠DAP′,∴△PAB≌△P′AD,∴P′D=PB=1,在Rt△ABD中,∵AB=AD=3,由勾股定理得:BD==3,∴BP′=BD﹣P′D=3﹣1,即BP′长度的最小值为(3﹣1)cm.故答案为:(3﹣1).【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题,寻找点P′的运动轨迹是本题的关键,通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值最小值.20.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则AD+BD的最小值是 4 .【分析】在CA上截取CM,使得CM=4,连接DM,BM.利用相似三角形的性质证明DM=AD,推出AD+BD=DM+BD≥BM,利用勾股定理求出BM即可解决问题.【解答】解:在CA上截取CM,使得CM=4,连接DM,BM.∵CD=6,CM=4,CA=9,∴CD2=CM CA,∴=,∵∠DCM=∠ACD,∴△DCM∽△ACD,∴==,∴DM=AD,∴AD+BD=DM+BD,∵DM+BD≥BM,在Rt△CBM中,∵∠CMB=90°,CM=4,BC=12,∴BM==4,∴AD+BD≥4,∴AD+BD的最小值为4.故答案为4.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,两点之间线段最短,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题.21.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,M点是BC的中点,A为圆心,AB为半径的圆交AD于点E.点P在上运动,则PM+DP的最小值为 .【分析】取AE的中点K,连接PK,KM,作KH⊥BC于H,则四边形ABHK是矩形.可得AK=BH=1,HK=AB=2.由△PAK∽△DAP,推出==,推出PK=PD,推出PM+PD=PM+PK,由PM+PK≥KM,求出KM即可解决问题.【解答】解:取AE的中点K,连接PK,KM,作KH⊥BC于H,则四边形ABHK是矩形.可得AK=BH=1,HK=AB=2.∵AP=2,AK=1,AD=4,∴PA2=AK AD,∴=,∵∠KAP=∠PAD,∴△PAK∽△DAP,∴==,∴PK=PD,∴PM+PD=PM+PK,∵PM+PK≥KM,KM==,∴PM+PK≤,∴PM+DP的最小值为,故答案为.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,两点之间线段最短,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(0,2),⊙O的半径为1,点C为⊙O上一动点,过点B作BP⊥直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为 cm.【分析】当AC与⊙O相切于点C时,P点纵坐标的最大值,如图,直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH⊥x轴于H,PM⊥x轴于M,DN⊥PM于N,由切线性质得OC⊥AC,在△AOC中判断∠OAC=30°,∠AOC=60°,再在Rt△AOD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OD=OA=,则在Rt△BDP中,由于∠BDP=∠ADO=60°,则可计算出DP=BD=1﹣,然后在Rt△DPN中计算出PN=DP=﹣,最后计算PN+MN,从而可得到P点纵坐标的最大值.【解答】解:当AC与⊙O相切于点C时,P点纵坐标的最大值,如图,直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH⊥x轴于H,PM⊥x轴于M,DN⊥PM于N,∵AC为切线,∴OC⊥AC,在△AOC中,∵OA=2,OC=1,∴∠OAC=30°,∠AOC=60°,在Rt△AOD中,∵∠DAO=30°,∴OD=OA=,在Rt△BDP中,∵∠BDP=∠ADO=60°,∴DP=BD=(2﹣)=1﹣,在Rt△DPN中,∵∠PDN=30°,∴PN=DP=﹣,而MN=OD=,∴PM=PN+MN=1﹣+=,即P点纵坐标的最大值为.故答案为.【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的性质和含30度的直角三角形三边的关系;理解坐标与图形性质.23.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为 2﹣2 .【分析】连结AE,如图1,先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4,再根据圆周角定理,由AD为直径得到∠AED=90°,接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的⊙O上,于是当点O、E、C共线时,CE最小,如图2,在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2,从而得到CE的最小值为2﹣2.【解答】解:连结AE,如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=,∴AB=AC=4,∵AD为直径,∴∠AED=90°,∴∠AEB=90°,∴点E在以AB为直径的⊙O上,∵⊙O的半径为2,∴当点O、E、C共线时,CE最小,如图2,在Rt△AOC中,∵OA=2,AC=4,∴OC==2,∴CE=OC﹣OE=2﹣2,即线段CE长度的最小值为2﹣2.故答案为2﹣2.【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质;会利用勾股定理计算线段的长.解决本题的关键是确定E点运动的规律,从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.24.如图,已知⊙O经过点A(2,0)、C(0,2).直线y=kx(k≠0)与⊙O分别交于点B、D,则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为 4 .【分析】分类讨论:当k<0,如图1,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,利用三角函数的定义可得DF=2sinα,BE=2cosα,则根据三角形面积公式得到S四边形ADBC=S△AOD+S△BOC+S△AOC=2sinα+2cosα+2,利用三角公式得到S四边形ADBC=2sin(45°+α)+2,利用正弦的性质得sin(45°+α)≤1,于是可得此时S四边形ADBC的最大值为2+2;当k>0,如图2,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,同理可得DF=2sinα,OF=2cosα,BE=2cosα,OE=2sinα,根据三角形面积公式得S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC=4sinα+4cosα,同样可得S四边形ABCD=4sin(45°+α),由于sin(45°+α)≤1,则可得到S四边形ADBC的最大值为4,综上所述,四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4.【解答】解:当k<0,如图1,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,∵⊙O经过点A(2,0)、C(0,2),∴⊙O的半径为2,在Rt△OFD中,∵sin∠FOD=,∴DF=2sinα,同理可得BE=2cosα,S四边形ADBC=S△AOD+S△BOC+S△AOC= 2 2sinα+ 2 cosα+ 2 2=2sinα+2cosα+2=2(sinα+cosα)+2=2(sin45° cosα+cos45° sinα)+2=2sin(45°+α)+2,∵sin(45°+α)≤1,∴S四边形ADBC≤2+2,即此时S四边形ADBC的最大值为2+2;当k>0,如图2,作BE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,设∠AOD=α,则∠EBO=α,同理可得DF=2sinα,OF=2cosα,BE=2cosα,OE=2sinα,S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△DOC+S△BOC= 2 2sinα+ 2 sinα+ 2 cosα+ 2 cosα=4sinα+4cosα=4(sinα+cosα)=2(sin45° cosα+cos45° sinα)=4sin(45°+α)∵sin(45°+α)≤1,∴S四边形ADBC≤4,即此时S四边形ADBC的最大值为4,综上所述,四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为4.故答案为4.【点评】本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆的有关性质和一次函数的性质;理解坐标与图形性质;学会构造直角三角形和解直角三角形;会运用三角函数公式.25.如图,正方形ABCD,以B为圆心,BC长为半径画弧,点E在圆弧上,EH⊥BC于点H,P是△EHB的内心,AB=2,则AP的最小值为 ﹣ .【分析】首先证明点P的运动轨迹是圆弧,以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO,则以点O为圆心,OB为半径的⊙O是点P的轨迹,因为AP≤AO﹣OP,所以当O、P、A共线时,PA的值最小.【解答】解:连接PE、PC、PB.∵P是△EHB的内心,∠EHB=90°,∴∠EPB=180°﹣(∠HEB+∠HBE)=135°,∵BC=BE,∠PBC=∠PBE,PB=PB,∴△PBC≌△PBE,∴∠BPC=∠BPE=135°(定角),∴点P的运动轨迹是圆弧,以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO,连接OP、OA.则以点O为圆心,OB为半径的⊙O是点P的轨迹,∵AP≤AO﹣OP,∴当O、P、A共线时,PA的值最小,作OM⊥AB于M.易知OB=,OF=BF=1,OA==,∴PA的最小值为﹣,故答案为﹣.【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、正方形的性质、三角形的三边关系等知识,解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹,学会添加辅助圆解决问题,属于中考压轴题.三.解答题(共1小题)26.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+的最小值和PD﹣的最大值;(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .【分析】(1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.由△PBG∽△CBP,推出==,推出PG=PC,推出PD+PC=DP+PG,由DP+PG≥DG,当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG==5.由PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5;(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.解法类似(1);(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=4,作DF⊥BC于F.解法类似(1);【解答】解:(1)如图1中,在BC上取一点G,使得BG=1.∵==2,==2,∴=,∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴==,∴PG=PC,∴PD+PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG==5.∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=5.(2)如图3中,在BC上取一点G,使得BG=4.∵==,==,∴=,∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴==,∴PG=PC,∴PD+PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG==.∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大,最大值为DG=.故答案为,(3)如图4中,在BC上取一点G,使得BG=1,作DF⊥BC于F.∵==2,==2,∴=,∵∠PBG=∠PBC,∴△PBG∽△CBP,∴==,∴PG=PC,∴PD+PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,∴当D、G、P共线时,PD+PC的值最小,最小值为DG,在Rt△CDF中,∠DCF=60°,CD=4,∴DF=CD sin60°=2,CF=2,在Rt△GDF中,DG==∵PD﹣PC=PD﹣PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD﹣PC的值最大(如图2中),最大值为DG=.故答案为,.【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难,属于中考压轴题.44 展开更多...... 收起↑ 资源预览