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第一章相交线与平行线期中复习专题训练浙教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数有（　　）
①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
4．关于如图中各角的说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角
5．在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠ABD+∠BDC＝180°；⑥∠D+∠ACD＝180°．一定能判定AB∥CD的条件是（　　）
A．①③⑤ B．②④⑥ C．①③⑥ D．①③⑤⑥
6．将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上．若l1∥l2，∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．35°
7．如图，△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，若EC＝2BE＝4，AG＝1.5，则CG的长为（　　）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
8．善思的雯雯发现英文大写字母“F”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知AB∥CD，∠ABE＝97°，∠CDE＝136°，则∠E的度数是（　　）
A．33° B．39° C．43° D．45°
二、填空题
9．小明打算从福州长乐机场坐飞机去北京，登机时他想为飞机的舷梯铺上地毯．已知舷梯宽1.5米，舷梯侧面及相关数据如图所示，则至少需要购买 　 　平方米的地毯．
10．一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠M的度数为α．第二次拐弯∠N的度数为β，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠P＝　 　．
11．如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠MEB，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠MEB＝66°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　 　．
12．如图，AB∥EF，点C、D为这两条平行线之间的两个点，连接BC、CD、ED，BC⊥CD，设∠ABC＝x°，∠CDE＝y°，∠DEF＝z°，则x、y、z之间的数量关系为 　 　．
13．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　 　．
14．直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC：∠BOD＝2：1，射线OE⊥CD，则∠AOE的度数为 　 　．
三、解答题
15．把下面解答过程中的理由或推理过程补充完整．
如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥DE；
（2）推导证明AF与DC的位置关系．
解：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠　 　（　 　），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠B＝∠　 　（　 　），
∴AB∥DE（　 　）．
（2）∵AB∥DE（已知），
∴∠2＝∠　 　（　 　），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠　 　＝∠　 　（等量代换），
∴AF　 　DC．
16．【课题学行线的“等角转化”
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝ 　 　，∠C＝ 　 　，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　 　．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B ∠C的度数．
（3）如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由．
17．如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠F＝35°，求∠A的度数．
18．（1）根据图形填空：
如图所示，完成推理过程．
①∵∠1＝∠3（已知），
∴　 　∥AB（　 　）．
②∵∠2＝∠3（已知），
∴　 　∥　 　（　 　）．
③∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知），
∴DG∥BA（　 　）．
④∵∠B＝∠CDG（已知），
∴　 　∥AB（　 　）．
（2）如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
①∠EOF的度数为　 　；
②如果∠AOC＝α°，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的式子表示）
19．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）请填空：　 　秒后ON与OC重合；
（2）如图2，请问经过 　 　秒后，MN∥AB；
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？
（4）在（3）的条件下，当射线OC，射线OM，射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出t的值．
20．在三角形ABE中，AE⊥BE，直线CD∥AB．
（1）如图1，点E在直线CD上，若∠BAE＝60°，求∠BED的度数；
（2）如图2，点E在直线CD的下方，EB交CD于点F，G是AB上一点，连接GE交CD于点H，点K在AB、CD之间且在GH的右侧，连接GK、FK．若GE、FB分别是∠AGK和∠KFD的平分线，试说明∠GKF＝2∠AEG；
（3）在（1）的条件下，点P、Q在直线CD上，点P在点Q左侧，∠PAQ＝80°，AM平分∠PAE交CD于点M，点N是直线AB上方一点，∠NAB＝2∠BAQ．若∠NAM＝150°．请直接写出∠AQC的度数．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线可能平行或重合，故该选项错误，不符合题意；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误，不符合题意；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项错误，不符合题意；
④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．该选项正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有1个，
故选：A．
2．【解答】解：如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．
3．【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∠2与∠3是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．【解答】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD，符合题意；
②根据内错角相等，两直线平行即可证得AC∥BD，不能证明AB∥CD，不符合题意；
③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD，符合题意；
④根据内错角相等，两直线平行即可证得AC∥BD，不能证明AB∥CD，不符合题意；
⑤根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD，符合题意；
⑥根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AC∥BD不能证明AB∥CD，不符合题意；
故一定能判定AB∥CD的条件是①③⑤，
故选：A．
6．【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
∵∠1＝35°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝25°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BAD＝25°．
故选：C．
7．【解答】选：B．
8．【解答】解：如下图，过点E作EF∥AB，
∵∠ABE＝97°，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝83°，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∵∠CDE＝136°，
∴∠DEF＝180°﹣∠CDE＝44°，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF＝83°﹣44°＝39°．
故选：B．
二、填空题
9．【解答】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长宽分别为3.3米，2.7米，
∴3.3+2.7＝6（米），
∴6×1.5＝9（平方米）．
∴至少需要购买9平方米的地毯．
故答案为：9．
10．【解答】解：过点N作NC∥AM，
∴∠M＝∠MNC＝α，
由题可知AM∥PB，
∴NC∥BP，
∴∠CNP+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣∠CNP＝180°﹣（β﹣α）＝180°﹣β+α．
故答案为：180°﹣β+α．
11．【解答】解：∵∠MFD＝∠MEB＝66°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠MEB，
∴，
∴∠FGE＝33°，
分两种情况：
①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣33°＝57°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
∠P′GF＝∠P′GE+∠FGE＝90°+33°＝123°；
∴∠PGF的度数为57°或123°，
故答案为：57°或123°．
12．【解答】解：如图所示，过点C，D分别作CG∥AB，DH∥AB，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠ABC＝∠BCG＝x°，∠GCD＝∠CDH，∠HDE＝∠DEF＝z°，
∵∠CDH+∠HDE＝∠CDE＝y°，∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝90°﹣x°，
∴90°﹣x°+z°＝y°，
∴x°+y°﹣z°＝90°，
所以x、y、z之间的数量关系为x°+y°﹣z°＝90°，
故答案为：x+y﹣z＝90．
13．【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠BOF＝∠1＝60°，
∵CD∥EF，
∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°，
∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20°．
14．【解答】解：如图，
∵∠BOC：∠BOD＝2：1，∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠BOC180°＝120°，
∴∠AOD＝∠BOC＝120°，
又∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝120°﹣90°＝30°；
当点E′在EO的延长线上时，
∠AOE′＝180°﹣30°＝150°，
∴∠AOE的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
三、解答题
15．【解答】解：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠B＝∠DEC（等量代换），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；同位角相等，两直线平行；
（2）∵AB∥DE（已知），
∴∠2＝∠AGD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠AGD＝∠3（等量代换），
∴AF∥DC，
故答案为：AGD；两直线平行，内错角相等；AGD；3；∥．
16．【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠FEC＝∠C，
∵∠BEC＝80°，
∴∠BEF+∠FEC＝80°，
∴∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，
理由：过点P作PE∥CD，
∴∠D＝∠DPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠B＝∠BPE，
∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
17．【解答】（1）证明：∵∠1＝48°，∠2＝132°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵BD∥CE（已证），
∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F＝35°．
18．【解答】解：（1）①∵∠1＝∠3（已知），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．
②∵∠2＝∠3（已知），
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）．
③∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知），
∴DG∥BA（同旁内角互补，两直线平行）．
④∵∠B＝∠CDG（已知），
∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DG，内错角相等，两直线平行；EF，AD，同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；DG，同位角相等，两直线平行；
（2）①∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠DOE
＝45°，
∴∠EOF的度数为45°，
故答案为：45°；
②由条件可知∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣α°＝（180﹣α）°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝（α﹣90）°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD（α﹣90）°，
所以如果∠AOC＝α°，∠AOE的度数为．
19．【解答】解：（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合．
故答案为：10．
（2）分两种情况：
MN在AB上方时，如图2.1，
∵MN∥AB，
∴∠BOM＝∠M＝30°，
∵∠AON+∠BOM＝90°，
∴∠AON＝60°，
∴t＝60÷3＝20（秒），
∴经过t秒后，MN∥AB，t＝20秒；
MN在AB下方时，如图2.2，
∵MN∥AB，∠M＝30°，
∴∠BON＝60°，
∴∠AON＝60°+180°＝240°，
∴t＝240÷3＝80，
∴经过20秒或80秒后，MN∥AB．
故答案为：20秒或80秒．
（3）如图3所示：
∵∠AON+∠BOM＝90°，∠BOC＝∠BOM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON＝3t，则∠AOC＝30°+6t，
∵OC与OM重合，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
可得：（30°+6t）+（90°﹣3t）＝180°，
解得：t＝20（秒）；
即经过20秒时间OC与OM重合；
（4）分三种情况：
①OM平分∠BOC时，此时OC、OM在AB上方，如图4所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝180°﹣30°﹣6t＝150°﹣6t，
∴150°﹣6t＝2（90﹣3t），无解；
②OC平分∠MOB，此时OC、OM在AB上方，如图5所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝150°﹣6t，
∴90﹣3t＝2（150﹣6t），
解得：t（秒）；
③当OB平分∠COM时，如图，
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝6t﹣150°，
∴90﹣3t＝6t﹣150，
解得：t（秒）；
④当OM平分∠BOC时，如图，
∴∠BOM＝3t﹣90°，∠BOC＝6t﹣150°，
∴6t﹣150°＝2（3t﹣90°），无解；
故t的值为秒或秒．
20．【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠CEA＝∠A＝60°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
（2）如图，
作EM∥CD，作KN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥KN，
设∠AGK＝2x，∠KFD＝2y，
又∵GE、FB分别平分∠AGK，∠KFD，
∴∠AGE＝∠KGE∠AGK＝x，∠KFB＝∠DFB∠KFD＝y，
∵AB∥EM，
∴∠GEM＝∠AGE＝x，
∵CD∥EM，
∴∠FEM＝∠DFB＝y，
∴∠GEF＝∠GEM﹣∠FEM＝x﹣y，
又∵AE⊥BE，
∴∠AEG＝90°﹣∠GEF＝90°﹣（x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴2∠AEG＝2（90°﹣x+y）＝180°﹣2x+2y，
∵KN∥AB，
∴∠GKN+∠AGK＝180°，
∴∠GKN＝180°﹣∠AGK＝180°﹣2x，
∵KN∥CD，
∴∠NKF＝∠KFD＝2y，
∴∠GKF＝∠GKN+∠NKF＝180°﹣2x+2y，
∴∠GKF＝2∠AEG；
（3）如图2，
当∠BAQ≤60°时，
设∠BAQ＝α，则∠EAQ＝60°﹣α，∠NAB＝2α，
∴∠PAE＝∠PAQ﹣∠EAQ＝80°﹣（60°﹣α）＝α+20°，
∵AM平分∠PAE，
∴∠EAM，
∵∠BAN+∠BAQ+∠EAM＝∠MAN，
∴2α+α°＝150°，
∴α＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠AQC＝∠BAQ＝40°，
如图3，
当∠BAQ＞60°时，
设∠BAQ＝β，则∠BAN＝2β，∠QAE＝β﹣60°，
∴∠PAE＝80°+（β﹣60°）＝β+20°，∠FAN＝180°﹣2β，
∴∠MAE10°，
∵360°﹣∠MAE﹣∠BAE﹣∠BAN＝∠MAN，
∴360°﹣（）﹣60°﹣2β＝150°，
∴β＝56°＜60°，故舍去，
综上所述：∠AQC＝40°．
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