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第四章因式分解期中复习专题训练浙教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m
B．
C．n（a+b）＝na+nb
D．x2+2x+1＝（x+1）2
2．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
3．多项式15a3b3+5a2b﹣20a2b3中各项的公因式是（　　）
A．a3b3 B．a2b C．5a2b D．5a3b3
4．若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
5．若x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值一定为（　　）
A．5 B．7或﹣5 C．±5 D．5或﹣7
6．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．30
二、填空题
7．如图，用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为　 　．
8．分解因式：6（x﹣2y）2﹣2x（2y﹣x）＝　 　．
9．若x2﹣4（m﹣3）x+16是一个完全平方式（m为常数），则m的值为　 　．
10．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．
（1）若a＝3，b＝1，则S1＝ 　 　．
（2）若S1＝2S2，则 　 　．
三、解答题
11．因式分解：
（1）（a2+1）2﹣4a2；
（2）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1．
12．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，求x﹣2024的值．
13．因式分解．
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
14．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
材料2：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．
解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+4x+3因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解．
15．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
16．已知多项式x4+2x3﹣x+k能因式分解，且含有因式x+1．当x＝﹣1时，
（1）求多项式x4+2x3﹣x+k的值．
（2）求k的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
2．【解答】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2+b2＝b2﹣a2，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2﹣2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：B．
3．【解答】解：在多项式15a3b3+5a2b﹣20a2b3中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为a2b，
则各项的公因式是5a2b．
故选：C．
4．【解答】解：（x+5）（x﹣3）
＝x2+5x﹣3x﹣15
＝x2+2x﹣15
＝x2+px+q，
则p＝2，
故选：D．
5．【解答】解：由题意得，x2﹣（k+1）x+9＝x2±6x+9＝（x±3）2，
∴k+1＝±6，
解得：k＝5或﹣7，
故选：D．
6．【解答】解：长和宽分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，
∴a+b＝5，ab＝6
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×6＝30．
故选：D．
二、填空题
7．【解答】解：根据题意用9张A类正方形卡片、4张B类正方形卡片，12张C类长方形卡，
可拼成的大正方形的面积为：9a2+12ab+4b2＝（3a+2b）2，
故拼成的大正方形边长是：3a+2b，
故答案为：3a+2b．
8．【解答】解：原式＝6（x﹣2y）2+2x（x﹣2y）
＝（x﹣2y）[6（x﹣2y）+2x]
＝4（x﹣2y）（2x﹣3y）．
故答案为：4（x﹣2y）（2x﹣3y）．
9．【解答】解：若代数式x2﹣4（m﹣3）x+16是一个完全平方式，
则4（m﹣3）x＝±2x×4，
解得m＝5或1，
故答案为：5或1．
10．【解答】解：（1）由题意可得：空白部分的面积S1为2个直角三角形（直角边为a、a+b），2个直角三角形（直角边为a、b）和中间正方形（边长为a﹣b）的面积和，
∴
＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2
＝a2+2b2，
∵a＝3，b＝1，
∴，
故答案为：11；
（2）由（1）得：，
∵大正方形的面积为，
∴，
又∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理得：（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，即，
故答案为：．
三、解答题
11．【解答】解：（1）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2；
（2）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2
＝（6x﹣4）2
＝4（3x﹣2）2．
12．【解答】解：（1）由题知，
图2的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：a2+b2+2ab，
所以（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）因为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，且A号卡片的面积为a2，B号卡片的面积为b2，C号卡片的面积为ab，
所以需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．
（3）①由（1）知，
ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]．
②因为（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20，
所以（x﹣2024+1）2+（x﹣2024﹣1）2＝20，
则（x﹣2024）2+2（x﹣2024）+1+（x﹣2024）2﹣2（x﹣2024）+1＝20，
所以（x﹣2024）2＝9，
则x﹣2024＝±3．
13．【解答】解：（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9
＝[（x2+2）﹣3]2
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
14．【解答】解：（1）x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1
＝（x+2+1）（x+2﹣1）
＝（x+3）（x+1）．
（2）设x+y＝a，
则原式＝a2﹣10a+25
＝（a﹣5）2
＝（x+y﹣5）2．
（3）m2﹣2m＝a，
则（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4
＝a（a﹣3）﹣4
＝a2﹣3a﹣4
＝（a+1）（a﹣4）
＝（m2﹣2m+1）（m2﹣2m﹣4）
＝（m﹣1）2（m2﹣2m﹣4）．
15．【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，
当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝ab（a﹣b）
＝12×1
＝12；
（2）当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）
＝3ab（a﹣b）2
＝3×12×12
＝36．
16．【解答】解：（1）解：∵多项式x4+2x3﹣x+k能因式分解，且含有因式x+1，
∴当x＝﹣1时，﹣1+1＝0，
∴此时x4+2x3﹣x+k＝0；
（2）∵当x＝﹣1时，x4+2x3﹣x+k＝0，
∴1﹣2+1+k＝0，
解得：k＝0．
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