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3　频率与概率
课标要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,会利用频率估计概率. 2.理解概率的意义以及概率与频率的区别与联系. 3.能初步利用概率知识解释生活中的实例.
【引入】 我们知道,事件的概率越大,意味着事件发生的可能性越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大;事件的概率越小,则事件发生的可能性越小,在重复试验中,相应的频率一般也越小.在初中,我们利用频率与概率的这种关系,通过大量重复试验,用频率去估计概率.那么,在重复试验中,频率的大小是否就决定了概率的大小呢 频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢 让我们共同探讨频率与概率之间的关系吧!
一、频率与概率的关系
探究 多次重复的掷一枚硬币,其结果如下表所示:
抛掷次数(n) 2 048 4 040 12 000 24 000 30 000
正面朝上次数(m) 1 061 2 048 6 019 12 012 14 984
频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5 005 0.4 996
随着试验次数的增加,频率有什么变化规律 试说明频率与概率有什么关系
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
频率 概率
性质 具有稳定性 是一个常数
范围 [0,1]
关系 在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在　　　　附近摆动,即随机事件A发生的频率具有　　　　.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A)
通常用频率估计概率
温馨提示　(1)频率本身是随机的,是一个变量;而概率是一个确定的值,与每次试验无关.
(2)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.
例1 (多选)给出下列四个命题,其中正确的命题有(　　)
A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　正确理解频率与概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系,对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
训练1 (多选)下列说法正确的是(　　)
A.一个人打靶,打了10发子弹,有6发子弹中靶,因此这个人中靶的概率为0.6
B.某地发行福利彩票,其回报率为47%,有个人花了100元钱买彩票,一定会有47元回报
C.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则乙与甲中奖的可能性相同
D.大量试验后,可以用频率近似估计概率
二、用频率估计概率
例2 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用频率估计概率
(1)①根据频率的计算公式fn(A)=求出频率值;②用频率的稳定值作为概率的近似值.
(2)注意事项:试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会出现规律性,即在某个常数附近摆动,并且这个常数就是概率.频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小,在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.
　训练2 下表是某乒乓球的质量检查统计表:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率,填入上表;
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
三、概率在实际问题的应用
例3 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组 频数 频率
[700,900) 48
[900,1 100) 121
[1 100,1 300) 208
[1 300,1 500) 223
[1 500,1 700) 193
[1 700,1 900) 165
[1 900,+∞) 42
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,用频率估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　由于概率量化了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能有多大可能性发生,从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
　训练3 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试用频率估计该产品是甲品牌的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是
B.买彩票中奖的概率是0.001,那么买1 000张彩票一定能中奖
C.乒乓球比赛前,用抽签来决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的
D.昨天没有下雨,则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的
3.已知某厂的产品合格率是95%,从该厂抽出20件产品进行检查,其中合格产品的件数最有可能是　　　　件.
4.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):
492　496　494　495　498　497　501
502　504　496　497　503　506　508
507　492　496　500　501　499
该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　　.
3　频率与概率
探究　提示　随着试验次数的增加，频率的值越来越接近一个常数；当试验次数非常大时，可以用频率近似估计概率，这个常数即为概率.
知识梳理
某个常数　稳定性
例1　CD　[对于A，B，混淆了频率与概率的区别，故A，B错误；
对于C，抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，符合频率定义，故C正确；
对于D，频率是概率的估计值，故D正确.]
训练1　CD　[A中，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故A错误；
B中，买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故B错误；
C中，根据古典概型的概率公式可知C正确；
D中，大量试验后，可以用频率近似估计概率，故D正确.]
例2　解　(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，
则m＝400，n＝400＋100＋100＝600.
所以厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝.
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“生活垃圾投放正确”，
从而P()＝＝0.7，
所以P(A)＝1－P()＝1－0.7＝0.3，
即生活垃圾投放错误的概率约为0.3.
训练2　解　(1)根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故优等品的概率是0.95.
例3　解　(1)利用频率的定义可得：[700，900)的频率是0.048；[900，1 100)的频率是0.121；[1 100，1 300)的频率是0.208；[1 300，1 500)的频率是0.223；[1 500，1 700)的频率是0.193；[1 700，1 900)的频率是0.165；[1 900，＋∞)的频率是0.042.
所以频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频率是0.6，
所以估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.
训练3　解　(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为.
课堂达标
1.D　[抛掷一枚质地均匀的硬币，不管抛掷多少次，每一次出现正面朝上的概率均为.]
2.AC　[对于A，一年按365天计算，两名学生的生日可能在365天里的任意一天相同，因此两名学生的生日相同的概率是，故正确；
对于B，买彩票中奖的概率是0.001，是小概率事件，那么买1 000张彩票可能中奖也可能不中奖，不中奖的概率更大一些，故错误；
对于C，乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，抽到每个签的概率均为，所以公平，故正确；
对于D，根据概率只是反应事件发生的可能性可知，明天降水概率为90%是指明天该地区降水的可能性为90%，故错误.
故选AC.]
3.19　[由题意：某厂的产品合格率是95%，从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是20×95%＝19(件).]
4.0.25　[易知袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的袋数为5，故其频率为＝0.25，即其概率约为0.25.](共61张PPT)
第七章 概率
§3　频率与概率
课标要求
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，会利用频率估计概率.
2.理解概率的意义以及概率与频率的区别与联系.
3.能初步利用概率知识解释生活中的实例.
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率.那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？让我们共同探讨频率与概率之间的关系吧！
引入
课时精练
一、频率与概率的关系
二、空间向量的加减运算
三、概率在实际问题的应用
课堂达标
内容索引
频率与概率的关系
一
探究 多次重复的掷一枚硬币，其结果如下表所示：
抛掷次数(n) 2 048 4 040 12 000 24 000 30 000
正面朝上次数(m) 1 061 2 048 6 019 12 012 14 984
频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.5 005 0.4 996
随着试验次数的增加，频率有什么变化规律？试说明频率与概率有什么关系？
提示　多次重复的掷一枚硬币，其结果如下表所示：
知识梳理
频率 概率
性质 具有稳定性 是一个常数
范围 [0，1]
关系 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在__________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________.这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)
通常用频率估计概率
某个常数
稳定性
温馨提示
(1)频率本身是随机的，是一个变量；而概率是一个确定的值，与每次试验无关.
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
例1
√
√
对于A，B，混淆了频率与概率的区别，故A，B错误；
正确理解频率与概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
思维升华
(多选)下列说法正确的是
A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6
B.某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报
C.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D.大量试验后，可以用频率近似估计概率
训练1
√
√
A中，某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故A错误；
B中，买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故B错误；
C中，根据古典概型的概率公式可知C正确；
D中，大量试验后，可以用频率近似估计概率，故D正确.
用频率估计概率
二
例2
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.
(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，
思维升华
下表是某乒乓球的质量检查统计表：
训练2
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
概率在实际问题的应用
三
例3
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 频数 频率
[700，900) 48
[900，1 100) 121
[1 100，1 300) 208
[1 300，1 500) 223
[1 500，1 700) 193
[1 700，1 900) 165
[1 900，＋∞) 42
思维升华
由于概率量化了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能有多大可能性发生，从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
训练3
假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，统计结果如图所示：
【课堂达标】
√
√
√
3.已知某厂的产品合格率是95%，从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是________件.
19
由题意：某厂的产品合格率是95%，从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是20×95%＝19(件).
4.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492　496　494　495　498　497　501
502　504　496　497　503　506　508
507　492　496　500　501　499
该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________.
0.25
【课时精练】
√
1.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为
A.0.4，0.4 B.0.5，0.5 C.0.4，0.5 D.0.5，0.4
某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，
因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，
所以出现正面朝上的概率是0.5，故选C.
√
2.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统计结果如下：
环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8
则估计他击中的环数不小于8的概率为
A.0.46 B.0.55 C.0.57 D.0.63
√
3.我国古代数学名著中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
A.134石 B.169石 C.338石 D.454石
√
4.下列结论正确的是
A.若事件A的概率为P(A)，则必有0B.若事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，C正确，故选C.
√
5.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是
A.抛一枚硬币，出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
6.一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10，20)2个；[20，30)3个； [30，40)x个；[40，50)5个；[50，60)4个；[60，70]2个，并且样本在[30，40)之间的频率为0.2，则x＝________；根据样本的频率分布估计数据落在[10，50)的概率约为________.
4
0.7
样本总数为20个，
7.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，有3次9环，有4次8环，有1次未中靶，假设此人射击1次，则中靶的概率约是________.
0.9
甲
8.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从________箱中取出的.
∵甲箱有99个白球1个黑球，
9.某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
(1)计算表中的各组频率(结果保留到小数点后三位)；
表中各个频率依次是0.998，0.998，0.998，0.999，1.
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.”
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)、(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势.
10.在一个不透明的袋中有除颜色外均相同的4个小球，其中有2个白球、1个红球、1个蓝球，每次从袋中摸出1个球，然后放回搅匀再摸.在摸球试验中得到下列表格中部分数据：
摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300
出现红球的频数 2 20 27 36 50 65 72
出现红球的频率 30% 26% 24%
(1)请将表中数据补充完整；
补完表中数据如下：
摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300
出现红球的频数 2 15 20 27 36 50 65 72
出现红球的频率 20% 30% 25% 27% 24% 25% 26% 24%
(2)如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？
(3)试估计红球出现的概率.
(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)红球出现的频率集中在25%附近，所以可估计红球出现的概率为0.25.
11.(多选)2023年春节期间，高速公路上车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六个区间：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是
√
√
√
12.(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：
√
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 65 16
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计事件A，B，C发生的概率P(A)，P(B)，P(C)，下述结论中正确的是
A.P(A)＝0.65 B.P(B)＝0.16
C.P(C)＝0.19 D.P(B∪C)＝0.65
√
√
13.某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化，后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
(4)由概率的意义知，不一定.
14.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得出下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，
则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，
则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，
所以，Y的所有可能值为900，300，－100.课时精练62　频率与概率
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
0.4,0.4 0.5,0.5
0.4,0.5 0.5,0.4
2.某射箭运动员进行射箭训练,射箭60次,统计结果如下:
环数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
击中的次数 0 0 1 2 4 4 6 10 12 13 8
则估计他击中的环数不小于8的概率为(　　)
0.46 0.55 0.57 0.63
3.我国古代数学名著中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米夹谷,抽样取米一把,数得254粒夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
134石 169石
338石 454石
4.下列结论正确的是(　　)
若事件A的概率为P(A),则必有0若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件
用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现在胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76%
某奖券中奖率为50%,则某人购买此券10张,一定有5张中奖
5.某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线图,则符合这一结果的试验可能是(　　)
抛一枚硬币,出现正面朝上
掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上
一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球
6.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20)2个;[20,30)3个; [30,40)x个;[40,50)5个;[50,60)4个;[60,70]2个,并且样本在[30,40)之间的频率为0.2,则x=　　　　;根据样本的频率分布估计数据落在[10,50)的概率约为　　　　.
7.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次10环,有3次9环,有4次8环,有1次未中靶,假设此人射击1次,则中靶的概率约是　　　　.
8.设有外形完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球,1个黑球,乙箱中有1个白球,99个黑球.随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球,我们可以认为这球是从　　　　箱中取出的.
9.(10分)某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”,结果如下:
被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
满意人数m 999 998 1 002 1 002 1 000
满意频率
(1)计算表中的各组频率(结果保留到小数点后三位);
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况.
10.(10分)在一个不透明的袋中有除颜色外均相同的4个小球,其中有2个白球、1个红球、1个蓝球,每次从袋中摸出1个球,然后放回搅匀再摸.在摸球试验中得到下列表格中部分数据:
摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300
出现红球的频数 2 20 27 36 50 65 72
出现红球的频率 30% 26% 24%
(1)请将表中数据补充完整;
(2)如果按照此方法再摸球300次,所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗 为什么
(3)试估计红球出现的概率.
二、综合运用
11.(多选)2023年春节期间,高速公路上车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六个区间:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如图所示的频率分布直方图.下列结论正确的是(　　)
这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
在该服务区任意抽取一辆车,车速超过80 km/h的概率约为0.35
若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率约为
若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆,则车速都在[60,65)内的概率约为
12.(多选)中国篮球职业联赛(CBA)中,某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表:
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 65 16
记该运动员在一次投篮中,“投中两分球”为事件A,“投中三分球”为事件B,“没投中”为事件C,用频率估计事件A,B,C发生的概率P(A),P(B),P(C),下述结论中正确的是(　　)
P(A)=0.65 P(B)=0.16
P(C)=0.19 P(B∪C)=0.65
13.(13分)某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少
(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗
(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗
三、创新拓展
14.(15分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得出下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
课时精练62　频率与概率
1.C　[某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，正面朝上出现了40次，
所以出现正面朝上的频率为＝0.4.
因为每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，
所以出现正面朝上的概率是0.5，故选C.]
2.B　[击中的环数不小于8的频率为＝0.55，因此估计相应概率为0.55.故选B.]
3.B　[由题意可知，这批米内夹谷约为1 534×≈169(石)，故选B.]
4.C　[A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，C正确，故选C.]
5.D　[通过频率折线图可以发现该事件的频率在左右波动，故该事件的概率约为.
对于A，抛一枚硬币，出现正面向上的概率是，
∵>，故不合题意；
对于B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合题意；
对于C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
对于D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意.]
6.4　0.7　[样本总数为20个，
∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4或x＝20×0.2＝4，
∴数据落在[10，50)的概率为
＝0.7.]
7.0.9　[由题意可得中靶的频率为＝0.9，
所以此人射击1次，则中靶的概率约是0.9.]
8.甲　[∵甲箱有99个白球1个黑球，
∴随机地取出一球，得白球的可能是.
∵乙箱中有1个白球和99个黑球，
∴从中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多，
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的，
∴我们作出推断是从甲箱中抽出的.]
9.解　(1)表中各个频率依次是
0.998，0.998，0.998，0.999，1.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.”
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)、(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势.
10.解　(1)补完表中数据如下：
摸球次数 10 50 80 100 150 200 250 300
出现红球的频数 2 15 20 27 36 50 65 72
出现红球的频率 20% 30% 25% 27% 24% 25% 26% 24%
(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)红球出现的频率集中在25%附近，所以可估计红球出现的概率为0.25.
11.ABC　[在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值＝77.5，A正确；
在B中，车速超过80 km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；
在C中，由题可知，车速在[60，65)内的车辆数为2，车速在[65，70)内的车辆数为4，故在这6辆中任意抽取2辆，有15种抽法，其中车速都在[60，65)内的只有1种，则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为，车速都在[60，65)内的概率为，故C正确，D错误.故选ABC.]
12.ABC　[频率＝，用频率估计事件发生的概率，可得P(A)＝＝0.65，P(B)＝＝0.16，P(C)＝＝0.19，故ABC正确；
P(B∪C)表示事件B发生或事件C发生，两者互斥，
故P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.19＋0.16＝0.35，
故D错误.故选ABC.]
13.解　(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化，后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击不中靶心.
(4)由概率的意义知，不一定.
14.解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，
当且仅当最高气温低于25，
由表格数据知，
最高气温低于25的频率为＝0.6，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，
则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，
则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450
＝300；
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450
＝－100，
所以，Y的所有可能值为900，300，－100.
Y大于零，当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

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