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4　事件的独立性
课标要求　1.通过实例了解相互独立事件的概念,明确相互独立事件与互斥事件之间的区别.
2.掌握相互独立事件概率的乘法公式. 3.学会用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.
【引入】
“常言道,三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢 将问题具体化:假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.请问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗
一、相互独立事件的判断
探究1 积事件AB的含义是什么 怎样用Venn图表示积事件AB 请从Venn图上直观判断出P(AB)与P(A),P(B)的大小关系.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
探究2 端午节学校放假三天,甲、乙两名同学都打算去敬老院,甲准备在三天内随机选一天去,记事件A:“甲选的是第一天”;乙准备在前两天中随机选一天去,记事件B:“乙选的是第一天”.直觉上,你觉得事件A是否发生会影响事件B是否发生吗 P(A),P(B),P(AB)这三个值有什么关系
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
相互独立事件
1.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率　　　　　　,这样的两个事件叫作相互独立事件.
2.两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生概率的积,即P(AB)=　　　　.
3.若A与B相互独立,则A与,与B,与仍然　　　　.
温馨提示　(1)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则A1,A2,…,An相互独立.
(2)若A1,A2,…,An相互独立,则这n个事件同时发生的概率为P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
例1 (多选)下列事件中,A,B是相互独立事件的是(　　)
A.掷一枚硬币两次,A表示事件“第一次为正面”,B表示事件“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,A表示事件“第一次摸到白球”,B表示事件“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示事件“出现点数为奇数”,B表示事件“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子,A表示事件“出现点数为奇数”,B表示事件“出现点数为偶数”
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法:P(AB)=P(A)P(B).
　训练1 甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B(　　)
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
二、相互独立事件同时发生的概率
例2 (链接教材P215例1)甲、乙两射击运动员分别对同一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人中至少有1人射中目标的概率;
(4)2人中至多有1人射中目标的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件的概率,再求积.
　训练2 如果甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出某种疫苗的概率分别是,,.
求:(1)他们都研制出该疫苗的概率;
(2)只有丙机构没能研制出该疫苗的概率;
(3)只有甲机构研制出该疫苗的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
三、相互独立事件概率公式的综合应用
例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率;
(3)这三列火车恰有一列正点到达的概率.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　当所求事件较复杂,包括情况较多,可应用对立事件的概率关系P(A)+P()=1简化问题,这是求解概率问题常用的方法.
　训练3 某工艺厂准备烧制甲、乙两件不同的工艺品,制作过程必须先后经过2次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙两件产品合格的概率依次为0.6,0.75,经过第二次烧制后,甲、乙两件产品合格的概率依次为0.5,0.4.
(1)求第一次烧制后至少有一件产品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,求合格工艺品的个数为1的概率P.
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,出现“2次正面向上”的概率是(　　)
A. B.
C. D.
2.抛掷一枚均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是(　　)
A.“两次得到的点数和是12”
B.“第二次得到6点”
C.“第二次的点数不超过3点”
D.“第二次的点数是奇数”
3.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=　　　　.
4.在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者,则乙连胜四局的概率为　　　　.
4　事件的独立性
探究1　提示　(1)事件A与事件B同时发生，即积事件AB的样本点既在事件A中，也在事件B中.用Venn图表示为.
(2)P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B).
探究2　提示　甲选第一天，对乙选第一天是没有影响的，即事件A是否发生不影响事件B发生.经计算可得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，P(AB)＝P(A)P(B).
知识梳理
1.没有影响
2.P(A)P(B)
3.相互独立
例1　AC　[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A项中A，B事件是相互独立事件；
B项中是不放回地摸球，显然事件A发生对事件B发生有影响，故不相互独立；
对于C项，P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝，
故P(AB)＝P(A)P(B)，A与B独立；
对于D项，P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝0，
故P(AB)≠P(A)(B)，A与B不独立.]
训练1　A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.]
例2　解　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，
得所求的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人中至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人中至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为P( )＋P(A)＋P(B)＝P()P()＋P(A)P()＋P()P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
训练2　解　设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，
且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出该疫苗，即事件A，B，C同时发生，
故所求概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)“只有丙机构没能研制出该疫苗”即事件A，B，同时发生，
故所求概率为
P(A)P(B)P()＝××＝.
(3)只有甲机构研制出疫苗即事件A，，同时发生，所以所求概率为
P(A)P()P()＝××＝.
例3　解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则A，B，C之间相互独立，
且P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)恰好有两列正点到达的概率为
P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋
P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
1－P( )＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
(3)恰有一列火车正点到达的概率为
P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋
P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.
训练3　解　(1)设事件A表示甲工艺品第一次烧制后合格，事件B表示乙工艺品第一次烧制后合格，事件C表示第一次烧制后至少有一件产品合格，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，
P(C)＝1－P()＝1－0.4×0.25＝0.9，
即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为0.9.
(2)甲工艺品两次烧制后合格的概率为
P1＝0.6×0.5＝0.3，
乙工艺品两次烧制后合格的概率为
P2＝0.75×0.4＝0.3，
则经过两次烧制后，恰有1个产品是合格品的概率为P＝0.3×0.7×2＝0.42.
课堂达标
1.C　[由题意每次抛掷硬币正面向上的概率都为，故“2次正面向上”的概率为×＝，故选C.]
2.A　[事件“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于事件“两次得到的点数和是12”，则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立.]
3.　[∵P(B)＝，∴P()＝.
又∵A，B相互独立，
∴A与也相互独立，
∴P(A)＝P(A)P()＝×＝.]
4.0.09　[乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，所以概率为(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.](共60张PPT)
第七章 概率
§4　事件的独立性
课标要求
1.通过实例了解相互独立事件的概念，明确相互独立事件与互斥事件之间的区别.
2.掌握相互独立事件概率的乘法公式.
3.学会用相互独立事件概率的乘法公式解决实际问题.
“常言道，三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6，0.5，0.5.请问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
引入
课时精练
一、相互独立事件的判断
二、相互独立事件同时发生的概率
三、相互独立事件概率公式的综合应用
课堂达标
内容索引
相互独立事件的判断
一
探究1 积事件AB的含义是什么？怎样用Venn图表示积事件AB？请从Venn图上直观判断出P(AB)与P(A)，P(B)的大小关系.
探究2 端午节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院，甲准备在三天内随机选一天去，记事件A：“甲选的是第一天”；乙准备在前两天中随机选一天去，记事件B：“乙选的是第一天”.直觉上，你觉得事件A是否发生会影响事件B是否发生吗？P(A)，P(B)，P(AB)这三个值有什么关系？
相互独立事件
1.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率__________，这样的两个事件叫作相互独立事件.
2.两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生概率的积，即P(AB)＝__________________.
知识梳理
没有影响
P(A)P(B)
相互独立
温馨提示
(1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则A1，A2，…，An相互独立.
(2)若A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
例1
√
(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是
A.掷一枚硬币两次，A表示事件“第一次为正面”，B表示事件“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A表示事件“第一次摸到白球”，B表示事件“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A表示事件“出现点数为奇数”，B表示事件“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子，A表示事件“出现点数为奇数”，B表示事件“出现点数为偶数”
√
把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A项中A，B事件是相互独立事件；
B项中是不放回地摸球，显然事件A发生对事件B发生有影响，故不相互独立；
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法： P(AB)＝P(A)P(B).
思维升华
甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B
A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥
训练1
√
对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.
相互独立事件同时发生的概率
二
例2
(链接教材P215例1)甲、乙两射击运动员分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积.
训练2
设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，
相互独立事件概率公式的综合应用
三
例3
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则A，B，C之间相互独立，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率；
(3)这三列火车恰有一列正点到达的概率.
思维升华
训练3
某工艺厂准备烧制甲、乙两件不同的工艺品，制作过程必须先后经过2次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙两件产品合格的概率依次为0.6，0.75，经过第二次烧制后，甲、乙两件产品合格的概率依次为0.5，0.4.
(1)求第一次烧制后至少有一件产品合格的概率；
【课堂达标】
√
√
2.抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是
A.“两次得到的点数和是12” B.“第二次得到6点”
C.“第二次的点数不超过3点” D.“第二次的点数是奇数”
事件“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于事件“两次得到的点数和是12”，则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立.
4.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________.
0.09
乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，所以概率为(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
【课时精练】
√
√
√
3.在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一个高度为7毫米的零件50次时，所得数据如下：
测量值/毫米 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2
次数 5 15 10 15 5
根据此数据推测，假如再用游标卡尺测量该零件2次，则2次测得的平均值为7.1毫米的概率为
A.0.04 B.0.11 C.0.13 D.0.26
√
所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，
解得P(B)＝0.3.
√
√
√
设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,
6.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是p1，乙解出这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解出这个问题的概率是__________________.
p1＋p2－2p1p2
“恰好有1人解出”包括“甲解出乙没解出”“甲没解出乙解出”，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解出这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝p1＋p2－2p1p2.
用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
设事件Ai表示“第i次通过IQC”，事件Bi表示“第i次通过IPQC”(i＝1，2)，
9.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复拨，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
设Ai表示事件“第i次拨号接通电话”，i＝1，2，3.
(2)拨号不超过3次而接通电话.
10.现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，
√
设2个球都是白球为事件A，2个球都不是白球为事件B，2个球不都是白球为事件C，2个球恰好有1个白球为事件D.
∵从甲袋中摸球与从乙袋中摸球是相互独立事件，
12.(多选)A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.甲与乙相互独立 D.乙与丁相互独立
√
√
√
记“从A组中选出的是男生小明”为事件M，“从B组中选出的是1名男生”为事件N，“从A，B两组中选出的是2名男生”为事件S，从A，B两组中选出的是“1名男生和1名女生”为事件T，
(2)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率.
设“甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确”为事件M，
记“他得分不低于10分”为事件A，则
记“方案一通过决赛”为事件B，课时精练63　事件的独立性
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.从高中应届毕业生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)
2.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是(　　)
相互独立事件 不相互独立事件
互斥事件 对立事件
3.在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一个高度为7毫米的零件50次时,所得数据如下:
测量值/毫米 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2
次数 5 15 10 15 5
根据此数据推测,假如再用游标卡尺测量该零件2次,则2次测得的平均值为7.1毫米的概率为(　　)
0.04 0.11 0.13 0.26
4.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,
P(AB∪B∪A)=0.44,则P(B)等于(　　)
0.3 0.4 0.5 0.6
5.(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是(　　)
2个球都是红球的概率为
2个球不都是红球的概率为
至少有1个红球的概率为
2个球中恰有1个红球的概率为
6.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解出这个问题的概率是p1,乙解出这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解出这个问题的概率是　　　　.
7.若已知甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,破译出的概率分别为,,,则此密码能被破译出的概率是　　　　.
8.产品质量检验按过程划分,主要包括进货检验(IQC),生产过程检验(IPQC),出货检验(OQC).已知某产品IQC单独通过率为,IPQC单独通过率为p(09.(10分)某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复拨,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
10.(10分)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表:
投资股市
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当p=时,求q的值;
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围.
二、综合运用
11.从甲袋中摸出1个白球的概率是,从乙袋中摸出1个白球的概率是,从两个袋内各摸出1个球,那么概率为的事件是(　　)
2个球都是白球
2个球都不是白球
2个球不都是白球
2个球恰好有1个白球
12.(多选)A,B两组各有2名男生、2名女生,从A,B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”,乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”,丙表示事件“从A,B两组中选出的是2名男生”,丁表示事件“从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生”,则(　　)
甲与丙相互独立 甲与丁相互独立
甲与乙相互独立 乙与丁相互独立
13.(13分)某社区举办环保知识有奖问答比赛,某场比赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道问题,已知甲回答正确的概率是,甲、丙都回答错误的概率是,乙、丙都回答正确的概率是.假设他们是否回答正确互不影响.
(1)分别求乙、丙回答正确的概率;
(2)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率.
三、创新拓展
14.(15分)某市为传播中华文化,举办中华文化知识选拔大赛.决赛阶段进行线上答题,题型分为选择题和填空题两种,每次答题相互独立.选择题答对得5分,否则得0分.填空题答对得4分,否则得0分.将得分逐题累加.
(1)若小明直接做3道选择题,他做对这3道选择题的概率依次为,,,求他得分不低于10分的概率;
(2)规定每人最多答3题,若得分高于7分,则通过决赛,立即停止答题,否则继续答题,直到答完3题为止.已知小红做对每道选择题的概率均为,做对每道填空题的概率均为.现有两种方案:方案一:依次做一道选择题两道填空题;方案二:做三道填空题.请你推荐一种合理的方式给小红.
课时精练63　事件的独立性
1.D　[根据题意可得该学生三项均合格的概率为××＝，故选D.]
2.A　[由题意可得2表示“第二次摸到的不是白球”，即2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件.]
3.C　[设事件A表示“两次测得的平均值为7.1毫米”，事件B表示“一次是7.0毫米，一次是7.2毫米”，事件C表示“两次都是7.1毫米”，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝××2＋×＝0.13.故选C.]
4.A　[因为A，B是相互独立事件，
所以，B和A，均相互独立.
因为P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，
所以P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，
所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，
解得P(B)＝0.3.]
5.ACD　[设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，
则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立.
A中，概率为×＝，正确；
B中，“两个不都是红球”是“两个都是红球”的对立事件，其概率为，错误；
C中，2个球中至少有1个红球的概率为
1－P(12)＝1－P(1)P(2)＝1－×＝，正确；
D中，2个球中恰有1个红球的概率为×＋×＝，正确.]
6.p1＋p2－2p1p2　[“恰好有1人解出”包括“甲解出乙没解出”“甲没解出乙解出”，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解出这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝p1＋p2－2p1p2.]
7.　[用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∵P( )＝P()P()P()
＝××＝.
∴此密码能被破译出的概率为1－＝.]
8.　[设事件Ai表示“第i次通过IQC”，事件Bi表示“第i次通过IPQC”(i＝1，2)，
则P(A1B1＋1A2B1＋A11B2＋
1A21B2)＝，
即·p＋×·p＋×(1－p)·p＋××(1－p)p＝，解得p＝或p＝(舍去).]
9.解　设Ai表示事件“第i次拨号接通电话”，i＝1，2，3.
(1)第3次才接通电话可表示为12A3，
于是所求概率为
P(1 2A3)＝××＝；
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为
A1∪1A2∪1 2A3，
于是所求概率为P(A1∪1A2∪1 2A3)
＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)
＝＋×＋××＝.
10.解　(1)“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
∴p＋＋q＝1.
又p＝，∴q＝.
(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，
则C＝A∪B∪AB，且A，B相互独立，
由题意可知P(A)＝，P(B)＝p，
∴P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝×(1－p)＋p＋p＝＋p.
∵P(C)＝＋p>，
∴p>.
又p＋＋q＝1，q≥0，
∴p≤，∴故p的取值范围为.
11.C　[设2个球都是白球为事件A，2个球都不是白球为事件B，2个球不都是白球为事件C，2个球恰好有1个白球为事件D.
∵从甲袋中摸球与从乙袋中摸球是相互独立事件，
∴P(A)＝×＝，
P(B)＝×＝.
∵事件C与事件A是对立事件，
∴P(C)＝1－＝.
∵事件D可划分为从甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球这两个互斥事件，
∴P(D)＝×＋×＝.故选C.]
12.BCD　[记“从A组中选出的是男生小明”为事件M，“从B组中选出的是1名男生”为事件N，“从A，B两组中选出的是2名男生”为事件S，从A，B两组中选出的是“1名男生和1名女生”为事件T，
则P(M)＝，P(N)＝＝，
P(S)＝×＝，
P(T)＝×＋×＝，
而P(MS)＝×＝，
而P(M)P(S)＝×≠P(MS)，
故甲与丙不相互独立；
P(MT)＝×＝，
又P(M)P(T)＝＝P(MT)，
故甲与丁相互独立；
P(MN)＝×＝＝P(M)P(N)，
故甲与乙相互独立；
P(NT)＝×＝，
P(N)P(T)＝×＝P(NT)，
故乙与丁相互独立，故选BCD.]
13.解　(1)设“甲回答正确”为事件A，“乙回答正确”为事件B，“丙回答正确”为事件C，
则P(A)＝，
依题意,
即
解得P(B)＝，P(C)＝，
所以乙、丙回答正确的概率分别为，.
(2)设“甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确”为事件M，
则M＝AB＋AC＋BC＋ABC，
显然事件AB，AC，BC，ABC两两互斥，
则P(M)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝，
所以甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率是.
14.解　(1)记“他得分不低于10分”为事件A，则
P(A)＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝＝.
(2)记“方案一通过决赛”为事件B，
则P(B)＝×＋××＋××＝，
记“方案二通过决赛”为事件C，
则P(C)＝×＋××＋××＝，
因为P(C)>P(B)，所以推荐方案二给小红.

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