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山西省晋中市榆次区山西现代双语学校南校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．设为等比数列{}的前n项和,,则＝
A．10 B．9 C．-8 D．-5
2．数列，，，，…的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在处导数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A．30 B．52 C．72 D．80
5．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．21
7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.这个新数列的各项之和为（ ）
A．1470 B．1472 C．1882 D．1642
8．已知是的导函数，且，则的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ）
A． B．的公比为2 C． D．
10．等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．时n的最小值为8 D．当时最小
11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（ ）
A．
B．
C．此数列的前项和为
D．数列的前60项和为930
三、填空题
12．函数的单调递增区间为 .
13．在数列中，已知，，记数列的前项之积为，若，则的值为 .
14．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E F G H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M N P Q，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为 … …，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为 … …，则下列说法正确的是 .
①正方形的面积为
②
③使不等式成立的正整数的最大值为4
④数列的前项和
四、解答题
15．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求经过点的曲线的切线方程．
16．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
17．已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式
(2)设，记数列的前项和为，证明．
18．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
(2)讨论的单调性.
参考答案
1．A
【详解】由,得,故.
故选：A
2．D
【详解】将数列，，，，…变为，，，，…，从而可知分子的规律为，分母的规律为，再结合正负的调节，可知其通项为.
故选：D
3．D
【详解】
,
故选：D.
4．C
【详解】设等差数列的公差为d，
则，即，解得，
.
故选：C.
5．A
【详解】∵，
∴，即，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∴.
故选：A.
6．C
【详解】设等差数列的项数为，
设所有的奇数项和为，则，
设所有的偶数项和为，则，
由，解得，
项数.
故选：C.
7．B
【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项.
共有个，也是等差数列，
它们的和为，
故选：B
8．B
【详解】设，
A.当，，时，，
函数为开口向下的二次函数，对称轴为轴，满足要求，A正确；
B.∵时，，时，，∴.
由图象得，为开口向上的二次函数，即，
由得，故，对称轴为轴，不合要求，B错误；
C.由图象可得为奇函数，且，故，
∴，
当时，恒成立，在上单调递增，满足要求，C正确；
D.∵时，，∴，
由，得，，
由图象得，，的极小值点为，极大值点大于，即，故.
由得，，由得，或，
∴在上单调递增，在和上单调递减，满足要求，D正确.
故选：B.
9．BC
【详解】因为，所以．
因为是等比数列，所以，即，解得，则错误；
的公比，则B正确；
因为，所以，则C正确；
因为，所以，所以，则D错误．
故选：BC
10．ABC
【详解】对A，设公差为d，因为等差数列是递增数列，则，故A正确；
对B，因为，则，即，故B正确；
对D，，则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误；
对C，由，即0，即，解得（舍去）或，所以时，n的最小值为8，故C正确．
故选：ABC
11．ABD
【详解】令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得，
所以，
累加可得，
令(且为奇数)，得，
当时满足上式，
所以当为奇数时，，
当为奇数时，，
所以，其中为偶数，
所以，
所以，故A正确，
，故B正确；
由，
而，故此数列的前项和不为，故C错误；
因为，
所以的前2n项和
，
则，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】由，
得，
令得，.
所以的单调递增区间为.
故答案为：
13．2022
【详解】因，，
显然，则有，
而，有，则，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，即，
∴，
当时，，
所以n的值为2022.
故答案为：2022
14．②③④
【详解】由题意可得，，，，，则，则数列是以4为首项，为公比的等比数列，即，
由题意可得，即，，，，则，
对于①，正方形的面积，所以①不正确；
对于②，由上述分析可得②正确；
对于③，由，则数列是单调递减数列，由于，，，，，则使不等式成立的正整数的最大值为4，故③正确；
对于④，数列的前项和，故④正确；
故答案为：②③④
15．(1)
(2)或
【详解】（1）函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为1，切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，可得，
由的导数，可得切线的斜率为，
切线的方程为，
由切线经过点，可得，
化为，解得或1，
，
则切线的方程为或，
即或．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，得到，
所以数列的前项和.
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，
当时，则，
可得，则；
当时，则，可得；
综上所述：可得，可知是首项为，公比为的等比数列，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知：，
可得．
所以．
18．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
19．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以.
由，
得曲线在点处的切线方程为，
即，则，解得，
（2）.
若，则当时，，当时，.
若，则当时，，
当时，.
若，则在上恒成立.
若，则当时，，当时，.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.

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