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第二章　专题提升六　电磁感应中的电路与图像问题
(分值：100分)
选择题1～9题，每小题10分，共90分。
对点题组练
题组一　电磁感应中的电路问题
1.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中，线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　)
A B
C D
2.如图，半径为L的半圆弧轨道PQS固定，电阻忽略不计，O为圆心。OM是可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好，OM金属杆的电阻值是OP金属杆电阻值的一半。空间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OS位置以恒定的角速度ω顺时针转到OQ位置，则该过程中(　　)
回路中M点电势高于O点电势
回路中电流方向沿M→O→P→Q
MO两点的电压UMO＝BL2ω
MO两点的电压UMO＝BL2ω
3.(2022·全国甲卷)三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则(　　)
I1I3>I2
I1＝I2>I3 I1＝I2＝I3
题组二　电磁感应中的图像问题
4.(2024·云南玉溪高二期末)如图所示，边长为2L的正方形MNPQ内左半部分存在垂直纸面向里的匀强磁场，右半部分存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等。边长为L的正方形线框dabc从左向右匀速通过该磁场区域，运动过程中线框始终垂直于磁场且bc边始终平行于PQ。规定线框中顺时针为电流的正方向，从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场的过程，下列图像能正确反映线框中感应电流i随时间t变化的是(　　)
A B
C D
5.(多选)(2024·北京交通大学附属中学期中)如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D(D>L)、方向竖直向下的有界匀强磁场，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以F表示拉力大小、以Uab表示线框ab两点间的电势差、I表示通过线框的电流(规定逆时针为正)、P表示拉力的功率，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中可能正确的是(　　)
A B
C D
6.如图所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。梯形线圈abcd位于纸面内，ad与bc间的距离也为l。t＝0时刻，bc边与磁场区域边界重合。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域。取沿a→b→c→d→a的感应电流方向为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图像可能是(　　)
A B
C D
题组三　电磁感应中的电荷量问题
7.如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B。一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为(　　)
8.如图所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形，并使上、下两圆半径相等。如果圆环的电阻为R，则此过程中流过圆环的电荷量为(　　)
0
综合提升练
9.如图所示，固定在水平面上且半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，金属棒随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是(　　)
金属棒产生的电动势为Bl2ω
微粒的电荷量与质量之比为
电阻消耗的电功率为
电容器所带的电荷量为CBr2ω
10.(10分)(2023·天津卷，10)如图，有一正方形线框静止悬挂着，其质量为m、电阻为R、边长为l。空间中有一个三角形磁场区域，其磁感应强度大小为B＝kt(k>0)，方向垂直于线框所在平面向里，且线框中磁场区域的面积为线框面积的一半，已知重力加速度为g，求：
(1)(5分)感应电动势E；
(2)(5分)线框开始向上运动的时刻t0。
专题提升六　电磁感应中的电路与图像问题
1.B　[磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压U＝E＝，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压U′＝E＝，故B正确。]
2.A　[由右手定则可知，OM杆相当于电源，M为正极，O为负极，回路中电流方向沿M→Q→P→O，回路中M点电势高于O点电势，选项A正确，B错误；感应电动势E＝BL·＝BL2ω，设MO电阻为R，则PO电阻为2R，MO两点的电压UMO＝·2R＝BL2ω，选项C、D错误。]
3.C　[设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为C2＝2πr，面积为S2＝πr2
同理可知正方形线框的周长和面积分别为
C1＝8r，S1＝4r2
正六边形线框的周长和面积分别为
C3＝6r，S3＝
三个线框材料、粗细相同，
根据电阻定律R＝ρ
可知三个线框电阻之比为
R1∶R2∶R3＝C1∶C2∶C3＝4∶π∶3
根据法拉第电磁感应定律有
I＝＝·
由于三个线框处于同一随时间线性变化的磁场中，可得电流之比为
I1∶I2∶I3＝∶∶＝2∶2∶
即I1＝I2>I3，故选项C正确。]
4.C　[根据右手定则可知，线框进入磁场过程中、在磁场中运动的过程中、出磁场的过程中，感应电流的方向分别为逆时针、顺时针、逆时针，分别为负值、正值、负值；又因为线框在磁场中运动的过程中，两条边切割磁感线，其电流是进入磁场、出磁场时电流的2倍，故C正确。]
5.BC　[线框做匀速直线运动，进入磁场和出磁场过程中根据楞次定律阻碍相对运动的条件，可知拉力与安培力等大反向，即F＝ILB＝LB＝，即线圈进入磁场和出离磁场的过程中拉力相同；线框完全进入磁场运动过程中，闭合线框中ΔΦ＝0，线框中无感应电流，所以安培力为0，拉力大小为0，故A错误；线框进入磁场时，ab导体棒切割磁感线，即相当于电源，根据右手定则可知φa>φb，所以ab两端电势差为路端电压Uab＝E＝BLv，完全进入磁场，线框中无电流，所以Uab＝E＝BLv，线框穿出磁场过程中，cd边切割磁感线，根据楞次定律判断感应电流可知φa>φb，则Uab＝E＝BLv，对应图像可知，选项B正确；线框进入磁场时，根据右手定则可知线框中电流为逆时针方向，线框离开磁场时，电流为顺时针方向，且电流大小相同，结合上述分析可知，选项C正确；线框完全进入磁场运动过程中，拉力为0，根据P＝Fv可知拉力功率为0，选项D错误。]
6.B　[梯形线圈abcd进入磁场切割磁感线的过程，有效切割长度越来越大，根据E＝BLv可得，感应电动势越来越大，故感应电流越来越大，且根据右手定则可知电流方向为负方向；当梯形线圈abcd离开磁场的过程，有效切割长度越来越大，感应电动势越来越大，故感应电流越来越大，且电流方向为正方向，故B正确，A、C、D错误。]
7.A　[设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为＝，则通过导线环横截面的电荷量为q＝||·Δt＝||＝，A项正确。]
8.B　[ΔΦ＝Bπr2－2×Bπ()2＝Bπr2，电荷量q＝＝，B正确。]
9.B　[金属棒切割磁感线产生的电动势E＝Br·ωr＝Br2ω，选项A错误；金属棒电阻不计，故电容器两极板间的电压等于金属棒切割磁感线产生的电动势，微粒所受的重力与其受到的电场力大小相等，有q＝mg，可得＝，选项B正确；电阻消耗的电功率P＝＝，选项C错误；电容器所带的电荷量Q＝CE＝CBr2ω，选项D错误。]
10.(1)　(2)
解析　(1)根据法拉第电磁感应定律有
E＝n
又n＝1，＝·S＝kS，S＝
解得E＝。
(2)根据闭合电路欧姆定律可知线框中的感应电流为
I＝
线框受到的安培力为FA＝IlB
又B＝kt(k＞0)
联立可得线框受到的安培力为
FA＝
当线框开始向上运动时，有
＝mg
解得t0＝。专题提升六　电磁感应中的电路与图像问题
学习目标　1.进一步掌握楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律的应用。2.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路。3.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决图像问题。4.掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的基本思路和方法。
提升1　电磁感应中的电路问题
1.对电源的理解
(1)在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、磁通量变化的线圈等，这种电源将其他形式的能转化为电能。
(2)判断感应电流和感应电动势的方向，都是利用相当于电源的那部分导体根据右手定则或楞次定律判定的。实际问题中应注意外电路电流由高电势处流向低电势处，而内电路则相反。
2.对电路的理解
(1)内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容器等电学元件组成。
(2)在闭合电路中，相当于“电源”的导体两端的电压等于路端电压，而不等于感应电动势。
3.解决电磁感应中的电路问题的基本思路
(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路相当于电源，其他部分是外电路。
(2)用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向。
(3)分清内外电路，画出等效电路图。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等相关知识求解。
例1 把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右运动经过环心O时，求：
(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；
(2)圆环和金属棒消耗的总热功率。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (多选)如图所示，矩形金属框架三个竖直边ab、cd、ef的长都是L，电阻都是R，其余电阻不计。框架以速度v匀速平动地穿过磁感应强度为B的匀强磁场，设ab、cd、ef三条边先后进入磁场时，ab边两端电压分别为U1、U2、U3，则下列判断结果正确的是(　　)
A.U1＝BLv B.U2＝2U1
C.U3＝0 D.U1＝U2＝U3
训练2 (多选)如图所示，两根固定的足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间都接阻值为R＝10 Ω的电阻。一接入电路的阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨垂直且接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是(　　)
A.导体棒ab中电流的方向为由b到a
B.cd两端的电压为1 V
C.de两端的电压为1 V
D.fe两端的电压为1 V
提升2　电磁感应中的图像问题
1.图像问题
图像类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B－t图像、Φ－t图像、E－t图像和I－t图像 (2)对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E－x图像和I－x图像
问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像 (2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量
应用知识 安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律及数学知识
2.解决此类问题的一般步骤
解决电磁感应的图像问题常采用定性分析与定量计算相结合的方法分段处理。需特别注意物理量的大小、正负，图像为直线还是曲线，有什么样的变化趋势等。具体步骤如下：
例2 如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，磁场方向相反，与纸面垂直，两磁场边界均与x轴垂直且宽度均为L，在y轴方向足够长。现有一高和底均为L的等腰三角形导线框，顶点a在y轴上，从图示x＝0位置开始，在大小为F的外力作用下向右沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。在运动过程中，导线框bc边始终与磁场的边界平行。则下列选项所示导线框中感应电动势大小E、感应电流大小I、线框所受安培力大小F安、外力大小F与线框顶点a移动的位移x的关系图像中，正确的是(　　)
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解决线框进出磁场的问题的思路
(1)观察线框是什么形状的，判断导体切割磁感线的有效长度是否变化、如何变化。
(2)若只有一个磁场且足够宽，关注两个过程即可：进入磁场的过程，离开磁场的过程。
(3)若有两个不同的磁场，还需注意两条边分别在不同磁场时产生感应电流方向的关系。　　　　
训练3 (多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定B向上为正方向)。以下说法正确的是(　　)
A.在0～2 s时间内，I的最大值为0.01 A
B.在3～5 s时间内，I的大小越来越小
C.前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 C
D.第3 s内，线圈的发热功率最大
训练4 如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，若规定逆时针为感应电流的正方向，水平向左为安培力的正方向，则在该过程中，下列选项中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图像是(　　)
提升3　电磁感应中的电荷量问题
穿过闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝·Δt＝·Δt＝n··Δt＝。
由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。
例3 如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程中流过两线框某截面的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为(　　)
A.1∶4 B.1∶2
C.1∶1 D.不能确定
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练5 如图甲所示， abcd为正方形导线框，线框处在磁场中，磁场垂直于线框平面，线框边长L＝0.5 m，电阻R＝1 Ω，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，在0～0.5 s和1～2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2。则q1∶q2为(　　)
A.1∶1 B.2∶1
C.1∶2 D.1∶4
随堂对点自测
1.(电磁感应中的电路问题)如图甲所示，线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝10，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内磁通量变化规律如图乙所示。关于a、b两点电势φa、φb及两点间电势差Uab，正确的是(　　)
A.φa>φb，Uab＝1.5 V
B.φa<φb，Uab＝－1.5 V
C.φa<φb，Uab＝－0.5 V
D.φa>φb，Uab＝0.5 V
2.(电磁感应中的图像问题)(多选)如图所示，空间分布着宽为L、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时针方向为电流的正方向，则感应电流随位移变化的关系图像(i－x)、ab两端电势差随位移变化的关系图像(Uab－x)，可能正确的是(　　)
3.(电磁感应中的电荷量问题)如图所示，闭合开关S，将条形磁体匀速插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次的起始和终止位置相同，则(　　)
A.第一次磁通量变化量较大
B.第一次的最大偏转角较大
C.第一次经过的总电荷量较多
D.若断开S，均不偏转，则均无感应电动势
专题提升六　电磁感应中的电路与图像问题
提升1
例1 (1)　方向从N流向M　Bav
(2)
解析　(1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R、电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，且R1＝R2＝R，画出等效电路如图所示。
等效电源电动势为E＝2Bav
外电路的总电阻为R外＝＝R
棒上电流大小为
I＝＝＝
由右手定则可知金属棒中电流方向为从N流向M
根据闭合电路的欧姆定律知，棒两端的电压为路端电压
UMN＝IR外＝Bav。
(2)圆环和金属棒消耗的总热功率为
P＝IE＝。
训练1 AB　[当ab边进入磁场时，I1＝＝，则U1＝E－I1R＝BLv。当cd边也进入磁场时，总电流I2＝，U2＝E－I2·＝BLv。三条边都进入磁场时，U3＝BLv，故选项A、B正确。]
训练2 BD　[由右手定则可知ab中电流方向为a→b，选项A错误；导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，ab相当于电源，cd间电阻R为外电路，de和cf间电阻中无电流，de和cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝R＝1 V，选项B、D正确，C错误。]
提升2
例2 B　[线框刚进入磁场时，导体有效切割长度为L，感应电动势大小为E0＝BLv，随着线框进入磁场，感应电动势逐渐减小；当线框右移L时，两边有效切割的长度都为L，感应电动势大小为线框刚进入磁场时的2倍，即E＝2E0＝2BLv，随后逐渐减小；线框刚开始离开磁场的瞬间，感应电动势大小为E0＝BLv，以后有效切割长度逐渐减小，感应电动势逐渐减小，故A错误；线框刚进入磁场时感应电流大小为I0＝，随着线框的进入感应电流逐渐减小；当线框进入磁场的长度为L后，I＝2I0＝，随后逐渐减小；线框刚开始离开磁场的瞬间，感应电流大小为I0＝，以后感应电动势逐渐减小，感应电流减小，故B正确；电流和有效切割长度均变化，分析可知安培力大小与x不是线性关系，故C错误；根据平衡条件可知，外力始终与安培力等大反向，F与x不是线性关系，故D错误。]
训练3 AC　[0～2 s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，即I＝＝＝0.01 A，A正确；3～5 s时间内感应电流大小不变，B错误；前2 s内通过线圈某截面的总电荷量q＝Δt＝Δt＝＝＝0.01 C，C正确；第3 s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误。]
训练4 D　[线圈在进入磁场前，没有磁通量的变化，故没有感应电流产生；线圈在进入磁场0～L的过程中，线圈右侧切割磁感线，根据右手定则，产生的感应电流方向为逆时针方向，E1＝BLv
电流I1＝＝，安培力的大小F1＝BI1L＝，根据左手定则，所受安培力方向向左；在进入磁场L～2L的过程中，线圈的左右两侧都在切割磁感线，E2＝2BLv，电流I2＝＝，方向为顺时针，线圈受到的安培力大小为F2＝2BI2L＝，方向向左；在进入磁场2L～3L的过程中，线圈左侧切割磁感线，E3＝BLv，电流I3＝＝，方向为逆时针，安培力的大小F3＝BI3L＝，方向向左，故D正确。]
提升3
例3 B　[设闭合线框的边长为L，则流过线框某截面的电荷量为Q＝IΔt＝Δt＝Δt＝＝，R＝ρ，则Q＝，则＝＝＝，故B正确。]
训练5 C　[根据E＝＝可得0～0.5 s和1～2 s产生的感应电动势大小相等，根据闭合电路欧姆定律可得0～0.5 s和1～2 s通过线框的电流大小相等，据q＝It可得q1∶q2＝1∶2，故C正确。]
随堂对点自测
1.A　[由题图乙可知，穿过线圈的磁通量是增大的，根据楞次定律知，感应电流产生的磁场方向为垂直纸面向外，根据安培定则可知，线圈中感应电流的方向为逆时针方向。在回路中，线圈相当于电源，所以a相当于电源的正极，b相当于电源的负极，所以a点的电势高于b点的电势。根据法拉第电磁感应定律得E＝n＝10× V＝2 V，I＝＝ A＝1 A。a、b两点间的电势差等于电路的路端电压，所以Uab＝IR＝1.5 V，故A正确。]
2.AC　[设金属线框总电阻为R，以线框刚要进入磁场为0时刻。在0～L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时产生的电动势为E1＝BLv，感应电流大小为I1＝＝，ab两端电势差为Uab＝E1＝BLv，在L～2L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时产生的电动势为E2＝2BLv，感应电流大小为I2＝＝＝2I1，ab两端电势差为Uab′＝E2＝BLv＝2Uab，在2L～3L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为顺时针(正方向)，此时产生的电动势为E3＝3BLv，感应电流大小为I3＝＝＝3I1，ab两端电势差为Uab″＝E3＝BLv＝7Uab，故A、C正确。]
3.B　[由于两次条形磁体插入线圈的起始和终止位置相同，因此磁通量的变化量ΔΦ相同，故A错误；根据E＝n可知，第一次磁通量变化较快，所以感应电动势较大，而闭合电路的电阻相同，所以第一次的感应电流较大，第一次的最大偏转角较大，故B正确；通过的电荷量q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，则两次通过的电荷量相同，故C错误；若断开S，虽然电路不闭合，没有感应电流，但感应电动势仍存在，故D错误。](共53张PPT)
专题提升六　电磁感应中的电路与图像问题
第二章　电磁感应及其应用
1.进一步掌握楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律的应用。
2.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路。3.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决图像问题。4.掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的基本思路和方法。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　电磁感应中的图像问题
提升1　电磁感应中的电路问题
提升3　电磁感应中的电荷量问题
提升1　电磁感应中的电路问题
1.对电源的理解
(1)在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、磁通量变化的线圈等，这种电源将其他形式的能转化为电能。
(2)判断感应电流和感应电动势的方向，都是利用相当于电源的那部分导体根据右手定则或楞次定律判定的。实际问题中应注意外电路电流由高电势处流向低电势处，而内电路则相反。
2.对电路的理解
(1)内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容器等电学元件组成。
(2)在闭合电路中，相当于“电源”的导体两端的电压等于路端电压，而不等于感应电动势。
3.解决电磁感应中的电路问题的基本思路
(1)明确哪部分导体或电路产生感应电动势，该导体或电路相当于电源，其他部分是外电路。
(2)用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向。
(3)分清内外电路，画出等效电路图。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等相关知识求解。
例1 把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右运动经过环心O时，求：
(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；
(2)圆环和金属棒消耗的总热功率。
解析　(1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R、电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，且R1＝R2＝R，画出等效电路如图所示。
等效电源电动势为E＝2Bav
由右手定则可知金属棒中电流方向为从N流向M
根据闭合电路的欧姆定律知，棒两端的电压为路端电压
AB
训练1 (多选)如图所示，矩形金属框架三个竖直边ab、cd、ef的长都是L，电阻都是R，其余电阻不计。框架以速度v匀速平动地穿过磁感应强度为B的匀强磁场，设ab、cd、ef三条边先后进入磁场时，ab边两端电压分别为U1、U2、U3，则下列判断结果正确的是(　　)
BD
训练2 (多选)如图所示，两根固定的足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间都接阻值为R＝10 Ω的电阻。一接入电路的阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨垂直且接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是(　　)
A.导体棒ab中电流的方向为由b到a
B.cd两端的电压为1 V
C.de两端的电压为1 V
D.fe两端的电压为1 V
提升2　电磁感应中的图像问题
1.图像问题
图像类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B－t图像、Φ－t图像、E－t图像和I－t图像
(2)对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E－x图像和I－x图像
问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像
(2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量
应用知识 安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律及数学知识
2.解决此类问题的一般步骤
解决电磁感应的图像问题常采用定性分析与定量计算相结合的方法分段处理。需特别注意物理量的大小、正负，图像为直线还是曲线，有什么样的变化趋势等。具体步骤如下：
B
例2 如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，磁场方向相反，与纸面垂直，两磁场边界均与x轴垂直且宽度均为L，在y轴方向足够长。现有一高和底均为L的等腰三角形导线框，顶点a在y轴上，从图示x＝0位置开始，在大小为F的外力作用下向右沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。在运动过程中，导线框bc边始终与磁场的边界平行。则下列选项所示导线框中感应电动势大小E、感应电流大小I、线框所受安培力大小F安、外力大小F与线框顶点a移动的位移x的关系图像中，正确的是(　　)
解决线框进出磁场的问题的思路
(1)观察线框是什么形状的，判断导体切割磁感线的有效长度是否变化、如何变化。
(2)若只有一个磁场且足够宽，关注两个过程即可：进入磁场的过程，离开磁场的过程。
(3)若有两个不同的磁场，还需注意两条边分别在不同磁场时产生感应电流方向的关系。　　　　
AC
训练3 (多选)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定B向上为正方向)。以下说法正确的是(　　)
A.在0～2 s时间内，I的最大值为0.01 A
B.在3～5 s时间内，I的大小越来越小
C.前2 s内，通过线圈某截面的总电荷
量为0.01 C
D.第3 s内，线圈的发热功率最大
D
训练4 如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，若规定逆时针为感应电流的正方向，水平向左为安培力的正方向，则在该过程中，下列选项中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图像是(　　)
解析　线圈在进入磁场前，没有磁通量的变化，故没有感应电流产生；线圈在进入磁场0～L的过程中，线圈右侧切割磁感线，根据右手定则，产生的感应电流方向为逆时针方向，E1＝BLv
提升3　电磁感应中的电荷量问题
B
例3 如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程中流过两线框某截面的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为(　　)
A.1∶4 B.1∶2
C.1∶1 D.不能确定
C
训练5 如图甲所示， abcd为正方形导线框，线框处在磁场中，磁场垂直于线框平面，线框边长L＝0.5 m，电阻R＝1 Ω，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，在0～0.5 s和1～2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2。则q1∶q2为(　　)
A.1∶1 B.2∶1 C.1∶2 D.1∶4
随堂对点自测
2
A
1.(电磁感应中的电路问题)如图甲所示，线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝10，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内磁通量变化规律如图乙所示。关于a、b两点电势φa、φb及两点间电势差Uab，正确的是(　　)
A.φa>φb，Uab＝1.5 V B.φa<φb，Uab＝－1.5 V
C.φa<φb，Uab＝－0.5 V D.φa>φb，Uab＝0.5 V
AC
2.(电磁感应中的图像问题)(多选)如图所示，空间分布着宽为L、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时针方向为电流的正方向，则感应电流随位移变化的关系图像(i－x)、ab两端电势差随位移变化的关系图像(Uab－x)，可能正确的是(　　)
B
3.(电磁感应中的电荷量问题)如图所示，闭合开关S，将条形磁体匀速插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次的起始和终止位置相同，则(　　)
课后巩固训练
3
B
题组一　电磁感应中的电路问题
1.粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中，线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　)
对点题组练
A
2.如图，半径为L的半圆弧轨道PQS固定，电阻忽略不计，O为圆心。OM是可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好，OM金属杆的电阻值是OP金属杆电阻值的一半。空间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OS位置以恒定的角速度ω顺时针转到OQ位置，则该过程中(　　)
C
3.(2022·全国甲卷)三个用同样的细导线做成的刚
性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直
径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长
相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则(　　)
A.I1I3>I2
C.I1＝I2>I3 D.I1＝I2＝I3
解析　设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为C2＝2πr，面积为S2＝πr2
同理可知正方形线框的周长和面积分别为
C1＝8r，S1＝4r2
正六边形线框的周长和面积分别为
三个线框材料、粗细相同，
可知三个线框电阻之比为
R1∶R2∶R3＝C1∶C2∶C3＝4∶π∶3
根据法拉第电磁感应定律有
由于三个线框处于同一随时间线性变化的磁场中，可得电流之比为
即I1＝I2>I3，故选项C正确。
C
题组二　电磁感应中的图像问题
4.(2024·云南玉溪高二期末)如图所示，边长为2L的正方形MNPQ内左半部分存在垂直纸面向里的匀强磁场，右半部分存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等。边长为L的正方形线框dabc从左向右匀速通过该磁场区域，运动过程中线框始终垂直于磁场且bc边始终平行于PQ。规定线框中顺时针为电流的正方向，从ab边刚进入磁场到cd边刚离开磁场的过程，下列图像能正确反映线框中感应电流i随时间t变化的是(　　)
解析　根据右手定则可知，线框进入磁场过程中、在磁场中运动的过程中、出磁场的过程中，感应电流的方向分别为逆时针、顺时针、逆时针，分别为负值、正值、负值；又因为线框在磁场中运动的过程中，两条边切割磁感线，其电流是进入磁场、出磁场时电流的2倍，故C正确。
BC
5.(多选)(2024·北京交通大学附属中学期中)如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D(D>L)、方向竖直向下的有界匀强磁场，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以F表示拉力大小、以Uab表示线框ab两点间的电势差、I表示通过线框的电流(规定逆时针为正)、P表示拉力的功率，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中可能正确的是(　　)
B
6.如图所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。梯形线圈abcd位于纸面内，ad与bc间的距离也为l。t＝0时刻，bc边与磁场区域边界重合。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域。取沿a→b→c→d→a的感应电流方向为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图像可能是(　　)
解析　梯形线圈abcd进入磁场切割磁感线的过程，有效切割长度越来越大，根据E＝BLv可得，感应电动势越来越大，故感应电流越来越大，且根据右手定则可知电流方向为负方向；当梯形线圈abcd离开磁场的过程，有效切割长度越来越大，感应电动势越来越大，故感应电流越来越大，且电流方向为正方向，故B正确，A、C、D错误。
A
题组三　电磁感应中的电荷量问题
7.如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B。一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为(　　)
B
8.如图所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形，并使上、下两圆半径相等。如果圆环的电阻为R，则此过程中流过圆环的电荷量为(　　)
B
9.如图所示，固定在水平面上且半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴OO′上，金属棒随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是(　　)
综合提升练
10.(2023·天津卷，10)如图，有一正方形线框静止悬挂着，其质量为m、电阻为R、边长为l。空间中有一个三角形磁场区域，其磁感应强度大小为B＝kt(k>0)，方向垂直于线框所在平面向里，且线框中磁场区域的面积为线框面积的一半，已知重力加速度为g，求：
(1)感应电动势E；
(2)线框开始向上运动的时刻t0。
解析　(1)根据法拉第电磁感应定律有
(2)根据闭合电路欧姆定律可知线框中的感应电流为
线框受到的安培力为FA＝IlB
又B＝kt(k＞0)
联立可得线框受到的安培力为
当线框开始向上运动时，有

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