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第二章　专题提升七　电磁感应中的动力学和能量问题
(分值：100分)
A组
选择题1～6题，9～11题，每小题6分，共54分。
对点题组练
题组一　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列v－t图像中，能正确描述上述过程的是(　　)
A B
C D
2.如图所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，如果线圈受到的安培力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为(　　)
a1>a2>a3>a4 a1＝a3>a2>a4
a1＝a3>a4>a2 a4＝a2>a3>a1
3.(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略其他影响，则(重力加速度为g)(　　)
此时在圆环中产生了(俯视)顺时针方向的感应电流
圆环因受到了向下的安培力而加速下落
此时圆环的加速度a＝
如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vm＝
题组二　电磁感应中的能量问题
4.(2023·北京卷，9)如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是(　　)
线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
5.(多选)如图所示，一平行金属导轨固定在水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面方向向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离s后停止，此过程中电阻R上产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则(　　)
导体棒克服安培力做的功为Q
通过电阻R的电荷量为q＝
导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv－Q
导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
6.(多选)如图所示，在光滑的水平地面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个半径为a、质量为m、电阻为R的金属圆环垂直磁场方向，以速度v从图示位置(实线所示)开始运动，当圆环运动到直径刚好与边界线PQ重合时(虚线所示)，圆环的速度变为，则下列说法正确的是(　　)
此时圆环的电功率为
此时圆环的加速度大小为
此过程中通过圆环截面的电荷量为
此过程中回路产生的电能为mv2
综合提升练
7.(10分)如图所示，竖直平面内有足够长的平行固定金属导轨，间距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s时，突然闭合开关S(g取10 m/s2)。
(1)(5分)试说出开关S闭合后，导体ab的运动情况；
(2)(5分)导体ab匀速下落的速度是多少？
8.(10分)如图所示，光滑平行固定的金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力，重力加速度为g。
(1)(5分)求ab开始运动时的加速度a；
(2)(5分)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况。
B组
9.(多选)如图所示，M、N为同一水平面内固定的两条平行长直导轨，左端串接电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，杆和导轨的电阻不计，且杆与导轨间无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与杆垂直的水平方向的恒力F，使杆从静止开始运动。在运动过程中，杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图像可能正确的是(　　)
A B
C D
10.(多选)两根足够长的固定光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端，金属棒和导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，磁感应强度方向如图所示。金属棒和导轨的电阻不计。重力加速度为g，现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放，则(　　)
释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
金属棒向下运动的过程中，流过电阻的电流方向为a→b
金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝
电阻上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
11.(多选)如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图(俯视)，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车的底板上，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN。缓冲车的底部安装有电磁铁(图中未画出)，能产生垂直于导轨平面的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L。假设缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，而缓冲车厢继续向前移动距离L后速度减小为零。已知缓冲车厢与障碍物和线圈的ab边均没有接触，不计一切摩擦阻力。在这个缓冲过程中，下列说法正确的是(　　)
线圈中的感应电流沿逆时针方向(俯视)，最大感应电流为
线圈对电磁铁的作用力使缓冲车厢减速，从而实现缓冲
此过程中，线圈abcd产生的焦耳热为Q＝mv
此过程中，通过线圈中导线横截面的电荷量为q＝
12.(12分)一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1、电容为C的电容器连接成如图(a)所示的回路。金属线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图(b)所示。图像与横、纵轴的截距分别为t0和B0。导线的电阻不计。求：
(1)(4分)通过电阻R1的电流大小和方向；
(2)(4分)0～t1时间内通过电阻R1的电荷量q；
(3)(4分)t1时刻电容器所带电荷量Q。
培优加强练
13.(14分)如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平桌面上，间距L＝0.4 m，导轨所在空间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，将两根长度均为L＝0.4 m，质量均为m1＝0.1 kg的导体棒ab、cd放在金属导轨上，导体棒的电阻均为R＝0.1 Ω，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2。用一根绝缘细线跨过导轨右侧的光滑定滑轮将一物块和导体棒cd相连，物块质量m2＝0.2 kg，细线伸直且与导轨平行。现在由静止释放物块，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，导体棒所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨电阻不计，g取10 m/s2。
(1)(4分)求导体棒ab刚要运动时cd的速度大小；
(2)(4分)若从物块由静止释放到ab即将开始运动这段时间内，物块下降的高度h＝0.5 m，则此过程中整个回路产生的总的焦耳热是多少？
(3)(6分)求导体棒ab运动稳定后的加速度a以及由导体棒ab、cd组成的闭合回路的磁通量的变化率。
专题提升七　电磁感应中的动力学和能量问题
1.D　[导线框进入磁场的过程中，受到向左的安培力作用，根据E＝BLv、I＝、F安＝ILB得F安＝，随着v的减小，安培力F安减小，根据F安＝ma知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动。整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，受到向左的安培力，根据F安＝＝ma可知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，故选项D正确。]
2.B　[线圈进入磁场前和全部进入磁场后，都仅受重力，所以加速度a1＝a3＝g。线圈在题图中2位置时，受到重力和向上的安培力，且已知F安2a2>a4，B正确。]
3.AD　[由右手定则可以判断感应电流的方向为(俯视)顺时针方向，可知选项A正确；由左手定则可以判断，圆环受到的安培力向上，阻碍圆环的运动，选项B错误；圆环垂直切割磁感线，产生的感应电动势E＝BLv＝B·2πRv，圆环的电阻R电＝，则圆环中的感应电流I＝＝，圆环所受的安培力F安＝BI·2πR，圆环的加速度a＝，m＝d·2πRπr2，则a＝g－，选项C错误；当重力大小等于安培力时，圆环速度达到最大，此时a＝0，可得vm＝，选项D正确。]
4.D　[线框进磁场的过程中由楞次定律知电流方向为逆时针方向，A错误；线框出磁场的过程中，根据E＝BLv，I＝，FA＝ILB，FA＝ma，联立有FA＝＝ma，由左手定则可知线框受到的安培力向左，则v减小，线框做加速度减小的减速运动，B错误；由能量守恒定律得线框产生的焦耳热Q＝FAL，而线框进、出磁场时均做减速运动，但其进磁场时的速度大，受到的安培力大，产生的焦耳热多，C错误；线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量q＝t，其中I＝，E＝BL，则联立有q＝x，由于线框在进和出的过程中线框的位移均为L，则线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故D正确。]
5.ABD　[由功能关系可知，导体棒克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热，R上产生的焦耳热为Q，根据串联电路中焦耳热按电阻分配可知，W克安＝Q焦＝Q，故A正确；通过电阻R的电荷量q＝＝，故B正确；由能量守恒定律可知，mv＝Q焦＋Q摩，所以导体棒与导轨因摩擦产生的热量为Q摩＝mv－Q＝μmgs，解得μ＝－Q，故C错误，D正确。]
6.BC　[当圆环的直径与边界线重合时，圆环左右两半环均产生感应电动势，故圆环中的感应电动势E＝2B×2a×＝2Bav，圆环的电功率P＝＝，故A错误；此时圆环受到的安培力大小F＝2BI×2a＝2B××2a＝，由牛顿第二定律可得，加速度大小a＝＝，故B正确；圆环中的平均感应电动势＝，则通过圆环截面的电荷量Q＝Δt＝Δt＝＝，故C正确；此过程中回路产生的电能等于动能的减少量，即E＝mv2－m＝mv2，故D错误。]
7.(1)见解析　(2)0.5 m/s
解析　(1)闭合开关S之前，导体ab自由下落的末速度为v0＝gt＝4 m/s
开关S闭合瞬间，导体ab切割磁感线产生感应电动势，回路中产生感应电流，导体ab立即受到竖直向上的安培力
F安＝ILB＝＝0.016 N＞mg＝0.002 N
此时导体ab受到的合力方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度
a＝＝－g，所以导体ab竖直向下做加速度逐渐减小的减速运动。当F安＝mg时，导体ab竖直向下做匀速运动。
(2)设导体ab匀速下落的速度为vm
此时F安＝mg，即＝mg
vm＝＝0.5 m/s。
8.(1)gsin θ＋　(2)见解析
解析　(1)对初始状态的ab受力分析，利用牛顿第二定律，得
mgsin θ＋ILB＝ma①
对回路分析，流经金属杆ab的感应电流
I＝＝②
联立①②得
a＝gsin θ＋。
(2)上滑过程：由第(1)问中的分析可知，ab杆的加速度大小表达式为
a上＝gsin θ＋③
a、v反向，ab做减速运动。由③式知，v减小，则a减小，可知ab上滑过程做加速度逐渐减小的减速运动。
下滑过程：
对ab受力分析由牛顿第二定律得
mgsin θ－＝ma下④
则a下＝gsin θ－⑤
因a下与v同向，ab做加速运动。
由⑤得v增加，a下减小，ab做加速度减小的加速运动。若初速度v0足够大时，ab可能在下滑一段时间且未到达出发位置时受到的安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，之后ab做匀速运动。
9.AD　[对金属杆ab施加一个与杆垂直的水平方向的恒力F，使杆从静止开始运动。由于金属杆切割磁感线产生感应电动势，从而在回路中产生感应电流，杆受到随速度增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，故A正确，B错误；根据焦耳定律知，E＝Q＝I2Rt＝t，因为速度增大，所以E－t图像的切线斜率增大，最终匀速运动时电流不变，E－t图像斜率达到最大且保持不变，故C错误，D正确。]
10.AC　[释放瞬间，金属棒只受重力作用，所以其加速度等于重力加速度，选项A正确；金属棒向下运动切割磁感线，由右手定则可知，流过电阻的电流方向为b→a，选项B错误；当金属棒的速度为v时，感应电流I＝，则安培力F＝ILB＝，选项C正确；由于金属棒产生感应电流，受到安培力的阻碍作用，系统的机械能不断减少，金属棒最终停止运动，此时弹簧具有一定的弹性势能，由能量守恒定律可知，重力势能的减少量等于轻弹簧弹性势能的增加量与电阻上产生的总热量之和，选项D错误。]
11.BC　[缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为v0，此时线圈中产生的感应电动势最大，则有Em＝nBLv0，感应电流最大值为Im＝＝n，由楞次定律知线圈中的感应电流沿逆时针方向，故A错误；线圈对电磁铁的作用力方向向左，使缓冲车厢减速，从而实现缓冲，故B正确；由功能关系得线圈产生的焦耳热为Q＝mv，故C正确；此过程通过线圈中导线横截面的电荷量为q＝n＝n，故D错误。]
12.(1)　从b到a　(2)　(3)
解析　(1)由B－t图像可知，磁感应强度的变化率＝
根据法拉第电磁感应定律，得感应电动势
E＝n＝nπr＝
根据闭合电路的欧姆定律，得感应电流
I1＝
联立解得I1＝
根据楞次定律，可知通过R1的电流方向为从b到a。
(2)通过R1的电荷量q＝I1t1
得q＝。
(3)电容器两板间电压
U＝I1R1＝
则电容器所带的电荷量
Q＝CU＝。
13.(1)1 m/s　(2)0.75 J　(3)4 m/s2　0.6 Wb/s
解析　(1)由题意可知，当导体棒ab受到的水平向右的安培力增大到与最大静摩擦力大小相等时，导体棒ab即将运动。此时导体棒cd的速度大小设为v，导体棒cd切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，又I＝，F安＝ILB，Fm＝μm1g，F安＝Fm，由以上关系式联立解得v＝1 m/s。
(2)在物块下降h＝0.5 m高度的过程中，对由导体棒ab、cd以及物块组成的系统进行分析，由能量守恒定律可得
m2gh＝(m1＋m2)v2＋Q＋μm1gh
代入数据可解得
Q＝0.75 J。
(3)当导体棒ab运动稳定后，回路中的电流、两棒的加速度不变，由牛顿第二定律可得
m2g－T＝m2a
T－F安′－μm1g＝m1a
F安′－μm1g＝m1a
联立解得F安′＝0.6 N，a＝4 m/s2
由F安′＝I′LB，I′＝，E′＝
可得＝＝0.6 Wb/s。专题提升七　电磁感应中的动力学和能量问题
学习目标　1.会分析导体棒、线框在磁场中受力、加速、减速问题，并运用牛顿运动定律进行解析。2.理解电磁感应中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题。
提升1　电磁感应中的动力学问题
1.导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。
(2)导体的非平衡状态——加速度不为0。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。
2.力学对象和电学对象的相互关系
例1 如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1 m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝0.2 Ω、长度也为L＝1 m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2(式中v为杆ab运动的速度，所有物理量均采用国际单位制单位)、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
(1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程；
(2)求电阻R的阻值；
(3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
“先电后力”四步法分析电磁感应中的动力学问题
　　　　
训练1 如图所示，有两根和水平方向成θ角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下。经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，不计金属杆和轨道的电阻，则以下分析正确的是(　　)
A.金属杆先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动
B.金属杆由静止到最大速度过程中机械能守恒
C.如果只增大B，vm将变小
D.如果只增大R，vm将变小
训练2 (2023·北京卷，18)2022年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
(1)金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
(2)金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1∶a2；
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升2　电磁感应中的能量问题
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式能量的转化过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功，则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。
2.求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
例2 如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)金属杆ab运动的最大速度；
(2)金属杆ab运动的加速度为gsin θ时，电阻R上的电功率；
(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 如图所示，倾角为θ的光滑绝缘薄板固定，在MN、PQ之间存在垂直于薄板向上的匀强磁场，MN与PQ间距离为2L，MN处有一固定挡板(未画出)。薄板上放有一个正方形导线框abcd，在ab和cd边上分别固定和导线直径相等的遮光条(未画出)。在P处固定有光电门(未画出)，线框ab边与磁场边界平行。现将该线框从离磁场区域一定距离处由静止释放，光电门记录了线框ab和cd边进磁场上边界的时间分别为t1、t2，线框与挡板碰撞后等速率反弹。已知导线框边长为L，导线的直径为d(L d)，包含遮光条的线框总质量为m，ab边电阻为2R，其余边电阻均为R。求：
(1)线框ab边进入磁场瞬间，ab两端的电势差Uab；
(2)线框第一次进入磁场过程中ab边产生的焦耳热；
(3)描述线框最终的运动状态，并求出线框中所能产生的最大热量。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(电磁感应中的动力学问题)(2024·广东潮州高二期末)如图所示，两根光滑平行金属导轨固定于水平面内，导轨之间接有灯泡A。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使金属棒ab以一定的初速度v开始向右运动，此后(　　)
A.棒ab做匀减速运动直到停止
B.棒ab中的感应电流方向由b到a
C.棒ab所受的安培力方向水平向右
D.灯泡A逐渐变亮
2.(电磁感应中的动力学问题)(多选)如图，空间中存在一匀强磁场区域，磁场方向与竖直面(纸面)垂直，磁场的上、下边界(虚线)均为水平面；纸面内磁场上方有一个正方形导线框abcd，其上、下两边均与磁场边界平行，边长小于磁场上、下边界的间距。若导线框自由下落，从ab边进入磁场时开始，直至ab边到达磁场下边界为止，导线框下落的速度大小可能(　　)
A.始终减小 B.始终不变
C.始终增加 D.先减小后增加
3.(电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中(　　)
A.恒力F做的功等于电路产生的电能
B.克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C.恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
D.恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和
专题提升七　电磁感应中的动力学和能量问题
提升1
例1 (1)匀加速直线运动，推理过程见解析
(2)0.3 Ω　(3)0.5 s
解析　(1)通过R的电流I＝＝，因为B、L、R、r为定值，所以I与v成正比，因通过R的电流I随时间均匀增大，即杆的速度v随时间均匀增大，即杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速直线运动。
(2)对回路根据闭合电路的欧姆定律，得I＝
对杆进行受力分析，根据牛顿第二定律，有
F＋mgsin θ－ILB＝ma
将F＝0.5v＋2代入得
2＋mgsin θ＋v＝ma
因为v为变量，a为定值，所以a与v无关，必有ma＝2＋mgsin θ
0.5－＝0
解得a＝8 m/s2，R＝0.3 Ω。
(3)由x＝at2得
所需时间t＝＝0.5 s。
训练1 C　[金属杆下滑过程中，受重力、导轨的支持力和安培力，开始时重力沿斜面向下的分力大于安培力，金属杆做加速运动，满足mgsin θ－＝ma，随着速度的增加，安培力在增大，所以金属杆加速度逐渐减小，当加速度减小到零，速度最大。当加速度为零时，金属杆做匀速运动，故金属杆先做加速度逐渐减小的加速运动，然后做匀速直线运动，故A错误；金属杆由静止到最大速度过程中，安培力做负功，金属杆机械能并不守恒，故B错误；当速度最大时有mgsin θ－＝0，解得vm＝，所以只增大B，vm将变小，只增大 R，vm将变大，故C正确，D错误。]
训练2 (1)kI2L　(2)1∶4　(3)
解析　(1)由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为B1＝kI
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
F＝ILB1＝kI2L。
(2)根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为a1＝＝
第二级区域中磁感应强度大小为B2＝2kI
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
F′＝2IL·B2＝4kI2L
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
a2＝＝
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶4。
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得
Fs＋F′s＝mv2－0
解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为
v＝。
提升2
例2 (1)　(2)
(3)mgxsin θ－
解析　(1)当杆达到最大速度时，由平衡条件得安培力F＝mgsin θ
又安培力F＝IdB
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvm
解得最大速度vm＝。
(2)当金属杆ab运动的加速度为gsin θ时
根据牛顿第二定律，有
mgsin θ－I′dB＝m×gsin θ
电阻R上的电功率P＝I′2R
解得P＝。
(3)根据动能定理得
mgxsin θ－WF＝mv－0
解得WF＝mgxsin θ－。
训练3 (1)　(2)[mgLsin θ＋]
(3)最终线框的cd边界到达磁场上边界刚好速度减为零无法冲出磁场，将沿斜面下滑，反弹后再向上匀减速运动，到达上边界速度为零再重复上述运动(合理即可)　mgsin θ
解析　(1)由于L d，则可用平均速度代替线框通过PQ的瞬时速度，设ab边通过PQ的平均速度为v1，时间为t1，产生的感应电动势为E
由法拉第电磁感应定律有E＝BLv1①
其中v1＝②
根据串联电路分压特点得Uab＝E③
联立①②③解得Uab＝。④
(2)设cd边通过PQ的平均速度为v2，线框进入磁场过程中克服安培力做功为W，线框产生的焦耳热为Q，ab边产生的焦耳热为Qab
对线框由动能定理有
mgLsin θ－W＝mv－mv⑤
其中W＝Q，v2＝⑥
Qab＝Q⑦
联立②⑤⑥⑦可得
Qab＝。⑧
(3)线框碰到挡板后反弹，由于电磁感应现象损失机械能，离开磁场后的最大高度降低，以此类推，最终线框的cd边界到达磁场上边界刚好速度减为零时无法冲出磁场，将沿斜面下滑，反弹后再向上匀减速，到达上边界速度为零再重复上述运动，即最终的运动状态满足机械能守恒。设线框释放时ab边到磁场上边界的距离为x，线框产生的热量为Q，线框从释放到ab边刚好进入磁场的过程，对线框由动能定理得mgxsin θ＝mv－0⑨
线框由释放到最终运动状态的过程中，对线框由能量守恒定律得mg(x＋L)sin θ＝Q总⑩
联立②⑨⑩解得Q总＝mgsin θ。
随堂对点自测
1.B　[金属棒ab以一定的初速度v开始向右运动，根据右手定则可知，棒ab中的感应电流方向由b到a，B正确；根据左手定则可知棒ab所受的安培力水平向左，与运动方向相反，则棒做减速运动，速度v减小，根据E＝BLv可知感应电动势减小，感应电流减小，再根据安培力公式F＝ILB知安培力减小，所以棒做加速度减小的减速运动，A、C错误；由于感应电流减小，灯泡A逐渐变暗，D错误。]
2.CD　[导线框开始做自由落体运动，ab边以一定的速度进入磁场，ab边切割磁感线产生感应电动势，根据左手定则可知ab边受到向上的安培力，当安培力大于重力时，导线框做减速运动，当导线框完全进入磁场后，导线框中不产生感应电流，此时只受重力，做加速运动，故先做减速运动后做加速运动；当ab边进入磁场后受的安培力与重力大小相等时，导线框做匀速运动，当导线框完全进入磁场后，只受重力，做加速运动，故先做匀速运动后做加速运动；当ab边进入磁场后受的安培力小于重力时，导线框做加速运动，当导线框完全进入磁场后，只受重力，做加速运动，综上，只有C、D正确。]
3.BD　[由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W克安＝E电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能，即WF＋Wf＋W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和，选项C错误，D正确。](共63张PPT)
专题提升七　电磁感应中的动力学和能量问题
第二章　电磁感应及其应用
1.会分析导体棒、线框在磁场中受力、加速、减速问题，并运用牛顿运动定律进行解析。
2.理解电磁感应中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　电磁感应中的能量问题
提升1　电磁感应中的动力学问题
提升1　电磁感应中的动力学问题
1.导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。
(2)导体的非平衡状态——加速度不为0。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。
2.力学对象和电学对象的相互关系
例1 如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固
定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1 m，导轨的
电阻可忽略。M、P两点间接有电阻R。一根质量m＝1 kg、
电阻r＝0.2 Ω、长度也为L＝1 m的均匀直金属杆ab放在两
导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强
度B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2(式中v为杆ab运动的速度，所有物理量均采用国际单位制单位)、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
(1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程；
(2)求电阻R的阻值；
(3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。
对杆进行受力分析，根据牛顿第二定律，有
F＋mgsin θ－ILB＝ma
因为v为变量，a为定值，所以a与v无关，必有ma＝2＋mgsin θ
“先电后力”四步法分析电磁感应中的动力学问题
C
训练1 如图所示，有两根和水平方向成θ角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下。经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，不计金属杆和轨道的电阻，则以下分析正确的是(　　)
A.金属杆先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动
B.金属杆由静止到最大速度过程中机械能守恒
C.如果只增大B，vm将变小
D.如果只增大R，vm将变小
训练2 (2023·北京卷，18)2022年，我国阶段性建成并成功运
行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技术的世界最高
速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两
平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。
金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电
流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应强度B与电流i的关系式为B＝ki(k为常量)。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I变为2I。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
(1)金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
(2)金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比a1∶a2；
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
解析　(1)由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为B1＝kI
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
F＝ILB1＝kI2L。
第二级区域中磁感应强度大小为B2＝2kI
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
F′＝2IL·B2＝4kI2L
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶4。
(3)金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得
提升2　电磁感应中的能量问题
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式能量的转化过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功，则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。
2.求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
例2 如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
解析　(1)当杆达到最大速度时，由平衡条件得安培力F＝mgsin θ
又安培力F＝IdB
感应电动势E＝Bdvm
根据牛顿第二定律，有
电阻R上的电功率P＝I′2R
(3)根据动能定理得
训练3 如图所示，倾角为θ的光滑绝缘薄板固定，
在MN、PQ之间存在垂直于薄板向上的匀强磁
场，MN与PQ间距离为2L，MN处有一固定挡
板(未画出)。薄板上放有一个正方形导线框
abcd，在ab和cd边上分别固定和导线直径相等的遮光条(未画出)。在P处固定有光电门(未画出)，线框ab边与磁场边界平行。现将该线框从离磁场区域一定距离处由静止释放，光电门记录了线框ab和cd边进磁场上边界的时间分别为t1、t2，线框与挡板碰撞后等速率反弹。已知导线框边长为L，导线的直径为d(L d)，包含遮光条的线框总质量为m，ab边电阻为2R，其余边电阻均为R。求：
(1)线框ab边进入磁场瞬间，ab两端的电势差Uab；
(2)线框第一次进入磁场过程中ab边产生的焦耳热；
(3)描述线框最终的运动状态，并求出线框中所能
产生的最大热量。
解析　(1)由于L d，则可用平均速度代替线框通过PQ的瞬时速度，设ab边通过PQ的平均速度为v1，时间为t1，产生的感应电动势为E
由法拉第电磁感应定律有E＝BLv1①
(2)设cd边通过PQ的平均速度为v2，线框进入磁场过程中克服安培力做功为W，线框产生的焦耳热为Q，ab边产生的焦耳热为Qab
随堂对点自测
2
B
1.(电磁感应中的动力学问题)(2024·广东潮州高二期末)如图所示，两根光滑平行金属导轨固定于水平面内，导轨之间接有灯泡A。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使金属棒ab以一定的初速度v开始向右运动，此后(　　)
A.棒ab做匀减速运动直到停止
B.棒ab中的感应电流方向由b到a
C.棒ab所受的安培力方向水平向右
D.灯泡A逐渐变亮
解析　金属棒ab以一定的初速度v开始向右运动，根据右手定则可知，棒ab中的感应电流方向由b到a，B正确；根据左手定则可知棒ab所受的安培力水平向左，与运动方向相反，则棒做减速运动，速度v减小，根据E＝BLv可知感应电动势减小，感应电流减小，再根据安培力公式F＝ILB知安培力减小，所以棒做加速度减小的减速运动，A、C错误；由于感应电流减小，灯泡A逐渐变暗，D错误。
CD
2.(电磁感应中的动力学问题)(多选)如图，空间中存在一匀强磁场区域，磁场方向与竖直面(纸面)垂直，磁场的上、下边界(虚线)均为水平面；纸面内磁场上方有一个正方形导线框abcd，其上、下两边均与磁场边界平行，边长小于磁场上、下边界的间距。若导线框自由下落，从ab边进入磁场时开始，直至ab边到达磁场下边界为止，导线框下落的速度大小可能(　　)
A.始终减小 B.始终不变
C.始终增加 D.先减小后增加
解析　导线框开始做自由落体运动，ab边以一定的速
度进入磁场，ab边切割磁感线产生感应电动势，根据
左手定则可知ab边受到向上的安培力，当安培力大于
重力时，导线框做减速运动，当导线框完全进入磁场
后，导线框中不产生感应电流，此时只受重力，做加
速运动，故先做减速运动后做加速运动；当ab边进入
磁场后受的安培力与重力大小相等时，导线框做匀速运动，当导线框完全进入磁场后，只受重力，做加速运动，故先做匀速运动后做加速运动；当ab边进入磁场后受的安培力小于重力时，导线框做加速运动，当导线框完全进入磁场后，只受重力，做加速运动，综上，只有C、D正确。
BD
3.(电磁感应中的能量问题)(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中(　　)
A.恒力F做的功等于电路产生的电能
B.克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C.恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
D.恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和
解析　由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W克安＝E电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能，即WF＋Wf＋W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和，选项C错误，D正确。
课后巩固训练
3
D
题组一　电磁感应中的动力学问题
对点题组练
1.如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列v－t图像中，能正确描述上述过程的是(　　)
A组
B
2.如图所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，如果线圈受到的安培力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为(　　)
A.a1>a2>a3>a4 B.a1＝a3>a2>a4
C.a1＝a3>a4>a2 D.a4＝a2>a3>a1
AD
3.(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略其他影响，则(重力加速度为g)(　　)
D
题组二　电磁感应中的能量问题
4.(2023·北京卷，9)如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是(　　)
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
ABD
5.(多选)如图所示，一平行金属导轨固定在水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面方向向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离s后停止，此过程中电阻R上产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则( 　　)
BC
7.如图所示，竖直平面内有足够长的平行固定金属导轨，间距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度大小为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s时，突然闭合开关S(g取10 m/s2)。
综合提升练
(1)试说出开关S闭合后，导体ab的运动情况；
(2)导体ab匀速下落的速度是多少？
答案　(1)见解析　(2)0.5 m/s
解析　(1)闭合开关S之前，导体ab自由下落的末速度为v0＝gt＝4 m/s
开关S闭合瞬间，导体ab切割磁感线产生感应电动势，回路中产生感应电流，导体ab立即受到竖直向上的安培力
此时导体ab受到的合力方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度
(2)设导体ab匀速下落的速度为vm
8.如图所示，光滑平行固定的金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力，重力加速度为g。
(1)求ab开始运动时的加速度a；
(2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况。
解析　(1)对初始状态的ab受力分析，利用牛顿第二定律，得
mgsin θ＋ILB＝ma①
对回路分析，流经金属杆ab的感应电流
(2)上滑过程：由第(1)问中的分析可知，ab杆的加速度大小表达式为
a、v反向，ab做减速运动。由③式知，v减小，则a减小，可知ab上滑过程做加速度逐渐减小的减速运动。
下滑过程：
对ab受力分析由牛顿第二定律得
因a下与v同向，ab做加速运动。
由⑤得v增加，a下减小，ab做加速度减小的加速运动。若初速度v0足够大时，ab可能在下滑一段时间且未到达出发位置时受到的安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，之后ab做匀速运动。
AD
9.(多选)如图所示，M、N为同一水平面内固定的两条平行长直导轨，左端串接电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，杆和导轨的电阻不计，且杆与导轨间无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与杆垂直的水平方向的恒力F，使杆从静止开始运动。在运动过程中，杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图像可能正确的是(　　)
B组
AC
10.(多选)两根足够长的固定光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端，金属棒和导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，磁感应强度方向如图所示。金属棒和导轨的电阻不计。重力加速度为g，现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放，则(　　)
BC
11.(多选)如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图(俯视)，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车的底板上，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN。缓冲车的底部安装有电磁铁(图中未画出)，能产生垂直于导轨平面的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L。假设缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，而缓冲车厢继续向前移动距离L后速度减小为零。已知缓冲车厢与障碍物和线圈的ab边均没有接触，不计一切摩擦阻力。在这个缓冲过程中，下列说法正确的是(　　)
12.一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1、电容为C的电容器连接成如图(a)所示的回路。金属线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图(b)所示。图像与横、纵轴的截距分别为t0和B0。导线的电阻不计。求：
(1)通过电阻R1的电流大小和方向；
(2)0～t1时间内通过电阻R1的电荷量q；
(3)t1时刻电容器所带电荷量Q。
根据法拉第电磁感应定律，得感应电动势
根据闭合电路的欧姆定律，得感应电流
根据楞次定律，可知通过R1的电流方向为从b到a。
(2)通过R1的电荷量q＝I1t1
(3)电容器两板间电压
则电容器所带的电荷量
13.如图所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ
固定在绝缘水平桌面上，间距L＝0.4 m，导轨所
在空间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，
将两根长度均为L＝0.4 m，质量均为m1＝0.1 kg的导体棒ab、cd放在金属导轨上，导体棒的电阻均为R＝0.1 Ω，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2。用一根绝缘细线跨过导轨右侧的光滑定滑轮将一物块和导体棒cd相连，物块质量m2＝0.2 kg，细线伸直且与导轨平行。现在由静止释放物块，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，导体棒所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨电阻不计，g取10 m/s2。
培优加强练
(1)求导体棒ab刚要运动时cd的速度大小；
(2)若从物块由静止释放到ab即将开始运动这段时
间内，物块下降的高度h＝0.5 m，则此过程中整
个回路产生的总的焦耳热是多少？
(3)求导体棒ab运动稳定后的加速度a以及由导体棒ab、cd组成的闭合回路的磁通量的变化率。
答案　(1)1 m/s　(2)0.75 J　(3)4 m/s2　0.6 Wb/s
(2)在物块下降h＝0.5 m高度的过程中，对由
导体棒ab、cd以及物块组成的系统进行分析，
由能量守恒定律可得
代入数据可解得Q＝0.75 J。
(3)当导体棒ab运动稳定后，回路中的电流、两棒的加速度不变，由牛顿第二定律可得
m2g－T＝m2a
T－F安′－μm1g＝m1a
F安′－μm1g＝m1a
联立解得F安′＝0.6 N，a＝4 m/s2

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