资源简介

第二章　专题提升八　电磁感应中的动量问题
(分值：100分)
A组
选择题1～4题，7～8题，每小题8分，共48分。
对点题组练
题组一　动量定理在电磁感应中的应用
1.(多选)如图所示，水平光滑的固定平行金属导轨，左端接有电阻R，磁感应强度为B的匀强磁场分布在导轨所在的空间内，磁场方向竖直向下，质量一定的金属棒PQ垂直导轨放置。现使棒以一定的初速度v0向右运动，当其通过位置a、b时，速率分别为va、vb，到位置c时棒刚好静止。设导轨与棒的电阻均不计，a到b与b到c的间距相等，则金属棒在由a到b和由b到c的两个过程中(　　)
通过棒某一横截面的电荷量相等
棒的动能变化量相等
回路中产生的内能相等
安培力的冲量相等
题组二　动量守恒定律在电磁感应中的应用
2.如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L，质量均为m、接入电路的阻值均为R的金属棒ab、cd垂直搁置于导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，某一时刻同时给ab、cd以平行于导轨的水平向右的初速度v0、2v0，则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中(　　)
ab中的最大电流为
ab达到稳定速度时，其两端的电压为0
ab速度为时，其加速度比cd的小
ab、cd间距增加了
3.(多选)如图所示，在水平面内固定有两根相互平行的无限长光滑金属导轨，其间距为L，电阻不计。在虚线l1的左侧存在方向竖直向上的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在方向竖直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中。现突然给ad棒水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是(　　)
两金属棒组成的系统的动量守恒
两金属棒组成的系统的动量不守恒
ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率
ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和
题组三　电磁感应中的双杆模型
4.(多选)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab、cd，与导轨一起构成闭合回路。两根导体棒的质量均为m，长度均为L，电阻均为R，其余部分的电阻不计。在整个导轨所在的平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度v0，则(　　)
导体棒ab刚获得速度v0时受到的安培力大小为
两导体棒最终将以的速度沿导轨向右匀速运动
两导体棒运动的整个过程中产生的热量为mv
当导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的加速度大小为
综合提升练
5.(12分)如图所示，空间存在有水平边界、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上方l处有一个质量为m、电阻为R、边长为l的正方形线框，将线框由静止释放，从线框下边框进磁场经时间Δt后线框上边框进磁场，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)(6分)线框下边框进入磁场时的速度大小；
(2)(6分)线框上边框进入磁场时的速度大小。
6.(12分)如图所示，足够长的水平导轨左侧b1b2－c1c2部分导轨间距为3L，右侧c1c2－d1d2部分的导轨间距为L，曲线导轨与水平导轨相切于b1b2，所有导轨均光滑固定且电阻不计。在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T。质量为mb＝0.2 kg的金属棒b垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为ma＝0.1 kg的金属棒a自曲线导轨上a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，a棒总在宽轨上运动，b棒总在窄轨上运动。已知：两棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：
(1)(4分)a棒滑到b1b2处时的速度大小；
(2)(4分)b棒匀速运动时的速度大小；
(3)(4分)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留3位有效数字)。
B组
7.如图所示，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处由静止开始释放，A、B是边界范围、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场，只是A的区域比B的区域离地面高一些，两线圈下落过程始终保持线圈平面与磁场垂直，则(　　)
甲先落地 乙先落地
二者同时落地 无法确定
8.(多选)如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的固定平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　)
A B
C D
9.(12分)(2023·海南卷，17)如图所示，U形金属杆上边长为L＝15 cm，质量为m＝1×10－3 kg，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里大小为B＝8×10－2 T的匀强磁场。
(1)(6分)若插入导电液体部分深h＝2.5 cm，闭合电键，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度H＝10 cm，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大(g＝10 m/s2)；
(2)(6分)若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度H′＝5 cm，通电时间t′＝0.002 s，求通过金属杆横截面的电荷量。
培优加强练
10.(16分)(2024·沈阳5月第三次质检)如图所示，有两根固定的光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部分在同一水平面内，其中EF、NP段用绝缘材料制成，其余部分为金属。两导轨的间距为d＝0.5 m，导轨的左侧接着一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻，右侧接C＝2×1011 pF的电容器，电容器尚未充电。水平导轨的ADQM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，虚线AM和DQ垂直于导轨，AE和MN的长度均为x＝1.2 m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m＝0.2 kg，接入电路的电阻均为r＝2 Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h＝0.8 m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b进入磁场区域，最终在FDQP区域稳定运动。不计金属导轨的电阻，求：
(1)(4分)金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小；
(2)(6分)整个运动过程中金属棒a上产生的焦耳热；
(3)(6分)金属棒b稳定运动时电容器所带的电荷量。
专题提升八　电磁感应中的动量问题
1.AD　[金属棒运动过程中，通过棒某一横截面的电荷量Q＝Δt＝Δt＝·Δt＝＝，从a到b的过程中与从b到c的过程中，回路面积的变化量ΔS相等，又B、R为定值，因此通过棒某一横截面的电荷量相等，选项A正确；金属棒受到的安培力大小为F安＝ILB＝，方向水平向左，金属棒在安培力作用下做减速运动，由于a、b间距离与b、c间距离相等，且从a到c的过程中安培力F安逐渐减小，由W＝Fs进行定性分析可知，棒从a到b克服安培力做的功比从b到c克服安培力做的功多，由动能定理可知，这两个过程中棒的动能变化量不相等；金属棒克服安培力做功，金属棒的动能转化为内能，因此在a到b的过程中回路中产生的内能多，选项B、C错误；安培力的冲量I＝LBΔt，因两过程中Q＝Δt相等，则两过程中安培力的冲量相等，选项D正确。]
2.D　[根据右手定则，回路产生顺时针方向(从上往下看)的感应电流，根据左手定则，cd棒所受安培力向左做减速运动，ab棒所受安培力向右做加速运动，稳定时以相同的速度运动。初始时刻电流最大，且Im＝＝，A错误；根据动量守恒定律得mv0＋m·2v0＝2mv；解得v＝v0，稳定时ab棒两端电压为U＝BLv＝BLv0，B错误；稳定前两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒的加速度也大小相等，方向相反，C错误；对ab根据动量定理得LBΔt＝m·v0－mv0，q＝Δt，对回路＝，＝，ΔΦ＝BLx，解得x＝，D正确。]
3.BD　[开始时，ad棒以初速度v0切割磁感线，产生感应电动势，在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动。由于两棒所受的安培力方向都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确；根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的总热量和bc棒动能的增加量之和，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。]
4.BC　[当导体棒ab刚获得速度v0时，导体棒cd还没开始运动，此时导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为I＝，故此时导体棒ab受到的安培力大小为F＝ILB，解得F＝，选项A错误；从开始到两导体棒达到共同速度的过程中，两导体棒组成的系统动量守恒，则可得mv0＝2mv，解得其共同速度为v＝，方向沿导轨向右，选项B正确；由能量守恒定律得，两导体棒运动的整个过程中产生的总热量为Q＝mv－×2mv2，解得Q＝mv，选项C正确；设导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的速度大小为v1，则由动量守恒定律可得mv0＝m·v0＋mv1，此时回路中的感应电动势为E′＝BL，感应电流为I′＝，此时导体棒cd受到的安培力为F′＝I′LB，所以导体棒cd的加速度大小为a＝，解得a＝，选项D错误。]
5.(1)　(2)＋gΔt－
解析　(1)线框下边框进磁场前自由下落，有
v＝2gl(或者mgl＝mv)
解得下边框进磁场时的速度大小v1＝。
(2)线框进入磁场的过程，平均感应电动势
＝＝
平均感应电流＝＝
电荷量q＝Δt＝
线框进入磁场的过程，由动量定理有
mgΔt－IlBΔt＝mv2－mv1
得v2＝＋gΔt－。
6.(1)3 m/s　(2) m/s　(3)9.87 m2
解析　(1)a棒在光滑曲线导轨上下滑，由机械能守恒定律得magh＝mav
解得v0＝3 m/s。
(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理
对b棒：Fb安cos θ·t＝mbvb
对a棒：－Fa安cos θ·t＝mava－mav0
其中Fa安＝3Fb安
两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有
BLvb＝3BLva
解得va＝ m/s，vb＝ m/s。
(3)在b棒加速运动过程中，由动量定理得
LBcos θ·Δt＝mbvb－0
电路中的平均电流＝
根据法拉第电磁感应定律有＝
其中磁通量变化量ΔΦ＝Bcos θ·ΔS
解得ΔS≈9.87 m2。
7.B　[先比较甲、乙线圈落地速度的大小，乙进入磁场时的速度较大，则安培力较大，克服安培力做功较多，即产生的焦耳热较多，由能量守恒定律可知，乙线圈落地速度较小。线圈穿过磁场区域时受到的安培力为变力，设受到的平均安培力为F，穿过磁场的时间为Δt，下落全过程时间为t，落地时的速度为v，则全过程由动量定理得mgt－FΔt＝mv。而FΔt＝ILB·Δt，I＝，所以FΔt＝。两线圈下落过程安培力的冲量相等，又由v乙8.AC　[导体棒ab运动，切割磁感线，产生感应电流(俯视电流方向为逆时针)，导体棒ab受到安培阻力F作用，速度减小，导体棒cd受安培力F′作用，速度增大，如图所示，最终两棒速度相等。由E＝Bl(vab－vcd)知，感应电动势E随vab－vcd的减小而减小，则感应电流非均匀变化。当两棒的速度相等时，回路上感应电流消失，两棒在导轨上以共同速度做匀速运动。由系统的动量守恒定律得mv0＝2mv共，v共＝，两导体棒均受变力作用，加速度逐渐减小，其v－t图像应该是曲线，两导体棒均做变速运动，感应电流变小，最后为零，但非均匀变化，A、C正确，B、D错误。]
9.(1) m/s　 A(或4.17 A)　(2)0.085 C
解析　(1)对金属杆，离开液面后跳起的高度为H，
由运动学公式有v2＝2gH
解得v＝ m/s
对金属杆从刚闭合电键至其下端离液面高度为H的过程，由动能定理有ILBh－mg(H＋h)＝0
解得I＝ A(或4.17 A)。
(2)对金属杆，由动量定理有(I′LB－mg)t′＝mv′
由运动学公式有v′2＝2gH′
又q＝I′t′
解得q＝0.085 C。
10.(1)4 m/s　(2)0.2 J　(3)0.2 C
解析　(1)金属棒a从高h＝0.8 m处由静止沿轨道滑下，由机械能守恒定律有mgh＝mv，解得v0＝4 m/s，此后a与b发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律可知mv0＝mv1＋mv2，mv＝mv＋mv，解得v2＝v0＝4 m/s，金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小是4 m/s。
(2)金属棒b从A到E做减速运动，由动量定理得BdΔt＝mv2－mv，又Δt＝q＝Δt，＝，R总＝r＋＝3 Ω，联立解得v＝2 m/s，由能量守恒定律有mv－mv2＝Q总，解得Q总＝1.2 J，在金属棒a上产生的焦耳热Qa＝Q总＝0.2 J。
(3)因EF、NP段导轨是绝缘的，所以闭合回路中无感应电流，则金属棒b以速度v在EFPN区域做匀速直线运动，到FP边界时速度仍是v，进入FDQP区域，此时金属棒与电容器构成回路，金属棒b稳定时，设其速度是v′，电容器带的电荷量是Q，由动量定理得B′dΔt1＝mv－mv′，其中′Δt1＝Q，Q＝CU＝CBdv′，解得v′＝1 m/s，Q＝0.2 C。专题提升八　电磁感应中的动量问题
学习目标　1.进一步熟悉楞次定律、法拉第电磁感应定律的应用。2.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题。
提升1　动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为I安＝LBt＝LqB，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
例1 (多选)如图所示，水平面上固定有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　)
A.ab杆将做匀减速运动直到静止
B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为
D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直水平面向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为a(aA.完全进入磁场中时线圈的速度大于
B.完全进入磁场中时线圈的速度等于
C.完全进入磁场中时线圈的速度小于
D.以上情况A、B均有可能，而C是不可能的
训练2 (多选)(2024·山东济宁高二期末)如图所示，平行光滑金属导轨固定在竖直面内，导轨间距为1 m，上端连接阻值为2 Ω的定值电阻，虚线的上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2 T，质量为1 kg的导体棒套在金属导轨上与导轨接触良好，现给导体棒向上的初速度，当其刚好越过虚线时速度为20 m/s，导体棒运动到虚线上方1 m处速度减为零，此后导体棒向下运动，到达虚线前速度已经达到恒定，整个运动过程中导体棒始终保持水平。导轨和导体棒的电阻均忽略不计，取g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.导体棒的最大加速度为50 m/s2
B.导体棒上升过程中流过定值电阻的电荷量为4 C
C.导体棒下落到虚线时的速度大小为5 m/s
D.导体棒从越过虚线到运动到最高点所需的时间为1.8 s
提升2　动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，如果两安培力等大反向，且他们受到的其他外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒受的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
例2 (2023·全国甲卷，25)如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行，不计空气阻力。求：
(1)金属棒P滑出导轨时的速度大小；
(2)金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
(3)与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 (多选)如图所示，两个完全相同的金属棒a、b放在水平固定的光滑金属导轨上，两导轨间距离为L，两棒质量均为m，电阻均为R，不计导轨的电阻。导轨间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给a棒一个向右的速度，大小为v1，给b棒一个向左的速度，大小为v2，已知v1>v2，规定向右为正方向，下列说法正确的是(　　)
A.两棒由于受到安培力作用，故两棒组成的系统动量不守恒
B.当b棒的速度减为零时，两棒的距离减少了
C.若两金属棒间距离足够远，两棒最终向右运动，速度大小为
D.为避免两棒相撞，两棒最初的距离应至少为
训练4 如图所示，固定的MN、PQ两平行光滑水平导轨分别与半径r＝0.5 m的相同竖直半圆导轨在N、Q端平滑连接，M、P端连接定值电阻R，质量M＝2 kg的cd绝缘杆垂直且静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场。现有质量m＝1 kg的ab金属杆以初速度v0＝12 m/s水平向右运动，与cd绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计除R以外的其他电阻和摩擦，ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2(不考虑cd杆通过半圆导轨最高点以后的运动)。求：
(1)cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时的速度大小v；
(2)电阻R产生的焦耳热Q。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升3　电磁感应中的双杆模型
初始状态：初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La
力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
运动图像
能量观点 一部分动能转化为内能Q＝－ΔEk
动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒，对单杆可以用动量定理
例3 如图所示，固定的光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的B＝4 T的匀强磁场中，两导轨间距为L＝0.5 m，导轨足够长且不计电阻。金属棒a和b的质量都为m＝1 kg，连入导轨间的电阻Ra＝Rb＝1 Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h＝80 cm高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，接触良好，且两棒始终不相碰。求a、b两棒的最终速度，以及整个过程中b棒中产生的焦耳热(已知重力加速度g＝10 m/s2)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 (多选)如图所示，光滑水平导轨固定在磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是(　　)
A.导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒
B.两棒最终以相同的速度做匀速直线运动
C.ab棒最终的速度为v0
D.从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为mv
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(动量定理在电磁感应中的应用)(多选)如图所示，在光滑绝缘的水平面上的两平行虚线之间存在竖直向上的匀强磁场(俯视如图)，单匝正方形闭合线框ABCD，从磁场左侧向右运动，以大小为3v0的速度开始进入磁场，当AB边穿出磁场右边界时线框的速度大小为v0，假设线框在运动过程中CD边始终平行于磁场边界，磁场的宽度大于正方形的边长。关于线框整个运动过程，下列说法正确的是(　　)
A.线框ABCD进入磁场时所受安培力方向向左，穿出磁场时所受安培力方向向右
B.线框ABCD全部进入磁场后到CD边离开磁场前，线框做匀速运动
C.线框ABCD在进入和穿出磁场的过程中通过导线某截面的电荷量大小相等
D.线框ABCD进入和穿出磁场的过程中产生的焦耳热之比为5∶3
2.(动量守恒定律在电磁感应中的应用)如图所示，水平面上固定有两根间距为d的光滑平行长直导轨，导轨间分布有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，垂直导轨放置有两根金属棒ab、cd，金属棒和导轨始终接触良好。金属棒cd有水平向右的初速度2v，同时有一水平外力作用在金属棒ab上使ab保持静止，当cd的速度变为v时，撤掉ab上的外力，直至两棒处于稳定状态。已知两棒质量均为m，电阻均为r，导轨电阻忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A.ab棒所受外力最大为
B.两金属棒处于稳定状态时速度为零
C.从cd棒开始运动到两棒处于稳定状态，系统产生的总热量为mv2
D.从cd棒开始运动到两棒处于稳定状态，系统产生的总热量为2mv2
3.(电磁感应中的双杆模型)(2023·湖南卷，14)如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
(1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；
(2)在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；
(3)在(2)问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
专题提升八　电磁感应中的动量问题
提升1
例1 BD　[ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为F＝，加速度大小为a＝＝，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速直线运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为时，安培力大小为F′＝，所以加速度大小为a＝＝，故B正确；对ab杆，由动量定理得－LB·Δt＝m－mv0，即LqB＝mv0，解得q＝，所以通过定值电阻的电荷量为，故C错误；由q＝＝，解得ab杆通过的位移x＝＝，故D正确。]
训练1 B　[设线圈完全进入磁场中时的速度为v′，线圈在穿过磁场的过程中的感应电荷量为q，因为线圈进出磁场时面积变化量相等，所以穿过线圈的磁通量的变化量相等，即进、出磁场感应电荷量相等。在进入磁场、穿出磁场的过程中，分别由动量定理得qaB＝mv0－mv′，Bqa＝mv′－mv，解得v′＝，故选项B正确。]
训练2 ACD　[当导体棒向上经过虚线时加速度最大，此时的安培力为F＝ILB＝＝40 N，由牛顿第二定律得a＝＝ m/s2＝50 m/s2，故A正确；q＝Δt＝Δt＝Δt＝＝ C＝1 C，故B错误；由平衡条件可得，导体棒下落到虚线时，有mg＝ILB＝，则v1＝＝ m/s＝5 m/s，故C正确；导体棒从越过虚线到运动到最高点，由动量定理得mgt＋LBt＝0－m(－v)＝mv，有mgt＋qBL＝mv，解得t＝＝ s＝1.8 s，故D正确。]
提升2
例2 (1)v0　(2)mv　(3)
解析　(1)Q与P发生弹性碰撞，由动量守恒定律有
3mv0＝mvP＋3mvQ
由能量守恒定律有
×3mv＝mv＋×3mv
联立解得vQ＝v0，vP＝v0
根据题述，P、Q落到地面上同一地点，结合平抛运动规律可知，金属棒P滑出导轨时的速度大小为vP′＝vQ＝v0。
(2)由能量守恒定律可得，金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为
Q＝mv－mvP′2＝mv。
(3)P在导轨上做变速运动，设速度大小为v时金属棒中产生的感应电动势大小为e，电流大小为i，在Δt时间内速度变化Δv，则由法拉第电磁感应定律有e＝Blv
由闭合电路欧姆定律有i＝
金属棒P所受的安培力F＝Bil＝
由动量定理有FΔt＝mΔv
即Δt＝mΔv
方程两侧求和得∑Δt＝∑mΔv
即∑vΔt＝m∑Δv
注意到∑vΔt＝x，∑Δv＝vP－vP′＝v0
联立解得x＝
对绝缘棒Q有x＝vQt
解得与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间为
t＝。
训练3 BCD　[由于两棒相向运动，故两棒产生的感应电动势方向相同，回路总电动势大小为E＝BL(v1＋v2)，回路中感应电流方向为顺时针，由左手定则可知a棒受安培力向左，b棒受安培力向右，两棒所受的安培力时刻等大反向，故系统动量守恒，A错误；当b棒的速度减为零时，设此时a棒的速度为v，根据动量守恒定律有mv1－mv2＝mv，再对a棒由动量定理可得－LBΔt＝m(v－v1)，其中Δt＝q＝，磁通量变化量ΔΦ＝BLΔx，Δx是两杆距离的减少量，联立以上式子可求得Δx＝，B正确；若两棒间距离足够远，最终两棒将以共同速度v共向右运动，根据动量守恒定律有mv1－mv2＝2mv共，解得v共＝，C正确；在b棒向左减速运动的过程中，两棒间距离在减小，在b棒向右加速直至两棒共速的过程中，二者间距也在减小，达到共同速度之后两棒匀速运动，故为避免相撞的临界条件是两棒刚好接触时速度达到共同速度。设最初两金属棒相距x0，根据动量定理有－LBΔt＝m(v共－v1)，其中Δt＝，磁通量变化量ΔΦ＝BLx0，联立以上式子可求得x0＝，所以为避免相撞，最初a、b相距x0≥，D正确。]
训练4 (1) m/s　(2)2 J
解析　(1)cd绝缘杆恰好通过半圆导轨最高点时，
由牛顿第二定律有Mg＝M
解得v＝ m/s。
(2)发生正碰后cd绝缘杆滑至最高点的过程中，由动能定理有
－Mg·2r＝Mv2－Mv
解得碰撞后cd绝缘杆的速度v2＝5 m/s
两杆碰撞过程中动量守恒，有
mv0＝mv1＋Mv2
解得碰撞后ab金属杆的速度v1＝2 m/s
ab金属杆进入磁场后由能量守恒定律有
mv＝Q
解得Q＝2 J。
提升3
例3 2 m/s　2 J
解析　设a棒下滑至C点时速度为v0，由动能定理得
mgh＝mv－0
解得v0＝4 m/s
此后的运动过程中，a、b两棒达到共速前，两棒所受安培力始终等大反向，因此a、b两棒组成的系统动量守恒，有
mv0＝(m＋m)v
解得a、b两棒最终共同的速度为v＝2 m/s，此后两棒一起做匀速直线运动
由能量守恒定律可知，整个过程中回路产生的总焦耳热为
Q＝mv－(m＋m)v2
则b棒中产生的焦耳热为Qb＝Q
解得Qb＝2 J。
例4 AC　[cd获得速度后，电路中产生感应电流，根据左手定则得cd棒减速，ab棒加速，当BLvab＝2BLvcd时，闭合电路中没有感应电流，此时vab＝2vcd，两棒最终以不同的速度做匀速直线运动，分别对两棒运用动量定理得－2ILBt＝2mvcd－2mv0，ILBt＝mvab，两式合并得vcd＋vab＝v0，联立解得vab＝v0，vcd＝v0，故B错误，C正确；由m×v0＋2m×v0＝mv0≠2m·v0，可知导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒，故A正确；从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为Q＝×2mv－×mv－×2mv，解得Q＝mv，故D错误。]
随堂对点自测
1.BCD　[根据楞次定律、安培定则和左手定则知线框进、出磁场的过程安培力方向都向左，选项A错误；当线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量不变化，无感应电流，线框不受安培力作用，做匀速运动，选项B正确；通过导线某截面的电荷量q＝＝，可知进、出磁场过程中通过导体某截面的电荷量大小相等，选项C正确；线框进、出磁场受到安培力的冲量I冲＝＝，可知进、出磁场安培力的冲量相同。设线框完全进入磁场时的速度为v，由动量定理可得－I冲＝mv－3mv0，－I冲＝mv0－mv，解得v＝2v0，故进入磁场的过程中产生的焦耳热为Q1＝m(3v0)2－m(2v0)2＝mv，出磁场的过程中产生的焦耳热为Q2＝m(2v0)2－mv＝mv，所以＝，选项D正确。]
2.C　[根据右手定则，可知cd棒电流方向为d→c，根据左手定则，cd棒所受安培力方向向左，故cd棒向右做减速运动。当cd棒刚运动时，速度最大，产生的感应电动势最大为E＝2Bdv，产生的感应电流I＝，故ab棒受到的安培力最大为F安＝BId，ab棒保持静止，根据二力平衡，外力最大为F＝F安，联立解得F＝，A错误；当撤掉外力后，由左手定则可知，ab棒所受安培力水平向右，cd棒所受安培力水平向左，两棒组成的系统所受合外力为0，系统动量守恒。两棒处于稳定状态时，速度相同，设此时两棒速度为v′，以两棒组成的系统为研究对象，有mv＝2mv′，得v′＝，B错误；从cd棒开始运动到两棒处于稳定状态，根据能量守恒定律可得，系统产生的总热量Q＝m(2v)2－·2mv′2，联立解得Q＝mv2，C正确，D错误。]
3.(1)　(2)2gsin θ
(3)gt0sin θ＋　
解析　(1)棒a匀速运动时，对棒a分析，由平衡条件有
mgsin θ＝BI1L
由法拉第电磁感应定律有E1＝BLv0
由欧姆定律有I1＝
联立解得v0＝。
(2)当棒a匀速运动时，释放棒b，分析可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬间，对棒b，由牛顿第二定律有
mgsin θ＋BI1L＝ma0
又BI1L＝mgsin θ
解得a0＝2gsin θ。
(3)分析可知a与b受到的安培力大小始终相等，
则对a、b由动量定理分别有
mgt0sin θ－安t0＝mv－mv0
mgt0sin θ＋安t0＝mv
联立解得v＝gt0sin θ＋
安t0＝
又安t0＝LBt0
q＝t0＝t0＝
联立解得Δx＝。(共58张PPT)
专题提升八　电磁感应中的动量问题
第二章　电磁感应及其应用
1.进一步熟悉楞次定律、法拉第电磁感应定律的应用。
2.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　动量守恒定律在电磁感应中的应用
提升1　动量定理在电磁感应中的应用
提升3　电磁感应中的双杆模型
提升1　动量定理在电磁感应中的应用
BD
例1 (多选)如图所示，水平面上固定有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法正确的是(　　)
B
训练1 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直水平面向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为a(aACD
训练2 (多选)(2024·山东济宁高二期末)如图所示，平行光滑金属导轨固定在竖直面内，导轨间距为1 m，上端连接阻值为
2 Ω的定值电阻，虚线的上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2 T，质量为1 kg的导体棒套在金属导轨上与导轨接触良好，现给导体棒向上的初速度，当其刚好越过虚线时速度为20 m/s，导体棒运动到虚线上方1 m处速度减为零，此后导体棒向下运动，到达虚线前速度已经达到恒定，整个运动过程中导体棒始终保持水平。导轨和导体棒的电阻均忽略不计，取g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　 　)
A.导体棒的最大加速度为50 m/s2
B.导体棒上升过程中流过定值电阻的电荷量为4 C
C.导体棒下落到虚线时的速度大小为5 m/s
D.导体棒从越过虚线到运动到最高点所需的时间为1.8 s
提升2　动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，如果两安培力等大反向，且他们受到的其他外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒受的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
例2 (2023·全国甲卷，25)如图，水平桌面上固定一
光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨
的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不
计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行，不计空气阻力。求：
(1)金属棒P滑出导轨时的速度大小；
(2)金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
(3)与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
解析　(1)Q与P发生弹性碰撞，由动量守恒定律有
3mv0＝mvP＋3mvQ
(2)由能量守恒定律可得，金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为
(3)P在导轨上做变速运动，设速度大小为v时金属棒中产生的感应电动势大小为e，电流大小为i，在Δt时间内速度变化Δv，则由法拉第电磁感应定律有e＝Blv
BCD
训练3 (多选)如图所示，两个完全相同的金属棒a、b放在
水平固定的光滑金属导轨上，两导轨间距离为L，两棒
质量均为m，电阻均为R，不计导轨的电阻。导轨间存在
如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现给a棒一个
向右的速度，大小为v1，给b棒一个向左的速度，大小为v2，已知v1>v2，规定向右为正方向，下列说法正确的是(　　 )
训练4 如图所示，固定的MN、PQ两平行光滑水平导轨
分别与半径r＝0.5 m的相同竖直半圆导轨在N、Q端平
滑连接，M、P端连接定值电阻R，质量M＝2 kg的cd
绝缘杆垂直且静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场。现有质量m＝1 kg的ab金属杆以初速度v0＝12 m/s水平向右运动，与cd绝缘杆发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，cd绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点，不计除R以外的其他电阻和摩擦，ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2(不考虑cd杆通过半圆导轨最高点以后的运动)。求：
(1)cd绝缘杆通过半圆导轨最高点时的速度大小v；
(2)电阻R产生的焦耳热Q。
解析　(1)cd绝缘杆恰好通过半圆导轨最高点时，
(2)发生正碰后cd绝缘杆滑至最高点的过程中，由动能定理有
解得碰撞后cd绝缘杆的速度v2＝5 m/s
两杆碰撞过程中动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2
解得碰撞后ab金属杆的速度v1＝2 m/s
解得Q＝2 J。
提升3　电磁感应中的双杆模型
初始状态：初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
运动图像
能量观点 一部分动能转化为内能Q＝－ΔEk
动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒，对单杆可以用动量定理
例3 如图所示，固定的光滑平行金属导轨的水平部分处于竖直向下的B＝4 T的匀强磁场中，两导轨间距为L＝0.5 m，导轨足够长且不计电阻。金属棒a和b的质量都为m＝1 kg，连入导轨间的电阻Ra＝Rb＝1 Ω。b棒静止于导轨水平部分，现将a棒从h＝80 cm高处自静止沿弧形导轨下滑，通过C点进入导轨的水平部分，已知两棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，接触良好，且两棒始终不相碰。求a、b两棒的最终速度，以及整个过程中b棒中产生的焦耳热(已知重力加速度g＝10 m/s2)。
解得v0＝4 m/s
此后的运动过程中，a、b两棒达到共速前，两棒所受安培力始终等大反向，因此a、b两棒组成的系统动量守恒，有mv0＝(m＋m)v
解得a、b两棒最终共同的速度为v＝2 m/s，此后两棒一起做匀速直线运动
解得Qb＝2 J。
答案　2 m/s　2 J
例4 (多选)如图所示，光滑水平导轨固定在磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是(　　)
AC
随堂对点自测
2
BCD
1.(动量定理在电磁感应中的应用)(多选)如图所示，在光滑绝缘的水平面上的两平行虚线之间存在竖直向上的匀强磁场(俯视如图)，单匝正方形闭合线框ABCD，从磁场左侧向右运动，以大小为3v0的速度开始进入磁场，当AB边穿出磁场右边界时线框的速度大小为v0，假设线框在运动过程中CD边始终平行于磁场边界，磁场的宽度大于正方形的边长。关于线框整个运动过程，下列说法正确的是(　　 )
A.线框ABCD进入磁场时所受安培力方向向左，穿出磁场时所受安培力方向向右
B.线框ABCD全部进入磁场后到CD边离开磁场前，线框做匀速运动
C.线框ABCD在进入和穿出磁场的过程中通过导线某截面的电荷量大小相等
D.线框ABCD进入和穿出磁场的过程中产生的焦耳热之比为5∶3
C
2.(动量守恒定律在电磁感应中的应用)如图所示，水平面上固定有两根间距为d的光滑平行长直导轨，导轨间分布有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，垂直导轨放置有两根金属棒ab、cd，金属棒和导轨始终接触良好。金属棒cd有水平向右的初速度2v，同时有一水平外力作用在金属棒ab上使ab保持静止，当cd的速度变为v时，撤掉ab上的外力，直至两棒处于稳定状态。已知两棒质量均为m，电阻均为r，导轨电阻忽略不计。下列说法正确的是(　　)
3.(电磁感应中的双杆模型)(2023·湖南卷，14)如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
(1)先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；
(2)在(1)问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；
(3)在(2)问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。
解析　(1)棒a匀速运动时，对棒a分析，由平衡条件有
mgsin θ＝BI1L
由法拉第电磁感应定律有E1＝BLv0
(2)当棒a匀速运动时，释放棒b，分析可知，棒b受到沿导轨向下的安培力，则释放棒b的瞬间，对棒b，由牛顿第二定律有
mgsin θ＋BI1L＝ma0
又BI1L＝mgsin θ
解得a0＝2gsin θ。
(3)分析可知a与b受到的安培力大小始终相等，
则对a、b由动量定理分别有
课后巩固训练
3
AD
题组一　动量定理在电磁感应中的应用
对点题组练
A组
1.(多选)如图所示，水平光滑的固定平行金属导轨，左端接有电阻R，磁感应强度为B的匀强磁场分布在导轨所在的空间内，磁场方向竖直向下，质量一定的金属棒PQ垂直导轨放置。现使棒以一定的初速度v0向右运动，当其通过位置a、b时，速率分别为va、vb，到位置c时棒刚好静止。设导轨与棒的电阻均不计，a到b与b到c的间距相等，则金属棒在由a到b和由b到c的两个过程中(　　)
A.通过棒某一横截面的电荷量相等 B.棒的动能变化量相等
C.回路中产生的内能相等 D.安培力的冲量相等
D
题组二　动量守恒定律在电磁感应中的应用
2.如图所示，固定于水平面内的电阻不计的足够长光滑平行金属导轨间距为L，质量均为m、接入电路的阻值均为R的金属棒ab、cd垂直搁置于导轨上，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，某一时刻同时给ab、cd以平行于导轨的水平向右的初速度v0、2v0，则两棒从开始运动至达到稳定速度的过程中(　　)
BD
3.(多选)如图所示，在水平面内固定有两根相互平行的无限
长光滑金属导轨，其间距为L，电阻不计。在虚线l1的左侧
存在方向竖直向上的匀强磁场，在虚线l2的右侧存在方向竖
直向下的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度大小均为B。ad、bc两根电阻均为R的金属棒与导轨垂直，分别位于两磁场中。现突然给ad棒水平向左的初速度v0，在两棒达到稳定的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.两金属棒组成的系统的动量守恒
B.两金属棒组成的系统的动量不守恒
C.ad棒克服安培力做功的功率等于ad棒的发热功率
D.ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和
解析　开始时，ad棒以初速度v0切割磁感线，产生感应
电动势，在回路中产生顺时针方向(俯视)的感应电流，
ad棒因受到向右的安培力而减速，bc棒受到向右的安
培力而向右加速；当两棒的速度大小相等，即两棒因
切割磁感线而产生的感应电动势相等时，回路中没有感应电流，两棒各自做匀速直线运动。由于两棒所受的安培力方向都向右，两金属棒组成的系统所受合外力不为零，所以该系统的动量不守恒，选项A错误，B正确；根据能量守恒定律可知，ad棒动能的减小量等于回路中产生的总热量和bc棒动能的增加量之和，由动能定理可知，ad棒动能的减小量等于ad棒克服安培力做的功，bc棒动能的增加量等于安培力对bc棒做的功，所以ad棒克服安培力做功的功率等于安培力对bc棒做功的功率与两棒总发热功率之和，选项C错误，D正确。
BC
题组三　电磁感应中的双杆模型
4.(多选)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定
在同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放
着两根导体棒ab、cd，与导轨一起构成闭合回路。两
根导体棒的质量均为m，长度均为L，电阻均为R，其
余部分的电阻不计。在整个导轨所在的平面内存在方
向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。开始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度v0，则(　　)
5.如图所示，空间存在有水平边界、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上方l处有一个质量为m、电阻为R、边长为l的正方形线框，将线框由静止释放，从线框下边框进磁场经时间Δt后线框上边框进磁场，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
综合提升练
(1)线框下边框进入磁场时的速度大小；
(2)线框上边框进入磁场时的速度大小。
解析　(1)线框下边框进磁场前自由下落，有
线框进入磁场的过程，由动量定理有mgΔt－IlBΔt＝mv2－mv1
6.如图所示，足够长的水平导轨左侧b1b2－c1c2
部分导轨间距为3L，右侧c1c2－d1d2部分的导
轨间距为L，曲线导轨与水平导轨相切于b1b2，
所有导轨均光滑固定且电阻不计。在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T。质量为mb＝0.2 kg的金属棒b垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为ma＝0.1 kg的金属棒a自曲线导轨上a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，a棒总在宽轨上运动，b棒总在窄轨上运动。已知：两棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求：
(1)a棒滑到b1b2处时的速度大小；
(2)b棒匀速运动时的速度大小；
(3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留3位有效数字)。
解得v0＝3 m/s。
(2)选取水平向右为正方向，对两棒分别应用动量定理
对b棒：Fb安cos θ·t＝mbvb
对a棒：－Fa安cos θ·t＝mava－mav0
其中Fa安＝3Fb安
两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有
BLvb＝3BLva
(3)在b棒加速运动过程中，由动量定理得
其中磁通量变化量ΔΦ＝Bcos θ·ΔS
解得ΔS≈9.87 m2。
B
7.如图所示，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处由静止开始释放，A、B是边界范围、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场，只是A的区域比B的区域离地面高一些，两线圈下落过程始终保持线圈平面与磁场垂直，则(　　)
B组
A.甲先落地 B.乙先落地
C.二者同时落地 D.无法确定
AC
8.(多选)如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的固定平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　)
9.(2023·海南卷，17)如图所示，U形金属杆上边长为L＝15 cm，质量为m＝1×10－3 kg，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里大小为B＝8×10－2 T的匀强磁场。
(1)若插入导电液体部分深h＝2.5 cm，闭合电键，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度H＝10 cm，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大(g＝10 m/s2)；
(2)若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度H′＝5 cm，通电时间t′＝0.002 s，求通过金属杆横截面的电荷量。
解析　(1)对金属杆，离开液面后跳起的高度为H，
由运动学公式有v2＝2gH
对金属杆从刚闭合电键至其下端离液面高度为H的
过程，由动能定理有ILBh－mg(H＋h)＝0
(2)对金属杆，由动量定理有(I′LB－mg)t′＝mv′
由运动学公式有v′2＝2gH′
又q＝I′t′
解得q＝0.085 C。
10.(2024·沈阳5月第三次质检)如图所示，有两根固
定的光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属
圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相
切，两条导轨水平部分在同一水平面内，其中
EF、NP段用绝缘材料制成，其余部分为金属。
两导轨的间距为d＝0.5 m，导轨的左侧接着一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻，右侧接C＝2×1011 pF的电容器，电容器尚未充电。水平导轨的ADQM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，虚线AM和DQ垂直于导轨，AE和MN的长度均为x＝1.2 m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m＝0.2 kg，接入电路的电阻均为r＝2 Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h＝0.8 m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b进入磁场区域，最终在FDQP区域稳定运动。不计金属导轨的电阻，求：
培优加强练
(1)金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小；
(2)整个运动过程中金属棒a上产生的焦耳热；
(3)金属棒b稳定运动时电容器所带的电荷量。
答案　(1)4 m/s　(2)0.2 J　(3)0.2 C

展开更多......

收起↑